【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：拓展一：条件概率、全概率公式及贝叶斯公式8种常见考法归类 讲义

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 拓展一：条件概率、全概率公式及贝叶斯公式
8种常见考法归类

考点一 条件概率的定义及计算
（一）利用定义求条件概率
（二）缩小样本空间求条件概率
考点二 包含事件的条件概率问题
考点三 相互独立事件的条件概率问题
考点四 概率的乘法公式
考点五 条件概率的性质及应用
考点六 全概率公式的计算
考点七 全概率公式解决实际问题
（一）产品质检
（二）游戏获胜问题
（三）普查疾病
（四）根源问题
考点八 贝叶斯公式的应用
1、一个概念三个公式
条件概率
条件概率是理解并进行复杂概率运算的基础，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的应用和拓展.条件概率的本质是缩小样本空间后的事件概率，通过古典概型(或其他概型)，抽象概括成条件概率的概念（定义式）
注：条件概率定义式P(B∣A)=P(AB)P(A)反映了“原”样本空间的P(A)、P(AB)与缩小后的样本空间的P(B∣A)之间的关系.
条件概率概念的建立要抓住“事件”和“空间”进行分析，要分析“条件”是必然性还是“随机”性，是以“条件”重构的样本空间还是在原样本空间中运用“条件”.因此，“事件”“空间”和“条件”是概念建立的关键词.
(1)对条件A的理解：第一，从缩小样本空间的角度上看，在条件“已经发生”的基础上，样本空间缩小了，是在缩小了的空间上用概率模型或概率计算方法求解概率.第二，从概率之间的相互联系分析，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率P(B∣A)又与在原样本空间上事件A发生的概率P(A)有关系，正因为此时的P(A)是事件A在原样本空间发生的概率，因而事件A在原样本空间里不是“必然发生”的事件，不是“发生过了”的事件，而是随机事件.
(2)对P(B∣A)和P(AB)的分析.学生容易混淆P(B∣A)和P(AB)，认为它们都是“事件A发生了，事件也B发生了”，实际上，它们有着本质的区别.第一，前者指缩小样本空间后事件B发生的概率，此时，事件A已经发生了，以A发生为条件重新组构样本空间.第二，后者指原样本空间上事件A、B同时发生的概率，此时事件A不一定是必然发生的事件，一般为随机事件.亦即，第一，它们的样本的空间不同，前者以事件A发生为条件，缩小了样本空间即ΩA，后者是原来样本空间Ω没有改变.第二，事件不同，前者是针对缩小样本空间后的事件B，后者是针对原样本空间的事件AB.
(3)注意“条件”的变化.条件概率中的“条件”具有相对性，
P(B∣A)=P(AB)P(A),P(A∣B)=P(AB)P(B)①.
①式中含两个式子，其“条件”不一样，说明在一个样本空间中，条件不是一成不变的，这在之后的乘法公式、贝叶斯公式中能够更好的体现.
(4)条件概率的计算.条件概率一般有三种求法，一是原样本空间概率法，即定义式，二是缩小样本空间法，是指在缩小的样本空间上用古典概型或几何概型等计算，三是原样本空间计数法，即P(B∣A)=n(AB)n(A).
(5)条件概率的性质.根据条件重构样本空间、缩小样本空间后“新”的样本空间上概率的性质即是条件概率的性质
乘法公式
将条件概率的“定义式”进行变形即可得到乘法公式，乘法公式与条件概率定义式是概率的同一关系的不同显现形式，由乘法公式立即可以得到独立事件概率计算公式.乘法公式彻底解决了积事件概率问题.

乘法公式:注重条件的变化，条件概率定义的变式运用
由条件概率公式得乘法公式，
P(AB)=P(A)⋅P(B∣A),P(AB)=P(B)⋅P(A∣B)②.
②式与①式是等价的，说明在求积事件AB概率时，“条件”可以是A，也可以是B，积事件中的“条件”是相对的.“一个概念，三个公式”的概念建立环环相扣，积事件中“条件”的变化是之后理解贝叶斯公式的基础.
运用公式②时，由于P(B∣A)与P(AB)在同一式子中，我们一般通过缩小样本空间先求出条件概率P(B∣A)，再用公式②求积事件AB的概率.
两个事件的积事件概率公式可以推广到n个事件，即之前发生的事件作为之后事件发生的条件.
直观上，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响，此时P(B∣A)=P(B)(P(A)>0),P(A∣B)=P(A)(P(B)>0注意:作为条件的事件其概率必须大于零)，相应的，公式②变成了P(AB)=P(A)⋅P(B)③.如果从直观上判定两个事件是独立事件后，③式是作为独立事件的结论的，如果我们假定或已知两个事件相互独立，则可以用③式的结论求积事件概率了.而如果从独立事件定义角度上看，③式则作为判断独立事件的条件.
以下四条中的任意一条均可作为判断独立性的条件:
(1)P(AB)=P(A)⋅P(B).
(2)P(B∣A)=P(B)(P(A)>0).
(3)P(B∣A)=P(B∣A)(0 (4)P(B∣A)+P(B∣A)=1(0 全概率公式
全概率公式是概率加法和乘法公式的综合运用，其本质是将一个复杂事件的概率分解成若干个两两互斥的事件“相并”的概率，用以解决由“原因”事件引起“结果”事件概率问题，从已知的可求的事件的概率推算末知的复杂事件的概率是概率论问题解决的基本思想，全概率公式充分体现了这一思想.

全概率公式的基本含义是通过事件转化求解概率.怎样把事件进行转化呢?第一，当一个事件发生有多种情况时，要考虑分类，通过分类理出事件发生发展的条理.第二，分类后的每一个事件一般不再是“单一”的事件，而是积事件.第三，事件转化后，通过和事件与积事件求概率.
1、建立全概率公式意图和思想方法
把一个复杂事件变成若干个互斥事件相并，通过并事件(互斥)概率和积事件概率乘法公式即可求得复杂事件的概率，这就是全概率公式的基本思想.
全概率公式是概率论的重要内容，生产实践中我们遇到的事件是复杂的，用“隐含的事件关系简单”“概率关系简单”的事件表示复杂事件，然后求其概率是我们处理概率问题的基本方法.
2、全概率公式及其证明
“一般地，设A1,A2,⋯,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且PAi>0,i=1,2,⋯,n，则对任意的B⊆Ω，有
P(B)=∑i=1n PAiPB∣Ai ④
称为全概率计算公式.
记⋃i=1n Ai=Ω,A1,A2,⋯,An称为样本空间Ω的一个“完全事件组”，或样本空间Ω的“一个划分”，是事件B发生的一系列“可能的原因”，它们两两互斥，而A,A一般认为是样本空间Ω的最简划分，即A∪A=Ω.
全概率公式可以利用并事件与积事件概率关系证明.由于B=B∩Ω，所以B=B∩A1∪A2∪⋯∪An=BA1∪BA2∪⋯∪BAn，由概率性质，
P(B)=PBA1+PBA2+⋯+PBAn，再由积事件公式②，④式即得证.
3、注重通过逻辑和直观理解全概率公式
注重通过“逻辑”和“直观”理解全概率公式.全概率公式的逻辑基础是并事件、积事件的概率，用并事件求概率体现了求事件概率的分类讨论思想.从逻辑的角度上讲，原样本空间Ω被分成n个两两互斥事件A1,A2,⋯,An后，在原样本空间中的每一个Ai(i=1,2,⋯n)上，事件B就是积事件BAi(“新的样本空间上事件B就是积事件AB即是这个含义)，而PBAi=PAiPB∣Ai，求出事件B在原样本空间的每一个Ai(i=1,2,⋯n)上发生其概率和即可.直观上，可以借助于概率“树图”和韦恩图分析，以集合视角理解全概率公式.教学时，要根据高中学生的认知特点，对照直观的图形，用通俗易懂的语言解释全概率公式.
4、全概率公式的运用要领
第一，化难为易，找准样本空间及空间的合理“划分”.
用全概率公式解决概率问题，关键要理解原样本空间和该空间的一个“划分”的意义，什么是样本空间的一个“划分”，为什么要划分？如果不把空间进行划分，问题理不出条理，我们称事件中隐含的关系复杂.因此，划分样本空间，可以突出样本空间的层次，使事件关系变得简单.
有些问题，明显可以看出构成“空间”的样本点(基本事件)具有不同的类型，这往往也是我们划分空间的标准.
第二，用全概率公式解决问题的基本路径是:(1)全概率问题一般涉及事件和“条件”，所以要用字母表示相应的事件，这里的“事件”尽量“单一”，一般不交叉，如:涉及男女性别不同和色盲与否的问题，一般不用如:“男生色盲”“女生不色盲”作为一个事件，而用“男生”“女生”“色盲”“不色盲”为一个事件.(2)根据问题所反映的“事实”，确定具体的样本空间及其“构成”空间中的样本点(基本事件).(3)分析样本空间中的事件有没有层次和不同的类型，依据事件的层次和类型进行空间划分.(4)分析问题中(题目)的每一个条件，把条件转化为相应的“事件关系”或“事件的概率”.(5)根据全概率公式进行计算.

贝叶斯公式
贝叶斯公式是条件概率、全概率公式和概率乘法公式的融合.贝叶斯公式的本质是条件概率，其应用的意义在于，按照事件发生发展的顺序针对“结果”反求“原因”的概率问题.

贝叶斯公式的本质是条件概率，从思维策略上分析，全概率公式和贝叶斯公式体现了解决概率问题的两种不同的思维方式，前者“由因推果”，分类讨论，用来解决已知“原因”事件求“结果”事件概率的问题，后者“执果寻因”，“分析每个原因对结果所做的贡献”，用以求解已知“结果”发生时，“某个原因”事件导致的概率.
一般情形下的贝叶斯公式，即:在公式④的条件下，若P(B)>0，则 PAi∣B=PAiPB∣Ai∑k=1n PAkPB∣Ak,i=1,2,⋯n⑤.
特别地，P(A∣B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B∣A)P(A)P(B∣A)+P(A)P(B∣A).⑥
为什么说贝叶斯公式是“执果寻因”，对于高中学生，不能仅从概念上和意义上讲解，要引导他们直观观察.我们观察公式⑤即可发现其“形式上”的特征，由“Ai(i=1,2⋯)条件下事件B发生的概率(右式)，可求B条件下事件A发生的概率(左式)”，说明在一个样本空间里，“条件”是变化的，条件是相对的.如果从形式上理解和记忆，公式⑥的前半部分P(A∣B)=P(AB)P(B)即为条件概率，而该条件概率分子、分母中的P(AB)、P(B)可用积事件和全概率公式求出，不过与公式左边的“P(A∣B)”相比，右边的“条件”改变了.



2、条件概率的3种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ .
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简

3、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．

4、两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．

5、“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，．

(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．

6、贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有
注：(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．


考点一 条件概率的定义及计算
（一）利用定义求条件概率
1．（2023·全国·模拟预测）某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装､杯装､瓶装.现有甲､乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，两人选的包装不同的概率为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽合肥·校考一模）接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________
3．（2023·海南海口·校考模拟预测）某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（    ）.
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·统考一模）“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·山东德州·高二统考期末）羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·江西·高二校联考阶段练习）5名同学从左向右站成一排，已知甲站在正中间，则乙不站在最右端的概率是________.
7．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为____．
（二）缩小样本空间求条件概率
8．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（    ）
A． B． C． D．
9．（2023春·贵州遵义·高二遵义清华中学校考阶段练习）一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求：
(1)第1次取到黑球的概率；
(2)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．
10．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）从编号为1~5号的球中随机抽取一个球，记编号为i，再从剩下的球中取出一个球，记编号为j，在的条件下，的概率为________．
11．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件甲和乙选择的景点不同，则条件概率__________．
考点二 包含事件的条件概率问题
12．（2023·全国·校联考模拟预测）设集合，且，，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
13．【多选】（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（    ）
A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则
C．若，则 D．若，则
考点三 相互独立事件的条件概率问题
14．【多选】（2023春·山东烟台·高二统考阶段练习）已知事件满足，则（    ）
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若，则与相互独立
D．若与相互独立，则
15．（2023·全国·高三专题练习）某公司招聘实习生时要求面试者需分别参加三个部门的独立考核，且至少要通过两个部门的考核．某人在甲、乙、丙三个部门通过的概率分别为，，．
(1)求此人通过应聘的概率；
(2)求此人在通过甲部门考核的前提下，又通过乙部门考核的概率
16．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（    ）
A．两两不互斥 B．
C．与B是相互独立事件 D．
17．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（    ）
A．事件与事件不为互斥事件 B．事件与事件不是相互独立事件
C． D．
考点四 概率的乘法公式
18．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）已知，，则（   ）
A． B． C． D．
19．【多选】（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ）
A．如果，那么
B．如果，那么，
C．如果与互斥，那么
D．如果与相互独立，那么
20．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知随机事件，有概率，，条件概率，则_____.
考点五 条件概率的性质及应用
21．（2023春·陕西西安·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A． B．是可能的
C． D．
22．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知，，，那么____________．
23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则________.
24．（2023·上海·高三专题练习）已知，则___________.
25．（2023·全国·模拟预测）研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则______．
26．（2023春·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）已知事件A和B是互斥事件，，，，则______．
27．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.故试着证明条件概率的性质（1）和（2）．设，则
(1)；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则；
考点六 全概率公式的计算
28．（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知P（B）=0.3，，，则=（    ）
A． B． C． D．
29．【多选】（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知事件A，B，且，，，则（    ）
A． B．
C． D．
30．【多选】（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考阶段练习）下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．
31．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下的数据:
元件制造厂
次品率
提供元件的份额/%
1
2
15
2
1
80
3
3
5
假设这三家元件制造厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.现在仓库中随机取一个元件，则它是次品的概率是__________.
32．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为________________.
33．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（    ）
A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575
考点七 全概率公式解决实际问题
（一）产品质检
34．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）已知甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品．现从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品．
(1)求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率；
(2)已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率．
35．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ）
A． B． C． D．
36．（2023·江西·高二校联考阶段练习）3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（    ）
A．0.103 B．0.301 C．0.897 D．0.699
37．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（    ）

A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77
38．（2023·山东德州·统考一模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______．
（二）游戏获胜问题
39．（2023·山东青岛·统考一模）某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（    ）
A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43
40．（2023·江苏·高二专题练习）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．
41．（2023春·湖南·高三统考阶段练习）作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．
42．（2023秋·山东德州·高二统考期末）年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.每个人回答是否正确互不影响．
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率．
43．（2023·河北石家庄·统考一模）为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.
（三）普查疾病
44．（2023·湖南·校联考二模）人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是________．（用分数表示）
45．（2023春·高二课时练习）设验血诊䉼某种疾病的误诊率为，即若用表示验血为阳性，表示受验者患病，则，若已知受检人群中有患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为___________.
46．（2023·全国·高二专题练习）甲胎蛋白是肝癌筛查的重要指标，研究资料表明，肝癌患者甲胎蛋白检查呈阳性的概率是0.95，非肝癌患者甲胎蛋白检查为阴性的概率为0.9．已知某地肝癌发病率为0.04%，请问该地区甲胎蛋白检查呈阳性的患者确实是肝癌患者的概率．
47．（2023·江苏·高二专题练习）在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则（    ）
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
48．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（    ）
A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068
（四）根源问题
49．【多选】（2023·江苏盐城·盐城中学一模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（    ）
A． B．
C． D．
50．（2023·安徽安庆·统考二模）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
51．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，求：
(1)它是不合格品的概率；
(2)若它是不合格品，则它是由哪一部机器生产出来的可能性大．（计算说明理由）
52．（2023·高二单元测试）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
53．（2023·全国·高二专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
考点八 贝叶斯公式的应用
54．【多选】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（    ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
55．（2023·全国·高二专题练习）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
56．（2023·河南安阳·统考二模）学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40％，次品率为5％，第2份占总数的60％，次品率为4％．若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为______．
57．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（    ）
A． B． C． D．
58．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________．
59．（2023·全国·高二专题练习）小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6;如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.
(1)求小明放学时选择A路线的概率;
(2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.