【同步讲义】（人教A版2019）高一数学必修一：《第一章 集合与常用逻辑用语》学业水平质量检测（A卷）

《第一章  集合与常用逻辑用语》学业水平质量检测（A卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据补集的运算得到，再根据交集的运算即可得出答案.

【详解】

因为，

所以或.

所以

故选：B.

2．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.

【详解】

由于，所以，

所以实数m的取值集合为.

故选：C

3．已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由根的判别式列出不等关系，求出实数a的取值范围.

【详解】

“，方程有解”是真命题，故，解得：，

故选：B

4．已知p：，q：，则p是q的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程和，根据充分条件、必要条件即可求解.

【详解】

由，得或，

由，得或，

因为或成立推不出或成立，反之也不成立，

所以既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

故选：D

5．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1

【答案】D

【解析】

【分析】

若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．

【详解】

解：由题意可得，集合A为单元素集，

（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，，

（2）当a≠0时   则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，

当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，，

当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，．

综上所述，a的取值为﹣1，0，1．

故选：D．

6．集合，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由可得，从而可求出，然后解方程求出集合A，B，再求两集合的并集

【详解】

因为，

所以，

所以，解得，

所以，，

所以 ，

故选：D

7．设集合，，则“且”成立的充要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意得到，再计算得到答案.

【详解】

由题意可知，，，即，

所以“且”成立的充要条件是．

故选：D．

8．集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是

A．, B．,

C．, D．,

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：从集合的定义，，可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是，，选B．

二、多选题

9．设全集，集合，，则（       ）

A． B．

C． D．集合的真子集个数为8

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.

【详解】

因为全集，集合，，

所以，，，

因此选项A、C正确，选项B不正确，

因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，

故选：AC

10．若是的必要不充分条件，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.

【详解】

由，可得或.

对于方程，当时，方程无解；

当时，解方程，可得.

由题意知，，则可得，

此时应有或，解得或.

综上可得，或.

故选：BC.

11．已知A、B为实数集R的非空集合，则A⫋B的必要不充分条件可以是（　　）

A．A∩B＝A B．A∩∁RB＝∅ C．∁RB⫋∁RA D．B∪∁RA＝R

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据集合之间的关系和必要不充分条件的定义即可判断．

【详解】

解：因为A⫋B⇔∁RB⫋∁RA，所以∁RB⫋∁RA是A⫋B的充分必要条件，

因为A⫋B⇒A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∩∁RB＝∅⇔B∪∁RA＝R，

故选：ABD．

12．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.

【详解】

当时，，即，此时，符合题意，

当时，，即，

由可得或，

因为，所以或，可得或，

因为，所以，

所以实数的取值范围为或，

所以选项ABC正确，选项D不正确；

故选：ABC.

三、填空题

13．命题“，”的否定是_______

【答案】,,

【解析】

【分析】

根据全称量词命题的否定即可求解.

【详解】

“，”的否定是:,,

故答案为：,,

14．若集合与满足，则实数______．

【答案】或或

【解析】

【分析】

根据集合间的运算结果分情况讨论的值.

【详解】

由可得，

当时，，若，集合A不成立；若，，成立；

当时，，若，；

若，，均成立；

当时，或，若，成立；

若，集合A不成立；

故答案为：或或.

15．已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________

【答案】

【解析】

【分析】

利用已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

由是的必要条件，则，

可得，解得.

故答案为：.

16．由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是________.

①M没有最大元素，N有一个最小元素；

②M没有最大元素，N也没有最小元素；

③M有一个最大元素，N有一个最小元素；

④M有一个最大元素，N没有最小元素；

【答案】③

【解析】

根据新定义，并正确列举满足条件的集合，判断选项.

【详解】

①若，，则集合没有最大值，中有最小元素0，故①正确；

②若，，则中没有最大元素，也没有最小元素，故②正确；

③假设③正确，则中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故③不正确；

④若，，集合有最大值，没有最小值，故④正确；

故答案为：③.

【点睛】

本题是创新型题型，以新定义为背景，考查有理数集的交集和并集，属于中档题型，本题的关键是理解题中的新定义，并合理举例.

四、解答题

17．已知

(1)若求实数a的取值范围

(2)若，求实数的取值范围

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）由题可得，即得；

（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．

(1)

∵，

∴，即，

∴实数a的取值范围为；

(2)

∵，，

∴，解得，

故实数的取值范围为.

18．设全集，集合，，．

(1)求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先求，再求交集即可；

（2）先求，再根据数轴上的关系分析时实数的取值范围即可

(1)

或，故．

(2)

，因为，故．

19．已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.

(1)若a=3，求；

(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）将a=3代入求出集合P，Q，再由补集及交集的意义即可计算得解.

（2）由给定条件可得，再根据集合包含关系列式计算作答.

(1)

因a=3，则P={x|4≤x≤7}，则有或，又Q={x|-2≤x≤5}，

所以.

(2)

“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，于是得，

当a+1>2a+1，即a<0时，，又，即，满足，则a<0，

当时，则有或，解得或，即，

综上得：，

所以实数a的取值范围是.

20．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有几人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？

【答案】44

【解析】

【分析】

借助韦恩图分析可解.

【详解】

记集合是参加测量的学生，是参加计算的学生，

是参加绘图的学生，则由已知可得如下韦恩图.

所以

已知，故这支测绘队至少有44人.

21．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的存在，求的值，若不存在，请说明理由.已知集合__________，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】当选条件①时，2≤a≤3；当选条件②③时，不存在a的值满足题意.

【解析】

【分析】

把充分不必要条件转化为集合的关系，进而求参数

【详解】

当选条件①时，因为“ ”是“”的充分不必要条件，所以A⫋B，

即 解得2≤a≤3．所以实数a的取值范围是[2，3]．

当选条件②时，因为“ ”是“”的充分不必要条件，所以A⫋B，

即解得a＝1．此时A＝B，不符合条件．

故不存在a的值满足题意．

当选条件③时，因为“ ”是“”的充分不必要条件，所以A⫋B，

即该不等式组无解，

故不存在a的值满足题意．

综上：当选条件①时，2≤a≤3；当选条件②③时，不存在a的值满足题意.

22．设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A．

【答案】或

【解析】

【分析】

先求出和，再已知条件列出的方程，利用分类讨论即可求解.

【详解】

解：，

由知，，即

因为

所以

因为中所有元素之和是246

即

化简为：

因为

若，则，

而最小为，最小为，所以

所以或者

当时，

此时，，恰好满足

当时，

此时，恰好满足

所以集合有两种可能：或

【点睛】

思路点睛：该题可看成有限制条件的不定方程，列出方程后，先对最大数取值，再对较小数取值，直到满足条件即可.