【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：7.3.2 离散型随机变量的方差 讲义

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7.3.2 离散型随机变量的方差

课程标准
课标解读
1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的方差;
2.能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题.
3.能解决一些稳定性的简单问题与决策性问题.
通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.




知识点1 离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如表所示．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn

我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称则称为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．
注：离散型随机变量的方差的深层理解
①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数.
描述了 ()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.
③均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差.
④方差公式的变形：
⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负.
【即学即练1】【多选】下列说法中错误的是(　　)
A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值
B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
【即学即练2】若随机变量的分布列如表，则的方差是（    ）


0
1




A．0 B．1 C． D．
知识点2　离散型随机变量方差的性质
1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c为常数)．
注：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；
【即学即练3】已知随机变量的取值为.若，，则（       ）
A． B． C． D．
知识点3 两点分布的方差公式
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:.

1
0





考点一 求离散型随机变量的方差、标准差
解题方略：
求离散型随机变量方差的步骤
①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；
②求出X取每个值的概率；
③写出X的分布列；
④计算E(X)；
⑤计算D(X)．
【例1-1】已知随机变量X的分布列如表所示：
X
1
3
5
P
0.4
0.1
a

则a＝________，D(X)＝________.

变式1:设随机变量X的概率分布如下表所示，试求X的均值和标准差．
X
1
2
3
4
5
P







变式2:【多选】已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P





则(　　)
A．E(X)＝ B．D(X)＝
C．D(X)＝ D．E(X)＝


变式3:编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________.










变式4:某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，
（1）求的概率即
（2）求取出白球的数学期望和方差


变式5:不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为，求，．



考点二 两点分布的方差

【例2-1】设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
变式1:设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
变式2:随机变量的概率分布为，．若，则（    ）
A． B． C． D．
变式3:【多选】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．

考点三 离散型随机变量方差的性质
解题方略：
线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ)．
【例3-1】设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5

变式1:已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4


变式2:已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P




(1)求E(ξ)，D(ξ)，；
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．

考点四 由离散型随机变量的方差求参数
【例4-1】已知随机变量满足，且为正数，若，则（       ）
A． B． C． D．

考点五 离散型随机变量方差的最值（范围）问题
【例5-1】已知随机变量ξ的分布列为
ξ
m
n
P

a

若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．无法计算

变式1:若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0
变式2:设，随机变量的分布列为：

0

1




则当在上增大时（    ）
A．单调递增，最大值为
B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为
D．先减后增，最小值为

变式3:已知随机变量的分布列为：

0
1
2




则下列说法中正确的是(       )
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值0 D．有最大值


变式4:随机变量的可能值，且，则D的最大值为___________.

变式5:已知随机变量的分布列如下，

0
1
2
P

b
a
(1)求的取值范围；
(2)当a为何值时，取最大值？并求出的最大值.

考点六 方差的应用
解题方略：
均值、方差在决策中的作用
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．
【例6-1】由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3

X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4

现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好(　　)
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定

变式1:甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6

η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．

变式2:有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2

ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2

其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．

变式3:随着经济的飞速发展，市场条件的成熟以及监管机制的不断完善，投资理财逐渐融入人们的生活.若家庭有资产万，他们的投资预期年收益率不低于，通过考察，有两个投资方案供他们选择：
甲方案：
年收益(万元)


概率()


乙方案：
年收益(万元)



概率()



（1）如果家庭投资甲方案，且达到他们的投资预期年收益率，试求的最小值；
（2）在（1）的条件下他们投资哪个方案较好？请说明理由；
（3）若年收益率不变，根据（2）中的选择，那么他们至少需要多少年才会使资产翻一番？
注：上年度的收益和本金都作为下年度的投资本金，，.

考点七 分布列、均值、方差的综合应用
解题方略：
处理综合问题的方法
第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立．
第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率．
第三步：列分布列，并计算均值及方差．
【例7-1】已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c



变式1:已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.

变式2:【多选】已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P

a
b
若E(X)＝，则(　　)
A．a＝ B．b＝
C．D(X)＝ D．D(X)＝

【例7-2】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差．
变式1:为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．


题组A 基础过关练
1、随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.

2、随机变量ζ的分布列如下图，若则（       ）








A．6 B．2 C．0 D．
3、已知随机变量的分布列为

－1
0
1




则随机变量的方差的值为______.
4、随机变量的概率分布为

0
1





且，则________.
5、甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布列如下，则性能比较稳定的零件是（       ）

8
9
10
P
0.3
0.2
0.5

8
9
10
P
0.2
0.4
0.4
A．乙 B．甲 C．一样 D．无法比较
题组B 能力提升练

6、若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1
7、已知X的分布列为
X
－1
0
1
P


a

(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．

8、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2

Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4

试评定这两个保护区的管理水平．
9、设随机变量X的概率分布如下表．
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
对题中的随机变量X，分别求：
(1)，，；
(2)，，；
(3)分别考察它们与，之间的关系，你能得到随机变量的均值和方差的哪些性质？
10、今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：
(1)求摸出2个红球的概率；
(2)设获得优惠券金额为，求的方差．
11、袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次模出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
题组C 培优拔尖练
12、为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5元的价格从农场购进若干西瓜，然后以每个10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16个西瓜，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；
(2)水果店记录了100天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16个西瓜，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16个或17个西瓜，你认为应购进16个还是17个？请说明理由．

13、有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy，求：
(1)X所取各值的分布列；
(2)随机变量X的均值与方差．

14、A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：
X1
5%
10%
P
0.8
0.2

X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3

(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．

15、为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.

16、本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．

(1)若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及期望；
(2)已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%．现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率；
(3)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本．若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差．