【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第26讲 平面 讲义

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第26课  平 面   课程标准课标解读1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．1.前面我们从整体的角度认识了柱体、锥体、台体、球等简单几何体的结构特征，接下来从局部的角度来认识构成空间几何体的基本元素一点、直线、平面之间的位置关系，从而进一步认识空间图形，提高空间想象能力.2.本节内容的安排是首先让学生认识新的几何元素“平面”及其性质，其次让学生经历将自然语言转化为图形语言和符号语言的过程，最后让学生在直观感受的基础上形成三个基本事实和三个推论，初步体会欧几里得公理化体系，为后续学习做好准备因此本节内容具有极其重要的地位与价值3.本节内容所涉及的主要核心素养有：直观想象、逻辑推理等    知识点01   平面1．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周    的．2．平面的画法画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向一个平面的一部分被另一个平面挡住，被挡住的部分画成虚线或不画图示 3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 【即学即练1】　反思感悟  知识点02  　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内 l在α外l⊄αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于A α，β相交于l      知识点03   平面的基本性质及作用1．三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.三个推论推论内容图形推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面 【即学即练3】给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确的有________．(填序号)答案　①解析　①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．     考法01  图形语言、文字语言、符号语言的相互转换【典例1】若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作(　　)A．A∈b，b∈β   B．A∈b，b⊂βC．A⊂b，b⊂β   D．A⊂b，b∈β    反思感悟  用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．【变式训练】如图所示，用符号语言可表述为(　　)A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∉α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∉α，A∈m，A∈n      考法02  点、线共面【典例2】已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．      反思感悟 证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．  【变式训练】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．     考法03 证明点共线、线共点问题 【典例3】)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．      【变式训练】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．    反思感悟 　(1)点共线与线共点的证明方法①证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．②证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．(2)利用3个基本事实及推论，证明点共线及线共点问题，提升逻辑推理素养．   题组A  基础过关练 一、单选题1．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（    ）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直    2．下列命题中正确的是（    ）A．三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面D．四边形可确定一个平面     3．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ）A． B．C． D．     4．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3     5．在空间中，下列命题中正确的是（   ）A．对边相等的四边形一定是平面图形B．四边相等的四边形一定是平面图形C．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形D．有一组对角相等的四边形是平面图形     6．平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（    ）A．个 B．个C．个 D．个      二、多选题7．已知直线a，b和平面，且，，则a与b的关系可以为（    ）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直     8．下列结论中正确的是（    ）A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上D．任意两条直线不能确定一个平面      三、填空题9．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面各项中的哪几种：___________（填序号）.①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台.     10．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面，其中正确的序号为_________．     11．在棱长为的正方体中，分别是和的中点，经过点的平面把正方体截成两部分，则截面与的交线段长为________.     12．已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；②M的面积最大值为；③M的周长为定值．     四、解答题13．已知三角形ABC的三个顶点都在平面上，求证：该三角形的内心I也在平面上．     14．如图，四边形和四边形都是梯形，且，且，，分别为的中点．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)四点是否共面？为什么？      题组B  能力提升练一、单选题1．若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（    ）A． B． C． D．     2．两个平面能把空间分成几个部分（    ）A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4     3．如图，在长方体中，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ）A．、、、四点共面，且与平行B．、、、四点共面，且与相交C．、、、四点共面，且与平行D．、、、四点不共面     4．如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（    ）A．三角形 B．平面四边形C．平面五边形 D．平面六边形     5．已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（    ）A． B． C． D．     6．在正方体中，和的中点分别为M，N.如图，若以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为（    ）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形               二、多选题7．下列是基本事实的是（    ）A．经过两条相交直线，有且只有一个平面B．过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面C．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面D．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内     8．如图，在所有棱长均为2的正三棱柱中，点是棱的中点，，过点作平面与平面平行，则（    ）A．当时，截正三棱柱的截面面积为B．当时，截正三棱柱的截面面积为C．截正三棱柱的截面为三角形，则的取值范围为D．若，则截正三棱柱的截面为四边形      三、填空题9．互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；     10．一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分．     11．已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点作平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 ______（写出所有正确结论的序号）.①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形.     12．已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；②M的面积最大值为；③M的周长为定值．     四、解答题13．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．(1)，；(2)，，；(3)，，，．      题组C  培优拔尖练1．如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上．     2．已知空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，且.求证：（1）四点共面；（2）三条直线交于一点.     3．如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点（1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.     4．如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．     5．如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点．(1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线；(2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值．