【核心素养】7.5.2三角形的内角和定理 教案-北师大版数学八年级上册

导入新课

 问题 发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40°， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？

利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？

由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.

思考 像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.

这节课让我们一起来探讨吧.

学生思考回答问题

情境的引入意在引起学生的注意,激发学生学习数学的兴趣,鼓励学生设法寻求方案,解决问题.

讲授新课

∠1、∠2、∠3有什么共同特征？

特征:

1. 顶点在三角形的一个顶点上;

2. 一条边是三角形的一条边;

3. 另一条边是三角形的某条边的延长线

定义：

  三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，

  叫做三角形的外角。

一个三角形有几个外角？

每一个三角形都有6个外角．

每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.

议一议：

∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？

∠1与∠2互补

∠1+∠2=180°(平角的定义).

∠1=∠A+∠B

∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B

你能证明此结论吗？

如图，∠1+∠2=180°（平角的定义），

∠A+∠2+∠B=180°（三角形内角和定理），

所以∠1= ∠A+∠B（等量代换）.

所以∠1＞∠A，∠1＞∠B.

归纳总结：

定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角

∴  ∠1=∠B+∠C

定理：三角形的一个外角大于任何一个与它

不相邻的内角.

符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角

∴  ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C

 在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.

     像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.

典例精析：

例2、    如图,在△ABC中,∠B= ∠C,AD平分外角

∠EAC.求证:AD∥ BC.

证明:∵∠EAC=∠B+∠C  (三角形的一个

外角等于和它不相邻的两个内角的和),

∠B=∠C (已知),

∴∠C=∠EAC (等式的性质).

∵AD平分 ∠EAC(已知).

∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).

∴∠DAC=∠C(等量代换).

∴AD∥ BC(内错角相等,两直线平行).

想一想：

对于例2还有其他证明方法吗？

证法二:推理可得:

∠DAC=∠C (已证),

∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).

∴∠BAC+∠B+∠DAC =180°(等量代换).

∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).

典例精析：

例3.如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC，∠B=∠C. 求证: ∠BPC＞∠A.

证明: 如图，延长BP，交AC于点D.

∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),

∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).

∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角定义),

∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).

∴ ∠BPC>∠A.（不等式的性质）

还有其他证明方法吗？

如图，点P是△ABC内的一点，连接BP和CP.

证明∠BPC﹥∠A．

证明: 如图

∵∠BPD是△ABP的一个外角(外角定义),

∴∠BPD>∠BAP(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).

∵∠DPC是△PAC的一个外角(外角定义),

∴∠DPC>∠PAC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).

∴ ∠BPD+∠DPC> ∠BAP+ ∠PAC.（不等式的性质）

即∠BPC﹥∠A

学生自主探究作图后，小组交流，观察比较所画的外角是否相同，分析问题所在

学生在小组内合作探究,教师巡视,及时点拨引导.学生探究完成后,让学生代表展示.

留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答并通过多媒体展示过程.

学生主动探索、积极思考、踊跃交流,通过交流,让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程,通过学生思考、探索、交流来培养学生解决问题的能力.

在这里教师不必包办代替,而应充分调动学生的主动性和积极性,进而培养学生分析问题的能力,在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣.

通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性

课堂练习

1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是(     )

A.直角三角形      B.锐角三角形     

C.钝角三角形      D.无法确定

2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于(     )

A.120°    B.115°    C.110°     D.105°

3.如图，直线a∥b,则∠ACB=_______.

4．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD.若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD=               .

5.已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．

 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.

学生课堂练习，然后上台演示自己的答案。

学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．

课堂小结

通过本节课的学习，你们有什么收获？

学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成。

训练学生总结归纳能 力；升华知识，拓展知识面，开阔思维。

板书

课题：7.5.2三角形内角和定理

1.三角形的外角定义

2.三角形的外角性质