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    【同步讲义】(人教A版2019)高一数学必修一:5.3 诱导公式 讲义
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    数学必修 第一册5.3 诱导公式优秀课时训练

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    这是一份数学必修 第一册5.3 诱导公式优秀课时训练,文件包含53诱导公式原卷版docx、53诱导公式解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共32页, 欢迎下载使用。

    5.3    诱导公式

     

    思维导图

    新课标要求

    借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(α ±α ±π的正弦、余弦、正切)。

     

    知识梳理

    一、公式二

    1.角πα与角α的终边关于原点对称.如图所示.

    2.公式:sin(πα)=-sin α

    cos(πα)=-cos α

    tan(πα)tan α.

    二、公式三

    1.角-α与角α的终边关于x轴对称.如图所示.

    2.公式:sin(α)=-sin α

    cos(α)cos α

    tan(α)=-tan α.

    三、公式四

    1.角πα与角α的终边关于y轴对称.如图所示.

    2.公式:sin(πα)sin α

    cos(πα)=-cos α

    tan(πα)=-tan α.

    四、公式五

    1.角α与角α的终边关于直线yx对称,如图所示.

    2.公式:sincos αcossin α.

    五、公式六

    1.公式:sincos αcos=-sin α.

    2.公式五与公式六中角的联系απ.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    名师导学

    知识点1    给角求值

    利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

    (1)负化正——用公式一或三来转化.

    (2)大化小——用公式一将角化为360°间的角.

    (3)小化锐——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.

    (4)锐求值——得到锐角三角函数后求值.

     

    【例1-1】2022·全国·高一专题练习)______

    【答案】##

    【分析】利用三角函数的诱导公式化简,再借助特殊角的三角函数值计算可得.

    【详解】

    .

    故答案为: .

    【变式训练1-1】2022·山东日照·高一期末)    

    A B C D

    【答案】A

    【详解】.

    故选:A.

    【变式训练1-2】2022·全国·高一课时练习)计算:___________.

    【答案】0

    【详解】

    故答案为:0

     

    知识点2    给值(式)求值

    解决条件求值问题的策略

    (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.

    (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.

    【例2-1】2022·辽宁葫芦岛·高一期末)已知为锐角,,则的值为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】由诱导公式与同角三角函数的基本关系求解即可

    【详解】因为

    所以

    为锐角,

    所以

    故选:C

    【例2-2】2022·陕西渭南·高一期末),且是第三象限角,则    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得,再次利用诱导公式可求得结果.

    【详解】,又是第三象限角,

    .

    故选:C.

    【变式训练2-1】2022·北京西城·高一期末),则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】利用诱导公式化简目标式,即可得答案.

    【详解】.

    故选:B

    【变式训练2-2】2022·全国·高一单元测试)已知 ,则cos()=    

    A        B       C        D

    【答案】A

    【分析】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.

    【详解】

    故选:A

    【变式训练2-3】2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习),则__________

    【答案】0

    【分析】根据诱导公式计算.

    【详解】

    故答案为:0.

    【变式训练2-4】2022·江西省万载中学高一期中),则的值为_____.

    【答案】

    【分析】根据诱导公式化简求值.

    【详解】由

    故答案为:.

     

     

    知识点3    化简求值

    三角函数式化简的常用方法

    (1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.

    (2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.

    (3)注意1的代换:1sin2αcos2αtan .

    【例3-1】2022·全国·高一学业考试)已知,则______

    【答案】##0.75

    【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可.

    【详解】解:由题意得:

    故答案为:

    【例3-2】2022·辽宁沈阳·高一期末)已知角的终边上的一点,则的值为___________.

    【答案】

    【分析】由三角函数的定义可得,原式可化简为可求解.

    【详解】因为角的终边上的一点,所以

    所以.

    故答案为:.

    【例3-3】202河北·石家庄市第十五中学高一开学考试)化简求值:

    1

    2

    【解】(1

    2

    【变式训练3-1】2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中)化简:______

    【答案】

    【分析】结合诱导公式与同角的商数关系进行化简整理即可.

    【详解】

    故答案为:.

    【变式训练3-2】2020·天津·高一期末)已知,则_________

    【答案】

    【分析】根据诱导公式,结合齐次式求值即可得答案.

    【详解】解:因为

    所以,

    故答案为:

    【变式训练3-3】2022·全国·高一课时练习)化简:__

    【答案】

    【分析】利用诱导公式进行化简即得.

    【详解】原式.

    故答案为:.

     

    知识点4    证明恒等式

    三角恒等式的证明策略

    对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.

    【例4-1】2021·全国·高一课时练习)1)求证:

    2)设,求证.

    证明】(1)左边=  =右边,所以原等式成立.

    2)方法1:左边=  ===右边,所以原等式成立.

    方法2:由,得

    所以,等式左边= ===右边,等式成立.

    【变式训练4-1】2022·全国·高一课时练习)求证:

    【答案】证明见解析

    【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简,进而证明问题.

    【详解】左边

    .

    右边.

    左边=右边,故原等式成立.

    【变式训练4-2】2022·全国·高一课时练习)求证:

    【答案】证明见解析

    【分析】利用诱导公式化简即可证明;

    【详解】证明:左边

    =右边,所以原式成立.

     

     

     

    知识点5    诱导公式的综合应用

    诱导公式综合应用要三看

    一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.

    二看函数名称:一般是弦切互化.

    三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,平方和差、立方和差公式.

    【例5-1】2022·安徽省舒城中学高一开学考试)已知α是第三象限角,且.

    (1)化简

    (2),求

    (3),求.

    【解】1)根据诱导公式有:

    2)因为α是第三象限角,

    所以

    所以

    3)因为

    所以

    .

    【例5-2】2022·辽宁·鞍山一中高一期中)已知函数

    (1)

    (2),求的值.

    【解】(1)

    (2)

    所以

     

    【变式训练5-1】2022·广东·佛山市南海区第一中学高一阶段练习)已知角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,是角α终边上一点,且.

    (1)m的值;

    (2)的值.

    【解】1,解得

    2,

    =

    =

    【变式训练5-2】2022·山东山东·高一期中)已知

    (1)的值;

    (2)的值.

    【解】(1),可得

    所以,解得

    所以

    (2)由(1)知

    所以

    【变式训练5-3】2022·全国·高一课时练习)已知.

    (1)若角是第三象限角,且,求的值;

    (2),求的值.

    1)解:.

    因为,所以

    又角是第三象限角,所以

    所以.

    2)解:因为,所以.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    名师导练

    A组-[应知应会]

    12022·西藏拉萨·高一期末)    

    A B C D1

    【答案】B

    【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.

    【详解】.

    故选:B

    22021·广东·饶平县第二中学高一阶段练习),若    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得出答案.

    【详解】因为

    所以.

    故选:C.

    32022·全国·高一课时练习)化简    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】利用诱导公式化简可得结果.

    【详解】.

    故选:C.

    42022·全国·高一课时练习)已知,则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】利用诱导公式化简可得结果.

    【详解】.

    故选:B.

    52022·全国·高一课时练习)中,,则的值是(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】利用三角函数诱导公式对原式进行化简可得的值,利用平方关系得到的值,再结合三角形的内角,求解的值,进而得到的值,即可求解.

    【详解】解:在中,

    平方得

    因为A为三角形的一个内角,所以

    所以

    所以,结合,可得

    所以.

    故选:A.

    62022·全国·高一课时练习),其中,若,则    

    A4 B3 C.-5 D5

    【答案】C

    【分析】使用诱导公式可以得到的递推关系,从而得出结论

    【详解】

    故选:C.

    7(多选)2021·全国·高一单元测试)下列各三角函数值的符号为负的是(    

    A B

    C D

    【答案】ABD

    【分析】根据诱导公式进行化简,进而判断出各选项的符号.

    【详解】由诱导公式得:A正确;B正确;C错误;D正确.

    故选:ABD

    8(多选)2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中)下列结论中,正确的有(    

    A B

    C D

    【答案】AD

    【分析】根据诱导公式逐项分析即得.

    【详解】对于A,故A正确;

    对于B,故B错误;

    对于C,故C错误;

    对于D,故D正确.

    故选:AD.

    9(多选)2021·江苏·高一专题练习)在平面直角坐标系中,若的终边关于轴对称,则下列等式恒成立的是(   

    A B

    C D

    【答案】CD

    【分析】根据的终边关于轴对称可得,利用诱导公式依次验证各个选项即可.

    【详解】的终边关于轴对称,

    对于A,则不恒成立,A错误;

    对于B,则不恒成立,B错误;

    对于C,则恒成立,C正确;

    对于D,则恒成立,D正确.

    故选:CD.

    102022·浙江大学附属中学高一期中)计算:________

    【答案】1

    【分析】根据诱导公式化简即可得解.

    【详解】

    故答案为:1

    112021·江苏省灌南高级中学高一阶段练习)已知cos(45°α)=,则cos(135°α)________.

    【答案】-

    【分析】由诱导公式直接可得.

    【详解】因为

    所以.

    故答案为:

    122022·全国·高一课时练习)已知是第四象限角,且,则___________.

    【答案】

    【分析】利用同角三角函数关系可得,再由诱导公式化简目标式求值即可.

    【详解】由题设,

    .

    故答案为:

    132022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习),则______

    【答案】1

    【分析】同角三角函数间的基本关系和诱导公式化简并求值.

    【详解】

    故答案为:1

    142022·北京·牛栏山一中高一阶段练习)已知角的终边经过点,将角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边,则___________.

    【答案】##

    【分析】先由三角函数的定义求得,再利用诱导公式求得,进而求得.

    【详解】因为角的终边经过点

    所以,则

    又因为角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边,故

    所以

    .

    故答案为:.

    152021·全国·高一专题练习)求证:

    【答案】证明见解析.

    【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.

    【详解】左边==–tanα=右边,

    等式成立.

    162022·全国·高一课时练习)已知,求的值.

    【答案】

    【分析】利用诱导公式求出的值,利用诱导公式化简所求分式,结合弦化切可求得所求代数式的值.

    【详解】解:因为

    所以

    .

    172022·湖北宜昌·高一阶段练习)已知

    (1)的值;

    (2)若为第四象限角,求的值.

    【分析】(1)利用已知条件化简求出的值,然后利用诱导公式及弦化切,

    代入计算即可;

    2)利用,根据在第四象限角求解即可.

    【详解】(1)由题意得

    .

    2)由,得

    代入,得

    因为为第四象限角,所以

     

    B组-[素养提升]

    1(多选)2022·全国·高一课时练习)已知角满足,则的取值可能为(    

    A B C D

    【答案】AC

    【分析】分为奇数、为偶数两种情况讨论,利用诱导公式化简所求代数式,即可得解.

    【详解】因为,则

    为奇数时,原式

    为偶数时,原式.

    故原式的取值可能为.

    故选:AC.

    22022·全国·高一课时练习)定义:角都是任意角,若满足,则称广义互余”.已知,则下列角中,可能与角广义互余的是(    

    A B C D

    【答案】AC

    【分析】由条件结合诱导公式化简可得,根据广义互余的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.

    【详解】,若,则,所以,故A符合条件;

    ,故B不符合条件;

    ,即,又,故C符合条件;

    ,即,又,故D不符合条件.

    故选:AC.

    32022·全国·高一课时练习)这两个条件中任选一个,补充在下面横线中,并解答.

    已知为第一象限角,且___________,求的值.

    【答案】.

    【分析】选择条件,利用三角函数诱导公式对原式进行化简,根据为第一象限角,结合平方关系及商数关系求值即可.

    【详解】解:若选条件

    可得

    ,所以,得.

    因为为第一象限角,所以

    所以

    所以.

    若选条件

    因为,所以

    所以,又,所以,得

    因为为第一象限角,所以

    所以.

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