【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：6.2.2 排列数 讲义

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6.2.2 排列数

课程标准
课标解读
1.理解与掌握排列数公式，熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解.
2. 能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题.
通过本节课的学习，要求能准确判断排列问题，准确用排列数公式表达排列的关系，并能应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题.


考点一 排列数公式的应用
（一）利用排列数公式求值
（二）利用排列数公式化简
（三）利用排列数解不等式
（四）利用排列数公式证明
考点二 无限制条件的排列问题
考点三 有限制条件的排列问题
（一）“相邻”问题
（二）“不相邻”问题
（三）定序问题
（四）间接法
（五）元素的“在”与“不在”问题
考点四 数字排列问题
考点五 排列的综合应用

知识点1 排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
注：排列与排列数不相同，排列数是元素排列的个数，两者显然不同．
【即学即练1】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
【解析】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有 种故选：C

知识点2　排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
【即学即练2】等于（ ）
A．9×3 B．93
C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3
【解析】根据排列数的计算公式可得，故选：C.

【即学即练3】＝________.
【解析】＝＝36.

【即学即练4】89×90×91×92×…×100可表示为(　　)
A．A B．A C．A D．A
【解析】89×90×91×92×…×100＝＝＝A.故选C

【即学即练5】【多选】下列各式中与排列数A相等的是(　　)
A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C. D．A·A
【解析】∵A＝，而A·A＝n·＝，
∴A＝A·A.故选AD.

【即学即练6】在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
【解析】由题意可得不同的采访顺序有种，
故选：D.


知识点3 求解排列应用问题的六种常用方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
【即学即练7】三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
【解析】(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法．因此共有A·A＝4 320(种)不同的排法．
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
(3)方法一　(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14 400(种)不同的排法．
方法三　(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
(4)方法一　(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36 000(种)不同的排法．
方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36 000(种)不同的排法．


考点一 排列数公式的应用
解题方略：
排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
（一） 利用排列数公式求值
【例1-1】计算：A和A.
【解析】A＝15×14×13＝2 730，A＝6×5×4×3×2×1＝720.

变式1：_________．
【解析】根据排列数的计算公式，可得.故答案为：.

变式2：下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】A，，
B，，
C，，
D，，
故选：C


变式3：已知A－A＝10，则n的值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.故选B

变式4：（1）已知，那么______；
（2）已知，那么______；
（3）已知，那么______．
【解析】（1）由，
则，
即，解得.
（2）由，
则，解得.
（3）由，
则且，
解得或（舍）.
故答案为： ； ；


（二） 利用排列数公式化简
【例1-2】(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；
(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)．
【解析】(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝A.

变式1：用排列数符号表示下列各式：
（1）______；
（2）______；
（3）______（且）．
【解析】（1）；
（2），
（3）


（三） 利用排列数解不等式
【例1-3】不等式A<6A的解集为(　　)
A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8}
【解析】由A<6A，得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，解得7 又所以2≤x≤8，②
由①②及x∈N*，得x＝8.故选D

变式1：解不等式：
【解析】（1）由题意可知，且，
因为，，，
所以原不等式可化为，整理得，
所以，，所以原不等式的解集为；

（四） 利用排列数公式证明
【例1-4】求证：
证明：左边，
右边，
所以，即证.

变式1：求证：A－A＝mA.
证明　∵A－A＝－
＝·＝·
＝m·＝mA，
∴A－A＝mA.

变式2：（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求和：．
【解析】（1）证明：．
（2）证明：．
（3）由（2）知，
所以；
综上，.

考点二 无限制条件的排列问题
【例2-1】从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有（    ）种不同的送法．
A．60 B．125 C．45 D．11
【答案】A
【详解】由题意得，从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，
共有种不同的送法，
故选:A

变式1：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
【解析】根据题意，得A＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．

变式2：有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有(　　)
A．A种 B．A种
C．AA种 D．2A种
【解析】司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法．故选C

变式3：有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60(种)．


考点三 有限制条件的排列问题
解题方略：
排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决．

（一） “相邻”问题
【例3-1】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)
A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!
【解析】利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C.
变式1：现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种.
A． B． C． D．
【解析】根据题意，分3步进行分析：
①，将4名男生分成1、3的两组，有种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有种，
②，将6名女生全排列，有种情况，排好后有7个空位，
③，将分好的2组安排到7个空位中，有种情况，
则不同的排法有种，
故选：D．

变式2：甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排．甲、乙要相邻．且甲不站在两端，则不同的排法种数______．
【解析】由题意，甲只能从中间三个位置选一个站，乙要与甲相邻只有两个位置可选择，甲、乙站好后其他三人位置随便站，故有种不同的排法种数，
故答案为：36.

（二） “不相邻”问题
【例3-2】5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】将5人随机排成一列，共有种排列方法；
当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，
故共有种排列方法，
则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为.
故选：C.

变式1：高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．
【解析】不同排法的种数为AA＝3 600.

变式2：3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　)
A．144 B．72 C．36 D．12
【解析】先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144(种)排法．故选A

变式3：甲､乙､丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（ ）
A．120种 B．80种 C．64种 D．20种
【解析】根据题意，一并排座位有10个，3人就坐，有7个空座位，将7个空座位排成一排，中间有6个空档，将3人连同座位一起安排空档上，有种安排方法，
故答案为：A.

变式4：七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是_______（用数字作答）
【解析】第一步：先安排男同事甲在星期日轮值有1种，
第二步：其余3位男同事作全排列有，
第三步：因为三位女同事任何两位的安排不能连在一起，所以后3位女同事插空安排有，
分步完成共有方法种数为：.
故答案为：144.


（三） 定序问题
【例3-3】7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？
【解析】(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法．
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法．
变式1： 7个人排成一队参观某项目，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，则不同的列队方式有多少种（ ）
A．120 B．240 C．420 D．840
【解析】根据题意，先将7人排成一列，有A77种排法，
其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，即ABC三人顺序一定，
则不同的列队方式有840种；
故选：D.

变式2：在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去A，B，C三个不同的新节目，且插进的三个新节目按A，B，C顺序出场，那么共有________种不同的插入方法(用数字作答)．
【答案】165
【解析】依题意，将A，B，C插入中间即可，先插A节目有9种空位，再插B节目有10种空位，最后插入C节目有11种空位，由于按A，B，C顺序出场，需去掉A，B，C的顺序，所以不同的插入方法有＝165种．


变式3：7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是(　　)
A．60 B．120
C．240 D．360
【答案】C
【解析】先排甲、乙、丙以外的4人，再把甲、乙按甲在乙左边捆好，与丙插两个空位，并去掉顺序，所以不同的排法种数有＝240(种)，故选C．



（四） 间接法
【例3-4】要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　)
A．20 B．16 C．10 D．6
【解析】不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法．故选B

变式1：生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有_______．
【解析】当《诗经》位于第5节时，《周易》和《礼记》相邻有3种情形，且《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，因此满足条件的情形有种；
当《诗经》位于第4节时，《周易》和《礼记》相邻有2种情形，《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，此时满足条件的情形有种．
所以满足条件的情形共有种．
故答案为：28

（五） 元素的“在”与“不在”问题
【例3-5】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【解析】(1)方法一　把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法．
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法．
方法二　把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160(种)排法．
方法三　(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)．
(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800(种)方法．
(3)把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)方法．
(4)间接法．
总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法．


考点四 数字排列问题
【例4-1】用0,1,2,3,4五个数字：
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
【解析】(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)符合要求的数．
(2)方法一　先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种方法，其余四个位置四个数字共有A种方法，故共有A·A＝96(个)符合要求的数．
方法二　先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A种方法，其余四个数字全排有A种方法，故共有A·A＝96(个)符合要求的数．
(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A种方法，再填其余位有A种方法，故有2×A·A种方法．
②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2，然后进行全排，有2×A种方法，
所以共有2×A·A＋2×A＝8＋12＝20(个)符合要求的数．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位，有A种方法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种方法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A，
故共有A·A·A＝36(个)符合要求的数．

变式1：用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B

变式2：由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是________
【解析】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为;从而所求排列数为

变式3：用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
【解析】若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有A＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210(个)七位数符合条件．

考点五 排列的综合应用
【例5-1】现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，
则女生必须排在一起的排法有种；
(2)根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，
将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，
则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，
则甲、乙两人不相邻有种排法；
(5)根据题意，将8人全排列，有种情况，
其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，
则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，
其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；
(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，
将男生、女生整体全排列，有种情况，
则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；
(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则第3和第6个排男生，有种不同排法；
(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
甲乙不能排在前3位，有种不同排法；
(10)根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，
在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，

变式1：五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫､商､角､徵､羽，如果将这五个音排成一排，宫､羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
【解析】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一､二､三､四､五分两类：
第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有（种）；
第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有（种）；
根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有（种）.
故选：C.

变式2：西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方法有_____________种．（用数字作答）
【解析】当选出的字号中没有“狮、梅”时，共有种展出的方法；
当选出的字号中有“狮梅”中的一种时，共有种展出的方法；
当选出的字号中“狮、梅”都有时，共有种展出的方法,
所以共有种不同的展出方法．
故答案为：51.

变式3：根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（    ）
A．144种 B．72种 C．36种 D．18种
【答案】A
【详解】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体. 数学与物理不能相邻，采用插空法，后排.
第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为；
第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为；
第三步，语文与生物的排列种类为.
所以，总的排列顺序有.
故选：A.

变式4：已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测度，直至找到所有4件次品为止．
（1）若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
（2）若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
【答案】（1）86400；（2）8520.
【解析】
【分析】
（1）首先考虑第2次和第8次的可能情况，再分析第3到7次的可能情况，结合分步计数原理即可求出结果；
（2）分别三类：检测4次可测出4件次品，检测5次可测出4件次品，以及检测6次测出4件次品或6件正品，然后结合分类计数原理即可求出结果.
【详解】
（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，
第2次测到第一件次品有4种方法；
第8次测到最后一件次品有3种方法；
第3至第7次抽取测到最后两件次品共有种方法；剩余4次抽到的是正品，共有＝86400种抽法．
（2）检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有种，
检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有种；
检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有种．
由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为＝8520种.

题组A 基础过关练
1、计算（1）；（2）.
【解析】（1）
（2）

2、设m∈N*，且m<15，则A等于(　　)
A．(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m)
B．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)
C．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
D．(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
【解析】A是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)·(15－m)．故选C

3、已知3，则x等于（ ）
A．6 B．13
C．6或13 D．12
【解析】因为3，所以，，
解得（舍去）．
故选：A．

4、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)
A．9 B．10 C．18 D．20
【解析】首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A＝20(种)排法，
因为＝，＝，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.故选C
5、用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4 310的四位偶数.
【解析】（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有；
（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有， 当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；
（3）当千位小于4时，有种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有.

题组B 能力提升练
6、用1,2,3,4,5,6六个数字组成没有重复数字的六位数，其中百、十、个位的数字按从小到大的顺序排列，这样的六位数共有________个．
【答案】120
【解析】＝120.∴这样的六位数共有120个．

7、某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有________种.（用数字作答）
【解析】当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有；
当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有；
当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有；
因为共有．
故答案为：624．

8、3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
【解析】(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法．
(4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法．

9、某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
(2)2个唱歌节目互不相邻；
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
【解析】(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法．
(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法．
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列，共有A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2 880(种)排法．

10、有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法，由乘法原理得共有（种）排法；
（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）；
（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法；
（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有（种）排法；
（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法；
（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得，所以（种）；
（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有（种）排法；
（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有种排法，甲、乙互换位置，有种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有种排法，所以共有（种）排法．

题组C 培优拔尖练
11、受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
【解析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：
（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
由加法计数原理可知共有种方案，
故选：B

12、某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有________种．
【解析】由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有AA＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有AA＝48(种)．
因此，满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．

13、一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
【解析】由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，所以A－A＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，
所以
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．