【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：7.3.1 离散型随机变量的均值 讲义

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7.3.1 离散型随机变量的均值

课程标准
课标解读
1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的均值;
2.能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中的均值的求解问题.
3.能解决一些与平均水平有关的简单问题与决策性问题.
通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的均值，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平.




知识点1 离散型随机变量的均值
1.离散型随机变量的均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量X的分布列，如图所示
X


…

P


…

则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。
注：求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
【即学即练1】已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P




则X的均值E(X)等于(　　)
A. B．2 C. D．3
【解析】E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选A

【即学即练2】设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则
A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=
【答案】B
【解析】
【分析】利用概率的性质列方程可求得，根据分布列和期望公式可求出、、，从而可得答案.
【详解】因为a(1+2+3+4)=1，所以a=，所以P(X>)=+，
P(X<4a)=P(X<)=，
E(X)=×+×+×+×.故选：B.

【即学即练3】袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．
【解析】取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
故X的分布列为
X
5
6
7
8
P





∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.

2.离散型随机变量的均值的意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
注：1、离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？
(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．
(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
2、期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即.
3、随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.
4、是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态.

3.离散型随机变量的均值的性质
①若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn

于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
②若与相互独立，则.
【即学即练4】已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.
【解析】∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.

知识点2 两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
注：两点分布的特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1．


【即学即练5】已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ）
A．0 B．1 C．0.3 D．
【答案】D
【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.
故选：D.


考点一 利用定义求离散型随机变量的均值
解题方略：
求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
【例1-1】抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　)
A．0 B. C．1 D．－1
【解析】因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.故选A

变式1：袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于(　　)
A．2 B. C. D.
【解析】由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.故选D

变式2：一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　)
A. B. C. D.
【解析】由题意得，X的所有可能的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故A正确．故选A

变式3：盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
【解析】X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P




所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.


变式4：某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意试验次数ξ的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，列出分布列，进而可求出随机变量的均值.
【详解】试验次数ξ的可能取值为1，2，3，则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝．
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P



所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝．

变式5：某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．
【解析】根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
∴X的分布列为
X
－4
1
3
6
P





∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.
变式6：春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
(1)随机变量ξ的分布列；
(2)随机变量ξ的均值．
【解析】(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.
则P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝4＝.
从而ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P






(2)由(1)得ξ的均值为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.


考点二 两点分布的均值
【例2-1】设随机变量服从两点分布，若，则（    ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【详解】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D

变式1：已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，
所以，
则，解得或，
又因，
所以，则，
所以.
故选：C.


考点三 离散型随机变量均值的性质
解题方略：
求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
【例3-1】若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为(　　)
A．无法确定 B．0 C．E(X) D．2E(X)
【解析】∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.故选B

【例3-2】设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P





又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选D


变式1：已知随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
P



m


若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
【解析】由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.


变式2：已知随机变量满足，则（    ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】因为，所以，
解得或（舍去）,
故选：D


考点四 由离散型随机变量的均值求参数
【例4-1】已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)
ξ
1
2
3
4
P

m
n


A. B. C. D.
【解析】因为η＝12ξ＋7，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.故选A

变式1：若随机变量Y＝aX＋3，且E(Y)＝，E(X)＝－，则a＝________.
【解析】∵E(X)＝－，E(Y)＝，Y＝aX＋3，∴aE(X)＋3＝，解得a＝2.

变式2：离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________.
【解析】易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，
即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.

变式3：某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y

已知E(X)＝8.9，则y的值为________．
【解析】由解得

变式4：【多选】已知随机变量的分布列为：

4

9
10

0.3
0.1

0.2
若，则以下结论正确的是（    ）
A．无法确定 B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】由分布列的性质，可得，解得，故B正确；
又由，解得，故A不正确；
由均值的性质，可知，故C正确；
又由，故D正确．
故选：BCD．


考点五 与离散型随机变量均值有关的最值（范围）问题
【例5-1】若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p


则E(ξ)的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
【解析】由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(ξ)＝p＋1≤，故选B.

变式1：【多选】体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为(　　)
A. B. C. D.
【解析】根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且
P(X＝1)＝p，
P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
解得p>或p<，
结合p的实际意义，可得0 结合选项可知AB正确．

变式2：已知随机变量X的分布列为：

1
2
3
4





其中，随机变量的期望为，则当取得最小值时，_________．
【答案】
【详解】由题意得，
，
令，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，
即当时取得最小值.
故答案为：.

考点六 均值的实际应用
解题方略：
解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
【例6-1】从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下，问：哪名运动员的平均成绩较好？
X
8
9
10
P
0.3
0.1
0.6
Y
8
9
10
P
0.2
0.5
0.3
【答案】甲运动员的平均成绩较好
【解析】
【分析】根据分布列求出均值比较可得.
【详解】由分布列可得，
，
因为，所以甲运动员的平均成绩较好.

变式1：学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完.假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为.
(1)求张同学前两发只命中一发的概率；
(2)求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）记“第发子弹命中目标”为事件，则相互独立，
且，其中，
张同学前两发子弹只命中一发的概率为
；
（2）的所有可能取值为，
，
，
，

综上，的分布列为

2
3
4
5





故.
变式2：甲、乙两家公司生产同一种零件，其员工的日工资方案如下：甲公司，底薪140元，另外每生产一个零件的工资为2元；乙公司，无底薪，生产42个零件以内（含42个）的员工每个零件4元，超出42个的部分每个5元．假设同一公司的员工一天生产的零件个数相同，现从这两家公司各随机选取一名员工，并分别记录其30天生产的零件个数，得到如下频数表：
甲公司一名员工生产零件个数频数表
生产零件个数
38
39
40
41
42
天数
5
9
5
6
5
乙公司一名员工生产零件个数频数表
生产零件个数
40
41
42
43
44
天数
3
9
6
9
3
若将频率视为概率，回答以下问题：
(1)现从记录甲公司某员工30天生产的零件个数中随机抽取3天的个数，求这3天生产的零件个数都不高于39的概率；
(2)小明打算到甲、乙两家公司中的一家应聘生产零件的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小明做出选择，并说明理由．
【答案】(1)
(2)小明应该选择到甲公司应聘，理由见解析.
【详解】（1）记“这3天生产的零件个数都不高于39”为事件，
则.
所以这3天生产的零件个数都不高于39的概率为.
（2）设甲公司员工的日工资为，
当生产零件个数为个时，元，
当生产零件个数为个时，元，
当生产零件个数为个时，元，
当生产零件个数为个时，元，
当生产零件个数为个时，元，
又，，
，，
，
所以的分布列为：













所以元.
所以甲公司员工的日工资的平均值为元.
设乙公司员工的日工资为，
则当生产零件个数为个时，元，
当生产零件个数为个时，元，
当生产零件个数为个时，元，
当生产零件个数为个时，元，
当生产零件个数为个时，元，
又，，
，，
，
所以的分布列为：












所以元.
所以乙公司员工的日工资的平均值为元.
因为，所以如果仅从日工资的角度考虑的话，小明应该选择到甲公司应聘.


变式3：随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【解析】(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02

(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.

变式4：某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润x(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N*)的函数解析式；
(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：
日需求量
48
49
50
51
52
53
54
频数
10
20
16
16
15
13
10

以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．
【解析】(1)当n<50时，y＝5n－50×3＝5n－150，
当n≥50时，y＝50×(5－3)＝100，
∴y＝(n∈N*)．
(2)①由(1)可知，n＝48时，X＝90，当n＝49时，X＝95，当n≥50时，X＝100.
∴X的可能取值为90,95,100.
P(X＝90)＝＝，
P(X＝95)＝＝，
P(X＝100)＝＝.
∴X的分布列为
X
90
95
100
P




∴E(X)＝×90＋×95＋×100＝98.
②由①知当购进50盒时，E(X)＝98.
当购进51盒时，y＝(n∈N*)，
设Y表示当天的利润，∴当n＝48时，Y＝87，当n＝49时，Y＝92，当n＝50时，Y＝97，当n≥51时，Y＝102，
∴P(Y＝87)＝，
P(Y＝92)＝，
P(Y＝97)＝＝，
P(Y＝102)＝＝，
∴E(Y)＝×87＋×92＋×97＋×102＝＝97.7.
∵98>97.7，∴每天购进50盒比较合理．

变式5：某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对着8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为．
(1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率；
(2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数的数学期望为，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析.
【详解】（1）由题意可得经过第一轮测试该消毒液即合格有两种情况：
8个载片均有效果，或7个载片均有效果.
所以经过第一轮测试该消毒液即合格的概率为：
.
（2）证明：第一轮测试，逐一对这8个载片进行消杀检测，
共检测8次，则，
因为每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为，
所以第一轮未产生效果的有个载片.
因此第二轮检测的次数为，
所以，即为最多次数.
所以.


题组A 基础过关练
1、某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　)
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
【解析】出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．故选B

2、某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（       ）
A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】根据P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，利用期望公式求解.
【详解】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8．故选：B


3、某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
【解析】试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P




所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

4、现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　)
A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38
【解析】因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，
P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的分布列为
X
1.2
1.18
1.17
P




所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.故选A

5、若随机变量的概率分布列如下表：

0
2
4

0.3
0.2
0.5
则等于（       ）
A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2
【答案】A
【分析】先求出，再根据均值的性质可求出.
【解析】据题意，得，
所以.
故选：A.
6、设的分布列为

1
2
3
4
P



a
又，则______．
【答案】6
【详解】解：由分布列可知，解得，
所以，
所以.
故答案为：


题组B 能力提升练
7、从，，，，这组数据中，随机取出三个不同的数，用表示取出的数字的最小数，则随机变量的数学期望（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】由题设知的可能值为1,2,3，由古典概型的概率求、、，进而求期望即可.
【详解】由题意知：的可能值为1,2,3，而随机取3个数的取法有种，
当时，取法有种，即；
当时，取法有种，即；
当时，取法有种，即；
∴.
故选：A.

8、甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0 【解析】依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××＝，解得t＝2，
所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0,1,2，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝0)＝×＝，
则E(ξ)＝2×＋1×＋0×＝.

9、一袋中装有分别标记着，，数字的个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取次球，若每次取出一个球后放回袋中，记次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为，，设，则______ .
【答案】或
【解析】
【分析】先求出的可能取值，再求出相应的概率，进而求出期望.
【详解】的可能取值为0,1,2，连续取3次球，它的取法共有种，其中的取法共有3种，为111,222,333，其中有12种，为112,121,211,122,212,221,223,232,323,332,233,322，其中有12种，为113,123,311,321,312,213,231,131,133,311,331,313，因此它们的概率分别为，故．故答案为：

10、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______.

【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出的所有可能取值为，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算取每个值时的概率，从而求的均值.
【详解】的所有可能取值为，
大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；
每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个；
每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆；
剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，
所以，，，，
.
故答案为：.
11、在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望为______．
【答案】
【解析】根据题意，分析可得可取的值为2，3，4，5，由互斥事件的概率公式计算可得、、、的值，由随机变量的期望公式计算可得答案．
【详解】根据题意，该人参加两局答题活动得分为，则可取的值为2，3，4，5，
若，即该人两局都失败了，则，
若，即该人第一局失败了，而第二局胜利，则，
若，即该人第一局胜利，而第二局失败，则，
若，即该人两局都胜利了，则，
故，
故答案为：．

题组C 培优拔尖练
12、随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其平均每月参与马拉松训练的天数进行统计，得到下表：
平均每月参与马拉松训练的天数x



人数
10
50
40
依据上表，用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取3人，记抽取的3人中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为Y，则___________.
【答案】或1.2
【解析】
【分析】由随机变量Y的取值范围为，利用超几何分布求得相应概率，然后利用期望公式求解.
【详解】用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，其中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为，随机变量Y的取值范围为，
，，
，，
所以.
故答案为：

13、受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障
时间x(年)
0 ≤1
1 ≤2
x>2
0 ≤2
x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9

将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P




X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P



(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝2.86(万元)．
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车．
14、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ)．
【解析】 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为
P3＝×＝×＝，
故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P






E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.

15、某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表：
气温/℃





天数
4
14
36
21
15
以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
(1)求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值；
(2)设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若，求Y的均值的最大值及对应的n的值．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)Y的均值的最大值为11900，此时
【分析】
（1）今年9月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000，分别计算概率，然后求数学期望即可.
（2）根据气温分三段计算利润：若气温不低于，能全部销售，每件的利润是4元，则总利润可求；若气温位于，只能销售3500件，每件的利润是4元，件未能销售，每件亏3元，则总利润可求；若气温低于，只能销售2000件，每件的利润是4元，件未能销售，每件亏3元，则总利润可求；据此可求出的数学期望的最大值以及对应的的值.
【解析】
(1)X的可能取值为2000，3500，5000．
，，．
故X的分布列为
X
2000
3500
5000
P
0.2
0.4
0.4
．
(2)由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件．
当时，
若气温不低于30℃，则；
若气温在内，则；
若气温低于25℃，则．
．
当时，取得最大值11900．
故Y的均值的最大值为11900，此时．