【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第32讲 直线与平面垂直 讲义

这是一份【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第32讲 直线与平面垂直 讲义，文件包含第32讲直线与平面垂直学生版docx、第32讲直线与平面垂直教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。

第32讲 直线与平面垂直

目标导航


课程标准
课标解读
1. 了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题．


1.本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题
2.直线与平面重直的研究是直线与直线垂直研究的继续，世为平面与平面重直的研究做了滩各线公全 屏面垂直是在学生掌握了线在面内、线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方“下一篇面垂直的判定定理、性质定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过5A程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务

知识精讲


知识点01 直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示

画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

【即学即练1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)

A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
答案　B
解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.


知识点02 直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言



【即学即练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.

证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
反思感悟　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．

知识点03 直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA

斜足
斜线和平面的交点，如图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°

【即学即练3】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．

(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.

∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
反思感悟
　(1)求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角．
(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角，提升直观想象、逻辑推理的素养．

知识点04 直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言


反思感悟
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
【即学即练4】如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.

(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成角的大小．
(1)证明　∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)解　设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示．

∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.


能力拓展


考法01 直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解

【典例1】(多选)下列命题中，不正确的是(　　)
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
答案　ABD
解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误．
反思感悟　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事．
【变式训练】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
答案　①③④
解析　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．


考法02 直线与平面垂直的判定

【典例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.

证明　∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，
则A1O＝，OM＝，A1M＝3，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，
∴A1O⊥平面MBD.
反思感悟　证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.

【变式训练】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．

(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.


考法03 直线与平面垂直的性质

【典例3】在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
答案　A
解析　如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，

连接OA，OB，OC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
又PA＝PB＝PC，
∴Rt△POA≌Rt△POB
≌Rt△POC，
则OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心．


【变式训练】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　)

A．45° B．60°
C．30° D．75°
答案　A
解析　取BC的中点D，连接AD，B1D，

∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角．
设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝，
∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.
即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.


分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（      ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
【答案】C
【解析】由，根据线面垂直的性质定理，可得结果
【详解】因为，，
又，所以，
同理可证，所以//.
故选：C
【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，属基础题.
2．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（    ）
A．若，，则 B．若，，
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】D
【分析】依据线面垂直判定定理去判断各个选项即可解决.
【详解】选项A：若，，则或或相交.判断错误；
选项B：若，，则或或相交.判断错误；
选项C：若，，则或或相交.判断错误；
选项D：若，，则，又，则.判断正确.
故选：D
3．下列命题为真命题的是（    ）
A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直
B．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行
C．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直
D．若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行
【答案】B
【分析】根据线面垂直的性质定理与判定定理、空间直线平面间的位置关系判断．
【详解】A. 若直线l与平面α上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l与平面α不一定垂直，A错；
B. 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确；
C. 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平面可以相交，也可以平行，C错；
D. 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，直线l与平面α可能相交也可能平行，D错．
故选：B．
4．已知、是两条不同的直线，是一个平面，则（    ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】根据空间中线与面的位置关系判断即可.
【详解】解：对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；
对于C：若，，则或或或与相交（不垂直），故C错误；
对于D：若，，由线面垂直的性质可得，故D正确；
故选：D
5．如图，正方体中，E､F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是（    ）

A． B．面CEF
C．三角形BEF和三角形CEF的面积相等 D．三棱锥B-CEF的体积为定值
【答案】C
【分析】由正方体的性质知面，由△BEF和△CEF的底边上的高不相等可知它们的面积不相等，又点到面的距离为定值，即可判断各项的正误.
【详解】面，面，面与面重合，所以A，B均正确，
到的距离为的高，到的距离即为，所以的面积大于的面积， C错误；
点到面的距离为定值，为长，的面积也为定值， D正确.
故选：C.
6．已知四面体中，，，，是的中点，，，则四面体的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知题意作出几何图形，经过分析可知为所在小圆的直径，所以球心与的中点的连线垂直于平面，然后根据勾股定理列出方程，则求出球心与的中点的连线的长度，再解方程即可求得结果.
【详解】
如图，四面体的外接球为球，连接，．因为，
则为所在小圆的直径．
又因为，且，则．
又是的中点，所以．
又因为，则或．
设球的半径为，则．
在中，由余弦定理知，
，
则（不合题意，舍去）．
又，则，
则，解得，则球的表面积为．
故选：D
【点睛】求空间几何体的外接球半径的常用方法：
1、补形法：侧面为直角、或正四面体，或对棱二面角均相等的模型。可以还原到正方体或长方体中求解；
2、利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也就是球直径；
3、定义法：到各顶点距离相等的点为外接球的球心，借助有特殊底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据其到其他顶点的距离也是半径，列出方程求解即可.

二、多选题
7．设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（    ）
A．若且，则； B．若且，则；
C．若且，则； D．若且，则.
【答案】BD
【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系可以得出答案.
【详解】解：A：若且，则，可能相交、平行或异面，故A错误；
B：若且，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；
C：若且，根据面面的位置关系定义可得与可能平行也可能相交，故C错误；
D：若且，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确.
故选：BD
8．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.

对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.

对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，

因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.

三、填空题
9．在正四面体中，直线与所成角的大小为________．
【答案】
【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.
【详解】
如图所示，
取中点，连接，，
由已知为正四面体，
则，均为正三角形，
所以，，
所以平面，
故，
即直线与直线的夹角为，
故答案为：.
10．若，线段所在直线和平面成30°角，且，则点到平面的距离=___________
【答案】1
【分析】作出线段所在直线和平面成30°角的图形求解.
【详解】如图所示：

，
因为线段所在直线和平面成30°角，
所以，
所以点到平面的距离为，
故答案为：1
11．对于任意给定的两条异面直线，存在______条直线与这两条直线都垂直．
【答案】无数
【分析】平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答.
【详解】令给定的两条异面直线分别为直线，平移直线到直线，使与直线相交，如图，

则直线与确定平面，点A是平面内任意一点，过点A有唯一直线，
因此，，即有，由于点A的任意性，
所以有无数条直线与异面直线都垂直.
故答案为：无数
12．如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过四点，则的值为___________.

【答案】
【分析】作于点，作于点，取的中点，连接，，作于点，利用边角关系以及线面位置关系结合余弦定理求出的值，证明面，即可得点到面的距离，从而得平面到平面的距离，进而可得的值.
【详解】
如图：作于点，作于点，
因为，则，
，
又因为，所以为等边三角形，则，
取的中点，连接，，则，，
，
因为，所以面，
则，
，
由余弦定理可得：，
所以，
作于点，因为面，面，
所以，因为，所以面，
所以点到面的距离为，
故平面到平面的距离为，
由题意可知：所盛水的体积为平行六面体容器的一半，
所以；
故答案为：.

四、解答题
13．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．

【答案】证明见解析.
【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得.
【详解】∵在中，D是AB的中点，，
∴,
∵E是PB的中点，D是AB的中点，
∴，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面．
14．如图所示，在中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）设与交于E，连接DE，则DE为的中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）取中点F，连接AF、EF，由题意可得，根据线面垂直的判定及性质定理可证，所以平面，所以为直线与平面所成平面角，根据题中长度，即可求得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，又，所以即为二面角所成的平面角，根据题中长度，即可求得答案；
【详解】（Ⅰ）证明：设与交于E，连接DE，如图所示：

由题意得E、D分别为、AC的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）取中点F，连接AF、EF，如图所示

由题意得四边形为矩形，且AC=2，，D为AC中点，
所以且，
所以为等腰直角三角形，又F为中点，
所以.
又D为AC中点，且BA=BC，
所以，
又侧棱底面，平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，
所以为直线与平面所成平面角，
在中，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得平面，又平面，
所以，又，
所以即为二面角所成的平面角，
在中，，
所以，且二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．

(1)求证：PA⊥平面PCD；
(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取棱PC的中点N，连接DN，可得DN⊥PC，利用面面垂直的性质定理可得DN⊥平面PAC，从而得到DN⊥PA，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接AN，由线面角的定义可得，∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可．
【详解】（1）证明：取棱PC的中点N，连接DN，
由题意可知，DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，
所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，
故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN⊂平面PCD，
则PA⊥平面PCD；

（2）连接AN，由（1）可知，DN⊥平面PAC，
则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，
因为为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，
所以DN＝，又DN⊥AN，
在中，sin∠DAN＝，
故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．
16．如图，在三棱锥中，，，平面平面，点、（与、不重合）分别在棱，上，且平面．求证：

（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得.
（2）通过证明平面证得.
【详解】（1）由于平面，平面，平面平面，所以.
由于，所以.
（2）平面平面，且这两个平面的交线为，，所以平面，
所以，由于，，
所以平面，所以.



题组B 能力提升练

一、单选题
1．在正方体中，直线平面（l与直线不重合），则（    ）
A． B．
C．与l异面但不垂直 D．与l相交但不垂直
【答案】B
【分析】由正方体可知平面，根据线面垂直的性质判定．
【详解】∵平面，直线平面
∴
故选：B．
2．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（　　）

A．0 B．2 C．4 D．12
【答案】B
【分析】利用线面垂直的性质即可.
【详解】3点时和9点时时针垂直于相邻的平面，故此时两个时针互相垂直.
∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选：B
3．已知点、在平面的两侧，且点、到的距离分别为3和5，则AB的中点到的距离为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】由线面垂直性质得到线线平行，将空间点面距离转化为平面线段长度，再由平面中点坐标公式求解即可.
【详解】如图，设AB的中点为C，过A、B分别作平面的垂线，垂足为、.
则，四点共面. 过C作，垂足为，则，
又，则.即即为所求点到平面的距离.
在平面中，，C为AB中点，则.
故选：D.

【点睛】立体几何中点面距离求解的常用方法有：一是“找——证——求”三步法；二是等体积法；三是法向量法.
4．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．//平面
C． D．//平面
【答案】B
【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系，
B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.
C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断，
D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，
【详解】不妨设棱柱的高为，.
B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；
A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确；
C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确；
D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确.
故选：B

5．已知平面内的，射线与所成的角均为135°，则与平面所成的角的余弦值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，如图，通过分析，可得为与平面所成的角的补角，利用余弦定理可以计算.
【详解】作出如下图形，令，则，，

取中点，连接，则即为与平面所成的角的补角，
在中，，
在中，，
，
，
与平面所成的角的余弦值是.
故选：B.
【点睛】本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键.
6．如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（    ）

A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证平面PBC，，，平面PAO，；同理可证，，即得点O是的垂心
【详解】连接OA、OB、OC，
∵，，平面PBC，，∴平面PBC，
∵平面PBC，∴．
由题意，平面ABC，平面ABC，∴，
又平面PAO，，∴平面PAO，
平面PAO，∴，
同理可证，，∴点O是的垂心．
故选：C


二、多选题
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（    ）
A．AC⊥B1E
B．B1C∥平面A1BD
C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为
D．异面直线B1C与BD所成的角为45°
【答案】AB
【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果
【详解】解：如图，

∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，
又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；
∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；
三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；
∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，
∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误.
故选：AB.
【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题
8．如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（ ）

A．与垂直
B．与平行
C．点到点，，，的距离相等
D．与平面，与平面所成的角可能相等
【答案】AC
【解析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等
【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.
因为，所以，所以平面，所以，从而A正确；
由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B错误；
点是的外心，所以到，，的距离相等，
根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C正确；
与平面所成的角即，与平面所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D错误.

故选：AC
【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法：
（1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；
（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；
（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.

三、填空题
9．在三棱锥中，点Р在底面ABC内的射影为Q，若，则点Q定是的______心．
【答案】外
【分析】由可得，故是的外心.
【详解】
解：如图，∵点在底面ABC内的射影为,∴平面
又∵平面、平面、平面，
∴、、.
在和中，,∴，∴
同理可得：,故
故是的外心.
故答案为：外.
10．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，P是菱形所在平面外一点，平面ABCD，则异面直线AC与PD所成角大小为______．
【答案】##
【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定进行推理即可作答.
【详解】菱形中，，因平面，平面，则有，

，平面，因此，平面，又平面，从而有，
所以异面直线AC与PD所成角为.
故答案为：
11．在三棱锥中，，点在平面中的射影是的垂心，若，，的面积之和为4，则三棱锥的外接球表面积的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，证明两两垂直，进而设，结合题意得，再根据基本不等式得，进而得三棱锥的外接球的半径满足，最后根据球的表面积公式求解即可.
【详解】解：如图，设的垂心为，延长分别交于点，
所以，，
因为点在平面中的射影是的垂心，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面，平面
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以.
所以，两两垂直，
所以，三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体的外接球.
不妨设，
因为，，的面积之和为4
所以，，即，
因为
所以，，当且仅当x=y=c等号成立
所以三棱锥的外接球的半径满足，
所以，三棱锥的外接球表面积
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为
故答案为：

12．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】##
【分析】设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，则，证得平面PAB，则，O即为三棱锥外接球的球心，再由球的表面积公式求解即可.
【详解】
如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，
，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，
又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，
∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，
∴该三棱锥外接球的表面积.
故答案为：.

四、解答题
13．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.

(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）等体积法解决即可；（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可.
【详解】（1）平面，四边形为矩形，
，
.
（2）证明：平面，
，
又，且点是的中点，
，
又，，，
平面，
又平面，
，
由，，，
平面，
平面，
.
14．如图，在五面体ABCDEF中，已知平面ABCD，，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先证明平面，再利用线面平行的性质，证明；
（2）在平面内作于点，证明是三棱锥的高，即可求三棱锥的体积．
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以．
（2）如图，

在平面内过点B作于点．
因为平面，平面，所以．
又，平面，，
所以平面，
所以是三棱锥的高．
在直角三角形中，，，所以．
因为平面，平面，所以．
又由（1）知，，且，所以，所以，
所以三棱锥的体积．
15．如图，三棱柱中，是底面边长为2的正三棱锥．

（1）求证：；
（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取的中点，连，交于，连、，通过证明平面，得到，再根据，可证结论成立；
（2）求出，转化为求三棱锥的体积可求出结果.
【详解】（1）取的中点，连，交于，连、，

因为是正三棱锥，所以三角形为正三角形，所以为三角形的中心，
所以平面，所以，
因为，且，所以平面，所以，
又，所以.
（2）因为，异面直线与所成的角为，
所以，又是底面边长为2的正三棱锥．所以为正三角形，
所以，连，则，
所以，
所以，
所以.
题组C 培优拔尖练

1.(多选)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　)

A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案　ABC
解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面
SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．

2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)

答案　∠A1C1B1＝90°
解析　如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
3.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.

(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成角的大小．
(1)证明　∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)解　设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示．

∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.
4.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD?
(1)证明　取PD的中点E，连接NE，AE，如图．

又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，
AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)解　当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下．
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.