【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第19讲 复数的乘、除运算 讲义

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第19课   复数的乘、除运算  课程标准课标解读 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．  1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．   知识点01  　复数乘法的运算法则和运算律1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3  【即学即练1】　　计算下列各题．(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.    反思感悟　(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤①首先按多项式的乘法展开．②再将i2换成－1.③然后再进行复数的加、减运算．(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．③(1±i)2＝±2i.   知识点02 　复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则＝＝＝＋i.复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共轭复数．  【即学即练2】计算：＝________.答案　－2＋i解析　方法一　＝＝＝－2＋i.方法二　＝＝＝＝＝－2＋i.反思感悟　复数的除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．      考法01 复数代数形式的乘法运算  【典例1】计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　)A．2i－13   B．13＋2iC．13－2i   D．－13－2i答案　D解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.【变式训练】若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1)   B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)   D．(－1，＋∞)答案　B解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以解得a<－1.  考法02  复数代数形式的除法运算【典例2】设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)A．1  B.  C.  D．2答案　A解析　由＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝＝＝＝i，|z|＝1. 【变式训练】)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)A．3＋5i   B．3－5iC．－3＋5i   D．－3－5i答案　A解析　∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝＝＝＝3＋5i.  考法03  在复数范围内解方程 【典例3】在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，所以(x＋3)2＝－1，又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，所以方程的根为x＝＝－3±i.反思感悟　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x＝.②当Δ<0时，x＝.(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 【变式训练】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是不是方程的根．解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，∴解得(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程式成立．∴1－i是方程的根．   题组A  基础过关练  一、单选题1．已知i为虚数单位，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】.故选：A2．复数的虚部为（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【详解】因为所以虚部为1.故选：B  3．已知复数满足：（i为虚数单位），则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【详解】，故.故选：C.4．已知复数为的共轭复数，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由得代入计算可得．故选：D．5．已知，则复数z+5的实部与虚部的和为（　　）A．10 B． C．0 D．【答案】A【详解】由可得，，所以的实部与虚部的和为，故选：A6．若，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】，则，所以，故选：A7．已知复数z满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，所以，，故.故选：A8．复数在复平面内对应的点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，故对应的点的坐标为.故选：B.9．已知复数，则z的虚部是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴z的虚部为.故选：B.10．已知，则复数z的虚部为（    ）A．1 B．-i C．-1 D．【答案】C【详解】，即，故虚部为-1故选：C 二、填空题11．设复数z满足（其中是虚数单位），则___________.【答案】【详解】由已知条件得，则.故答案为：. 12．如果与（i为虚数单位）是共轭复数，则实数x＝_____，y＝________.【答案】     ##0.25      【详解】因为与（i为虚数单位）是共轭复数，所以，解得：.故答案为：；.   题组B  能力提升练 一、单选题1．已知复数，则（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】A【详解】，故选：A2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面上的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】由，所以，所以z在复平面上的点位于第四象限.故选：D．3．已知 为虚数单位)，则 在复平面内对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】由可得，所以，则，故复平面内对应的点在第二象限，故选：B4．已知复数 (i为虚数单位)，则复数z在复平面上对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】解：∵，∴复数 又 则对应点坐标为 位于第四象限.故选：D5．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得.故选：B6．已知复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则故选：C.7．若复数满足（为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，，解得，即.故选：D.8．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为复数，所以，则，所以复数在复平面内所对应的点的坐标是，故选：.9．已知，则（    ）A．1 B．3 C． D．【答案】A【详解】解：故选：A10．已知（其中为虚数单位），则复数等于（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，则，所以.故选：A.11．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ）A．的共轭复数为 B．C．的虚部为 D．在复平面内是第三象限的点【答案】B【详解】因为，所以的共轭复数为；；的虚部为；在复平面内对应点的坐标为，它在第四象限，故选：B 二、填空题12．已知复数 ，则_______【答案】【详解】故答案为：13．已知复数（为虚数单位），则___________.【答案】【详解】因为，则，所以.故答案为：.14．已知是实数，是虚数单位，若复数的实部和虚部互为相反数，则___________.【答案】【详解】由题意，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得，此时，则，故答案为：15．若是虚数单位，则复数 对应的点的坐标为________．【答案】【详解】,则复数 对应的点的坐标为，故答案为：．16．若复数z满足（i为虚数单位），则__________．【答案】【详解】∵，∴，即，∴．故答案为：．   题组C  培优拔尖练 一、单选题1．已知复数z满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，故选：B2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以.故选：A.3．复数在复平面内对应向量的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以，故选：B.4．（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】因为则故选:A5．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为复数满足，所以所以，所以.故选：B6．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的模是（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以的共轭复数为，，所以的共轭复数的模是.故选：C7．若，则的实部为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，，则的实部为.故选：C. 二、多选题8．已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（    ）A．当时，B．当时，C．若，则存在实数，使得D．若，则【答案】AC【解答】对A，即，两边平方可得，A对；对，取，则，当，B错；对，即，两边平方可得，故，故，因此存在实数，使得，C对；对，取，但，D错.故选：AC9．下列说法中正确的有（    ）A．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第四象限；B．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限；C．在中，若，则为等腰或直角三角形；D．在中，若，则为等腰三角形.【答案】ABD【详解】因为，所以，所以，其所对应的点的坐标是，在第四象限，故A正确；，所对应的点的坐标是，在第三象限，故B正确；因为，结合正弦定理可得，因此为等腰三角形，故C错误；因为，所以，即，即，所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故D正确，故选：ABD.10．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．的虚部为C．若，则 D．【答案】BCD【详解】对于A; 若，则，但是复数不可以比较大小，故错误，对于B; ,所以的虚部为，故正确，对于C; 若，则,故，故，正确，对于D; 而,进而，故，所以正确，故选：BCD 三、填空题11．设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．【答案】2【详解】将代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故答案为：2 四、解答题12．已知复数在复平面内对应的点分别为．(1)若，求a的值；(2)若复数对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．【答案】(1)或(2) 【详解】（1），解得或；（2），由于z对应的点在第一、三象限的角平分线上，则，解得.