数学必修 第一册5.3 诱导公式优秀课时训练
展开5.3 诱导公式
思维导图
新课标要求
借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(α ±,α ±π的正弦、余弦、正切)。
知识梳理
一、公式二
1.角π+α与角α的终边关于原点对称.如图所示.
2.公式:sin(π+α)=-sin α,
cos(π+α)=-cos α,
tan(π+α)=tan α.
二、公式三
1.角-α与角α的终边关于x轴对称.如图所示.
2.公式:sin(-α)=-sin α,
cos(-α)=cos α,
tan(-α)=-tan α.
三、公式四
1.角π-α与角α的终边关于y轴对称.如图所示.
2.公式:sin(π-α)=sin α,
cos(π-α)=-cos α,
tan(π-α)=-tan α.
四、公式五
1.角-α与角α的终边关于直线y=x对称,如图所示.
2.公式:sin=cos α,cos=sin α.
五、公式六
1.公式:sin=cos α,cos=-sin α.
2.公式五与公式六中角的联系+α=π-.
名师导学
知识点1 给角求值
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
【例1-1】(2022·全国·高一专题练习)______.
【答案】##
【分析】利用三角函数的诱导公式化简,再借助特殊角的三角函数值计算可得.
【详解】
.
故答案为: .
【变式训练1-1】(2022·山东日照·高一期末)( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】.
故选:A.
【变式训练1-2】(2022·全国·高一课时练习)计算:___________.
【答案】0
【详解】
故答案为:0
知识点2 给值(式)求值
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
【例2-1】(2022·辽宁葫芦岛·高一期末)已知为锐角,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由诱导公式与同角三角函数的基本关系求解即可
【详解】因为,
所以,
又为锐角,
所以,
故选:C
【例2-2】(2022·陕西渭南·高一期末)若,且是第三象限角,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得,再次利用诱导公式可求得结果.
【详解】,,又是第三象限角,
,.
故选:C.
【变式训练2-1】(2022·北京西城·高一期末)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简目标式,即可得答案.
【详解】.
故选:B
【变式训练2-2】(2022·全国·高一单元测试)已知 ,,则cos()=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.
【详解】,,
,
故选:A
【变式训练2-3】(2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习)若,则__________.
【答案】0
【分析】根据诱导公式计算.
【详解】,
故答案为:0.
【变式训练2-4】(2022·江西省万载中学高一期中)若,则的值为_____.
【答案】
【分析】根据诱导公式化简求值.
【详解】由,
则,
故答案为:.
知识点3 化简求值
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
(3)注意“1”的代换:1=sin2α+cos2α=tan .
【例3-1】(2022·全国·高一学业考试)已知,则______.
【答案】##0.75
【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】解:由题意得:
∵,
∴.
故答案为:
【例3-2】(2022·辽宁沈阳·高一期末)已知角的终边上的一点,则的值为___________.
【答案】
【分析】由三角函数的定义可得,原式可化简为可求解.
【详解】因为角的终边上的一点,所以,
所以.
故答案为:.
【例3-3】(2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试)化简求值:
(1);
(2).
【解】(1);
(2).
【变式训练3-1】(2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中)化简:______.
【答案】
【分析】结合诱导公式与同角的商数关系进行化简整理即可.
【详解】
故答案为:.
【变式训练3-2】(2020·天津·高一期末)已知,则_________.
【答案】
【分析】根据诱导公式,结合齐次式求值即可得答案.
【详解】解:因为,
所以,
故答案为:
【变式训练3-3】(2022·全国·高一课时练习)化简:__.
【答案】
【分析】利用诱导公式进行化简即得.
【详解】原式.
故答案为:.
知识点4 证明恒等式
三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
【例4-1】(2021·全国·高一课时练习)(1)求证:;
(2)设,求证.
【证明】(1)左边= =右边,所以原等式成立.
(2)方法1:左边= ===右边,所以原等式成立.
方法2:由,得,
所以,等式左边= ===右边,等式成立.
【变式训练4-1】(2022·全国·高一课时练习)求证:=.
【答案】证明见解析
【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简,进而证明问题.
【详解】左边
.
右边.
∴左边=右边,故原等式成立.
【变式训练4-2】(2022·全国·高一课时练习)求证:.
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可证明;
【详解】证明:左边
=右边,所以原式成立.
知识点5 诱导公式的综合应用
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,平方和差、立方和差公式.
【例5-1】(2022·安徽省舒城中学高一开学考试)已知α是第三象限角,且.
(1)化简;
(2)若,求;
(3)若,求.
【解】(1)根据诱导公式有:
(2)因为,α是第三象限角,
所以
所以
(3)因为,
所以
.
【例5-2】(2022·辽宁·鞍山一中高一期中)已知函数.
(1)求;
(2)若,求的值.
【解】(1),
.
(2)由得,,
所以.
【变式训练5-1】(2022·广东·佛山市南海区第一中学高一阶段练习)已知角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,是角α终边上一点,且.
(1)求m的值;
(2)求的值.
【解】(1),解得
(2),
=
=
【变式训练5-2】(2022·山东山东·高一期中)已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【解】(1)由,可得,
所以,解得,
所以.
(2)由(1)知,
所以.
【变式训练5-3】(2022·全国·高一课时练习)已知.
(1)若角是第三象限角,且,求的值;
(2)若,求的值.
(1)解:.
因为,所以,
又角是第三象限角,所以,
所以.
(2)解:因为,所以.
名师导练
A组-[应知应会]
1.(2022·西藏拉萨·高一期末)( )
A. B. C. D.1
【答案】B
【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】.
故选:B
2.(2021·广东·饶平县第二中学高一阶段练习)设,若则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得出答案.
【详解】因为,,
所以.
故选:C.
3.(2022·全国·高一课时练习)化简( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简可得结果.
【详解】.
故选:C.
4.(2022·全国·高一课时练习)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简可得结果.
【详解】.
故选:B.
5.(2022·全国·高一课时练习)在中,,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用三角函数诱导公式对原式进行化简可得的值,利用平方关系得到的值,再结合三角形的内角,求解的值,进而得到的值,即可求解.
【详解】解:在中,,
平方得,,
因为A为三角形的一个内角,所以,,
所以,,
所以,结合,可得,,
所以.
故选:A.
6.(2022·全国·高一课时练习)设,其中,若,则( )
A.4 B.3 C.-5 D.5
【答案】C
【分析】使用诱导公式可以得到与的递推关系,从而得出结论
【详解】
.
故选:C.
7.(多选)(2021·全国·高一单元测试)下列各三角函数值的符号为负的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】根据诱导公式进行化简,进而判断出各选项的符号.
【详解】由诱导公式得:,A正确;,B正确;,C错误;,D正确.
故选:ABD
8.(多选)(2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中)下列结论中,正确的有( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【分析】根据诱导公式逐项分析即得.
【详解】对于A,,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C错误;
对于D,,故D正确.
故选:AD.
9.(多选)(2021·江苏·高一专题练习)在平面直角坐标系中,若与的终边关于轴对称,则下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【分析】根据与的终边关于轴对称可得,利用诱导公式依次验证各个选项即可.
【详解】与的终边关于轴对称,,
对于A,,,则不恒成立,A错误;
对于B,,,则不恒成立,B错误;
对于C,,,则恒成立,C正确;
对于D,,,则恒成立,D正确.
故选:CD.
10.(2022·浙江大学附属中学高一期中)计算:________.
【答案】1
【分析】根据诱导公式化简即可得解.
【详解】,
故答案为:1
11.(2021·江苏省灌南高级中学高一阶段练习)已知cos(45°+α)=,则cos(135°-α)=________.
【答案】-
【分析】由诱导公式直接可得.
【详解】因为,
所以.
故答案为:
12.(2022·全国·高一课时练习)已知是第四象限角,且,则___________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系可得,再由诱导公式化简目标式求值即可.
【详解】由题设,,
.
故答案为:
13.(2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习)若,则______.
【答案】1
【分析】同角三角函数间的基本关系和诱导公式化简并求值.
【详解】,
∴.
故答案为:1
14.(2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习)已知角的终边经过点,将角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边,则___________.
【答案】##
【分析】先由三角函数的定义求得,再利用诱导公式求得,进而求得.
【详解】因为角的终边经过点,
所以,则,
又因为角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边,故,
所以,
故.
故答案为:.
15.(2021·全国·高一专题练习)求证:.
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【详解】左边==–tanα=右边,
∴等式成立.
16.(2022·全国·高一课时练习)已知,求的值.
【答案】
【分析】利用诱导公式求出的值,利用诱导公式化简所求分式,结合弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】解:因为,
所以
.
17.(2022·湖北宜昌·高一阶段练习)已知.
(1)求的值;
(2)若为第四象限角,求的值.
【分析】(1)利用已知条件化简求出的值,然后利用诱导公式及弦化切,
将代入计算即可;
(2)利用及,根据在第四象限角求解即可.
【详解】(1)由题意得,
.
(2)由,得,
代入,得,
因为为第四象限角,所以,
,
故.
B组-[素养提升]
1.(多选)(2022·全国·高一课时练习)已知角满足,则的取值可能为( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【分析】分为奇数、为偶数两种情况讨论,利用诱导公式化简所求代数式,即可得解.
【详解】因为,则且,
当为奇数时,原式;
当为偶数时,原式.
故原式的取值可能为、.
故选:AC.
2.(2022·全国·高一课时练习)定义:角与都是任意角,若满足,则称与“广义互余”.已知,则下列角中,可能与角“广义互余”的是( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【分析】由条件结合诱导公式化简可得,根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.
【详解】∵,∴,若,则,所以,故A符合条件;
,故B不符合条件;
,即,又,∴,故C符合条件;
,即,又,∴,故D不符合条件.
故选:AC.
3.(2022·全国·高一课时练习)在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面横线中,并解答.
已知为第一象限角,且___________,求,,的值.
【答案】,,.
【分析】选择条件,利用三角函数诱导公式对原式进行化简,根据为第一象限角,结合平方关系及商数关系求值即可.
【详解】解:若选条件①,
由可得,
又,所以,得.
因为为第一象限角,所以,
所以,
所以.
若选条件②,
因为,所以,,
所以,又,所以,得,
因为为第一象限角,所以,
所以.
高中数学4.3 对数优秀课时练习: 这是一份高中数学4.3 对数优秀课时练习,文件包含44对数函数原卷版docx、44对数函数解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共20页, 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品课堂检测: 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品课堂检测,文件包含43对数原卷版docx、43对数解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共32页, 欢迎下载使用。
高中4.1 指数精品课时练习: 这是一份高中4.1 指数精品课时练习,文件包含42指数函数原卷版docx、42指数函数解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共34页, 欢迎下载使用。