高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数精品巩固练习
展开4.1 指数
思维导图
新课标要求
通过对有理指数幂、实数指数幂（a>0,且，a≠1，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。
知识梳理
一、 n次方根、n次根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 | a的n次方根的表示符号 | a的取值范围 |
n为奇数 | [来源:学|科|网] | a∈R |
n为偶数 | ± | [0，＋∞) |
3.根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
二、 根式的性质
1.＝0(n∈N*，且n>1)．
2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．
3.＝a(n为大于1的奇数)．
4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
三、 分数指数幂的意义
分数指数幂[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学|科|网][来源:Z&xx&k.Com] | 正分数指数幂 | 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)[来源:学*科*网] |
负分数指数幂 | 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) | |
0的分数指数幂 | 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 |
四、 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
五、 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
六、 实数指数幂的运算性质[来源:学,科,网Z,X,X,K]
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
名师导学
知识点1 由根式的意义求范围
对于，当n为偶数时，要注意两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要有意义，必不为负．
【例1-1】求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2021·江苏·高一专题练习），则实数a的取值范围_________
知识点2 利用根式的性质化简求值
正确区分与()n
(1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
【例2-1】（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【变式训练2-1】化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3).
【变式训练2-2】（2021·全国·高一课时练习）已知，化简：．
知识点3 根式与分数指数幂的互化（重点）
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
【例3-1】将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；
(2)(x>0)；
(3)(b>0)．
【变式训练3-1】（2021·全国·高一课前预习）将下列各式用分数指数幂的形式表示：
(1)；(2)；(3)
【变式训练3-2】（2020·广东·洛城中学高一期中）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-3】（多选）（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点4 利用分数指数幂的运算性质化简求值（重点）
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
【例4-1】（2021·全国·高一课前预习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【例4-2】（2022·全国·高一专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练4-1】（2022·江苏·高一）化简 (a>0)等于（ ）
A．6a B．－a
C．－9a D．9a2
【变式训练4-2】（2022·全国·高一专题练习）计算：___________________．
【变式训练4-3】（2022·全国·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
知识点5 整体替换法求分数指数幂
【例5-1】(1)已知＋＝，则x2＋x－2＝________.
(2)已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2.
【变式训练5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】（2022·全国·高一专题练习）已知,，则的值为______.
【变式训练5-3】（2022·全国·高一课时练习）（1）若，求的值；
（2）已知，求的值．
名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一单元测试）化简的结果是（ ）
A．0 B． C．0或 D．
3．（2021·四川·成都市郫都区川科外国语学校高一开学考试）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏·高一专题练习）化简（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2021·江苏·高一专题练习）若则（ ）
A．10 B．15 C． D．
6．（2021·山东济宁·高一期中）化简结果为（ ）
A．a B．b C． D．
7．（2022·全国·高一课时练习）已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
8．（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·山东枣庄·高一期末）(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．)
D．
10．（2021·广东茂名·高一期中）（多选）以下化简结果正确的是（字母均为正数）（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高一专题练习）化简的结果为________
12．（2022·全国·高一专题练习）计算：___．
13．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的值为_______
14．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，且，则______．
15．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知，则___________.
16．（2022·全国·高一单元测试）（1）化简：；
（2）计算：．
17．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）化简下列各式：
(1)
(2)若，，求．
18．（2021·全国·高一专题练习）求解下列问题：
(1)已知，且，求.
(2)已知，求和的值.
B组-[素养提升]
1．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）设、，满足，则的值为___________.
2．已知m＝2，n＝3，则3的值是________．
3．（2022·江苏·高一）已知，，求的值.
4．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．
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