人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品同步练习题

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 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课程标准
课标解读
熟练掌握两个计数原理，并能灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题，理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的计数原则及分类标准.
通过本节课的学习，要求理解与掌握两个计数原理的计数方法，能应用两个计数原理解决一些简单的实际问题.




知识点1 分类加法计数原理
基本形式：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法
注：应用分类加法计数原理应遵循的两原则
（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准.
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏.
【即学即练1】某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　)
A．24种 B．9种 C．3种 D．26种

【即学即练2】某校高三共有三个班，各班人数如下表：

男生人数
女生人数
总人数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55

(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？


知识点2　分步乘法计数原理
基本形式：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1× m2×…×mn种不同的方法
注：1、如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
2、应用分步乘法计数原理解题的一般思路

【即学即练3】已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　)
A．1 B．3 C．6 D．9

【即学即练4】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．问：
(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？

【即学即练5】现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是(　　)
A．56 B．65
C. D．6×5×4×3×2

知识点3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系和区别

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点
针对的是“分类”问题
不同点
各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事
各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
注：1、分类应满足：不重不漏(“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集）
分步必须注意：步与步间的连续性
2、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

【即学即练6】现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？

【即学即练7】现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

知识点4 解答计数应用问题的总体思路
根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了. 此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得.
注：解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.
(2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
【即学即练8】三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种．

【即学即练9】现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　)

A.120 B.140
C.240 D.260


考点一 分类加法计数原理
解题方略：
应用分类加法计数原理应注意如下问题
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．
(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．
【例1-1】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ）
A．40种 B．20种 C．15种 D．11种

变式1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
二物理学
法学
工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

【例1-2】设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)
A．6个 B．8个
C．12个 D．16个

变式1：设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于y轴上的椭圆有(　　)
A．6个 B．8个
C．12个 D．16个

变式2：设集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)
A．8个 B．10个
C．12个 D．16个

【例1-3】如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y