高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念精品当堂检测题
展开5.2 三角函数的概念
思维导图
新课标要求
1.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
2.理解同角三角函数的基本关系式
知识梳理
一、任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)．
二、正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
三、公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α，
cos(α＋2kπ)＝cos α，
tan(α＋2kπ)＝tan α，
其中k∈Z.
终边相同的角的同一三角函数的值相等．
四、同角三角函数的基本关系
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)．
名师导学
知识点1 任意角三角函数的定义及应用（重点）
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，
cos α＝.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
【例1-1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．– D．–
【例1-2】（2021·山东德州·高一期末）已知角的终边上一点的坐标是，其中，求，，的值.
【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式训练1-3】（2021·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，且满足．
(1)若为第二象限角，求值；
(2)求的值．
知识点2 三角函数值符号的运用
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
【例2-1】（2022·全国·高一课时练习）已知为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·四川达州·高一期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，，，则角为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【变式训练2-1】（2021·全国·高一专题练习）若 是第二象限角，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练2-2】（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知是第一象限角，若，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
知识点3 公式一的应用
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
【例3-1】计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋costan 4π.
【变式训练3-1】cos 405°的值是( )
A. B．－ C. D．－
【变式训练3-2】sin ＋tan＝ .
知识点4 已知一个三角函数值求另两个三角函数值
已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．
【例4-1】（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2022·全国·高一专题练习）已知，，则 _____.
【变式训练4-1】（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】（2022·陕西汉中·高一期末）若为第二象限角，且，则tan＝___．
【变式训练4-3】（2022·北京·高一阶段练习）已知.求的值；
知识点5 化简求值与恒等式的证明（重难点）
利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
【例5-1】（2022·全国·高一课时练习）如果，那么___________.
【例5-2】（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）化简
(1)
(2)
(3)
【例5-3】（2022·全国·高一课时练习）求证：
(1)；
(2).
【变式训练5-1】（2022·四川甘孜·高一期末）已知 ， 则=__________
【变式训练5-2】（2021·全国·高一专题练习）（1）已知，求tanα的值
（2）化简：（α为第四象限角）
【变式训练5-3】（2021·江苏·高一课时练习）求证：
（1）；
（2）；
（3）.
知识点6 sin θ±cos θ型求值问题（重难点）
sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．
【例6-1】（2022·江西·南昌十中高一期中）已知，是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【变式训练6-1】（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则____.
【变式训练6-2】（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)求的值.
名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（2022·全国·高一课时练习）已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）若为第三象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高一课时练习）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在射线上，则角的正弦值为______，余弦值为______．
10．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，则实数______．
11．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则______．
12．（2022·全国·高一课时练习）若实数，满足方程组，则的一个值可以是___________.（写出满足条件的一个值即可）
13．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．
14．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）（1）若，求．
（2）若，求．
15．（2022·全国·高一课时练习）化简：．
16．（2021·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）（1）已知，求的值
（2）已知，当时，求的值.
B组-[素养提升]
1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则＝（ ）
A． B．2 C． D．6
2．（2022·浙江·温州中学高一期中）若实数，满足，则的最大值为______.
3．（2022·全国·高一课时练习）求证：
(1)＝；
(2)
数学必修 第一册5.3 诱导公式优秀课时训练： 这是一份数学必修 第一册5.3 诱导公式优秀课时训练，文件包含53诱导公式原卷版docx、53诱导公式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
高中数学4.3 对数优秀课时练习： 这是一份高中数学4.3 对数优秀课时练习，文件包含44对数函数原卷版docx、44对数函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品课堂检测： 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品课堂检测，文件包含43对数原卷版docx、43对数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
