高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀精练

2.2   基本不等式

思维导图

新课标要求

理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。

知识梳理

一、基本不等式

1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．

其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

二、用基本不等式求最值

用基本不等式≥求最值应注意：

(1)x，y是正数；

(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；

②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.

(3)讨论等号成立的条件是否满足．

名师导学

知识点1    利用基本不等式判断/证明不等式

【例1-1】（多选）（2022·湖南·娄底市第四中学高一阶段练习）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（       ）

A． B．

C． D．

【例1-2】（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：

(1)若，，，都是正数，求证：；

(2)若，，是非负实数，则；

(3)若，是非负实数，则；

(4)若，，则．

【变式训练1-1】（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【变式训练1-2】（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【变式训练1-3】（2022·湖南·高一课时练习）已知，则与的大小关系是____________

【变式训练1-4】（2022·河北沧州·高一开学考试）设a＞0，b＞0，给出下列不等式：

①a2＋1＞a；   ②；     ③(a＋b)；   ④a2＋9＞6a.

其中恒成立的是________(填序号).

知识点2    利用基本不等式求最值（重点、难点）

【例2-1】（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数，则的最小值是（        ）

A．1 B． C．2 D．

【例2-2】（2022·江苏苏州·高一期末练习）(1)若x<0，求＋3x的最大值；

(2)若x>2，求＋x的最小值；

(3)已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．

延伸探究

1．若把本例(3)的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．

2．若把本例(3)的条件“＋＝1”改为“x＋8y＝xy”，其他条件不变，求x＋2y的最小值．

【变式训练2-1】（2022·广东茂名·高一期末）若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【变式训练2-2】（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（       ）

A．11 B．9 C．8 D．6

【变式训练2-3】（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式训练2-4】（多选）（2022·湖北·高一期中）已知，且，则下列结论正确的是（       ）

A． B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【变式训练2-5】（2022·湖北武汉·高一期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.

【变式训练2-6】（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为________．

【变式训练2-7】（2022·广西·柳铁一中高一阶段练习）已知x>2，x+（a>0）最小值为3.则a=__________.

【变式训练2-8】（2022·安徽·六安一中高一开学考试）已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2

(1)求的最小值；

(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.

【变式训练2-9】（2022·河北·武安市第一中学高一期末）求下列函数的最值

（1）求函数的最小值.

（2）若正数，满足，求的最小值.

知识点3    利用基本不等式解决恒成立问题（难点）

【例3-1】（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【例3-2】（2022·全国·高一专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的最大值是__________．

【变式训练3-1】（2022·江苏·高一）已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值(       )

A． B． C． D．5

【变式训练3-2】（多选）（2022·浙江嘉兴·高一期末）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的值可以为（       ）

A． B． C．1 D．3

知识点4    基本不等式的实际应用

【例4-1】（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米，当=_______时，矩形花坛的面积最小.

【例4-2】（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地.设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，蔬菜的种植面积为.

(1)用、表示；

(2)求蔬菜种植面积的最大值.

【变式训练4-1】（2022·湖南·高一课时练习）小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （       ）

A．a<v< B．v= C． <v< D．v=

【变式训练4-2】（2022·湖南·高一课时练习）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．

【变式训练4-3】（2022·江苏·高一阶段测试）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

(1)当时，求海报纸的面积；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

【变式训练4-4】（2022·湖南·长郡中学高一期末）设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值.

名师导练

A组-[应知应会]

1．（2022·北京·清华附中高一阶段练习）设a，，且，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·湖南·高一课时练习）若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（       ）

A．2 B．5 C． D．

5．（2022·江苏·高一）当时，的最大值为（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·湖南·高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是

A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m

7．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（       ）

A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为

8．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知，则的最小值是(       )

A．5 B．4 C．8 D．6

9．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）若，，且，则的最小值为（       ）．

A． B． C．3 D．

10．（2022·江苏·高一单元测试）已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A．或 B．或

C． D．

11．（2022·江苏·高一）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ）

A． B．

C． D．

12．（多选）（2022·江苏南通·高一期末）下列不等式正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

13．（多选）（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知，则（       ）

A．的最大值为

B．的最小值为4

C．的最小值为

D．的最小值为16

14．（2022·广东汕头·高一期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为______．

15．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）若，且，则的最小值为_________．

16．（2022·广东湛江·高一期末）已知，均为正数，且，则的最大值为____，的最小值为____.

17．（2022·江苏·高一）当时，函数的最小值为___________．

18．（2022·浙江·高一阶段练习）若实数m，n满足，则的最小值是___________.

19．（2022·湖南·长郡中学高一期末）设，若恒成立，则k的最大值为___________.

20．（2022·天津西青·高一期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．

（1）求的最小值；

（2）证明：＜．

21．（2022·江苏·高一单元测试）（1）已知，则取得最大值时的值为？

（2）已知，则的最大值为？

（3）函数 的最小值为？

22．（2022·河北保定·高一期末）如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽，苗圃与通道之间由栅栏隔开．

(1)若苗圃面积，求栅栏总长的最小值；

(2)若苗圃带通道占地总面积为，求苗圃面积的最大值．

B组-[素养提升]

1．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2．（2021秋•南城县校级期末）已知正数，满足，且，则的最大值为　　

A． B． C．2 D．4

3．（2022·江苏·高一）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．

4．（2021•南开区二模）已知，则的最小值为　  　．

5．（2022春•武侯区校级期中）已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是　　           ．