【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第02讲 平面向量的加法运算 讲义

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第2课  平面向量的加法运算  课程标准课标解读  理解并掌握向量加法的概念.  掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．1、通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同.2、熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算.3、.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广.   知识点01  向量加法的定义及其运算法则1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2．向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型．【即学即练1】化简等于（    ）A． B． C． D．答案C解析 .故选:C.   知识点02  向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【即学即练2】[多选]如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（    ）A． B．C． D．  解析：选ACD　由平行四边形加法法则可得：，A正确；由三角形加法法则，B错误；，C正确；，D正确.故选：ACD知识点03  向量加法的实际应用【即学即练3】在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).答案　答案见解析.解析　如图所示，表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向.所以在中，.所以船实际行进的方向的正切值为.  考法01  向量的加法法则 【典例1】已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（    ）A．2 B． C． D．3 答案　C解析　如图所示：设点是的中点，由题可知：.故选：C.【变式训练】1．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　）A．5 B．4C．3 D．2答案  A解析  因为向量的加法满足交换律和结合律，所以，，，，都等于，故选：A2．在中，是边上的点且，若则______．答案  ##解析  因为在中，是边上的点且，所以，即，所以，，即故答案为：  考法02  相等加法运算律的应用【典例2】如图所示，在中，与相交于点.(1)用和分别表示和；(2)若，求实数和的值.答案  (1)，(2) 解析 （1）由，可得.（2）（2）设，将代入，则有，即，解得，故，即.【变式训练】1．如图，正六边形ABCDEF中，则（    ）A． B． C． D．答案  D解析  由已知，ABCDEF为正六边形，所以，,所以.故选：D. 2．（多选）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（    ）A． B．C． D．答案  AC解析  如图所示：对A，，又，即，故A正确；对B，，故B错误；对C，设为与的交点，由题意可得：是的重心，故，，故C正确；对D，，故D错误.故选：AC.    题组A  基础过关练1．已知平面向量、、，下列结论中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则答案    B解析    对于选项A：若、为非零向量，，但不一定等于，故不成立，A错误；对于选项B：可知、同向，于是可知、共线，即，故B正确；对于选项C：若为零向量，，不一定能推出，故C错误；对于选项D：，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出，故D错误；故选：B2．下列说法错误的是（    ）A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动答案    B解析    因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.3．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ）A． B．C． D．答案    B解析    由于是边上的中点，则..故选：B.4．中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（    ）A． B．C． D．答案    D 解析    取中点，连,则点为的重心，，即，故选：D.5．在中，已知为上一点，若，则（    ）A． B． C． D．答案    B解析    因为，所以.故选：B.6．若的边上两点，满足，则（    ）A． B．C． D．答案    C解析    若是等边三角形时，，故A，B错误因为，所以是的三等分点，设的中点，则也是的中点，所以，，即.故C正确；若，则，，D错误故选：C 7．（多选）下列说法中，正确的是（    ）A．若向量，满足，与同向，则B．若两个非零向量，满足，则，是互为相反向量C．的充要条件是与重合，与重合D．模为是一个向量方向不确定的充要条件答案    BD解析    对A：向量不可比较大小，故A错误；对B：若两个非零向量，满足，则，且方向相反，故，互为相反向量，B正确；对C：与重合，与重合，故，充分性成立；但，根据向量可平移性，不一定有与重合，与重合，必要性不满足，C错误；对D：模为的向量是零向量，其方向不确定，故充分性成立；一个向量方向不确定，是零向量，其模为，必要性成立，即模为是一个向量方向不确定的充要条件，D正确.故选：BD.8．（多选）下列说法中，正确的是（    ）A．模为是一个向量方向不确定的充要条件B．若向量，满足，与同向，则C．若两个非零向量，满足，则，是互为相反向量D．的充要条件是与重合，与重合答案    AC解析    解：对于A，只有零向量的模长为，且方向是任意的，因为模长为的向量方向是不确定的，所以充分性成立，因为一个方向不确定的向量的模长为，所以必要性成立，故A正确，对于B，表达错误，向量既有大小又有方向，它的模长可以比较大小，其本身不能比较大小，故B错误，对于C，由可得，即与模长相等，方向相反，所以，互为相反向量，故C正确，对于D，由于向量可以平行移动，所以由不一定能得到与重合，与重合，故D错误，故选：AC． 9．在中，点满足，则与的面积比为___________．答案    ##解析    取边的中点，连接，如图所示，因为，即，所以，即点为的中点，所以.故答案为：10．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点，若，，，则__________．答案    解析    解：)=．故答案为：.11．向量的和、向量的加法：已知向量和，______________，则向量叫作与的和，记作：____________．求两个向量_________的运算叫作向量的加法．答案         在平面内取任取一点O，作，          和12．在中，是边上的点且，若则______．答案    ##解析    解：因为在中，是边上的点且，所以，即，所以，，即故答案为： 题组B  能力提升练 1．若非零向量满足，则(    )A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，∴.若与共线，由则中有一个必为零向量，与不共线，即，.同理知无法判断之间的大小关系.故选：C.2．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：对于A，因为，,所以，故正确；对于B，因为,(为中点)，故错误；对于C，因为(为中点),(为中点),所以，故正确；对于D，因为，，所以，故正确.故选：B.3．若非零不共线的向量满足，则（    ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】                  （2）由非零向量，满足当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得.故选：C4． 为非零向量，且，则（    ）A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反C． D．无论什么关系均可【答案】A【详解】当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且；当两个非零向量同向时， 的方向与的方向都相同，且；当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且，所以对于非零向量 ，且，则，且与方向相同.故选：A. 5．（多选）下列关于向量的叙述正确的是（    ）A．向量的相反向量是B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则D．若向量与满足关系，则与共线【答案】ABD【详解】解：A向量的相反向量是，正确：B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则，不正确，因为与可能方向相反；D.若向量与满足关系，∴，则与共线，正确.故选：ABD6．（多选）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于A：如下图所示，可知在内部，故成立；对于B：如下图所示，可知在外部，故不成立；对于C：因为，如下图所示，可知在内部，故成立；对于D：因为，如下图所示，可知在外部，故不成立；故选：AC.7．一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处【详解】如图所示，设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即.在中，.在中，，，即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.8．在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，则四边形为平行四边形.所以，，因为，于是，所以，，故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.  题组C  培优拔尖练1．如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（    ）A． B．C． D．答案    A解析    解：，，分别是的边，，的中点，，，，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误；故选：A．2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（    ）A． B．0 C． D．答案    A解析    连接OB.由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，∴四边形OABC是平行四边形，，，故选:A. 3．（多选）在中，设，，，，则下列等式中成立的是（    ）A． B． C． D．答案    ABD解析    由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.故选：ABD4．（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（    ）A． B．C． D．答案    AC解析    由题意，，易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.故选：AC. 5．在中，，且，，（其中），且，若，分别为线段，中点，当线段取最小值时________答案              解析    连接,如图所示：由等腰三角形中，知 所以是的中线， 同理可得 又， 故当时，有最小值，此时.故填.6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东，风速是；水的流向是正东方向，流速是，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东___________，大小是____________．答案           解析  如图风速为风速是，即水的流速是，即则救生艇速度大小即为由题可知：四边形为菱形且所以，且所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东，大小为故答案为：， 7.如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.答案    小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，.解析    设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图：连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，则四边形ACBD为平行四边形，所以就是小船在静水中的速度.在中，，，，，∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，.8．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗?答案    两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.解析    用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知：，可表示两次位移的和位移.由题意知，在中，，则，，在等腰中，，，，，两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.