【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：计数原理章末检测卷（二）

计数原理章末检测卷（二）

说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I卷(选择题  共60分)

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（     ）

A．6种 B．12种 C．15种 D．18种

【答案】B

【分析】由题意被安排到A中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可.

【详解】①若甲单独安排到A中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，

共有：种方式，

②若甲和另一名防疫专家被安排到A中学，则有：种方式，

则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，

由分步乘法原理有：种方式，

又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有：种方式，

故选：B.

2．（2023·高二单元测试）若的展开式中常数项为，则正整数的值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】首先写出二项式展开式的通项，依题意可得且，即可排除B、C，再将A、D代入验证即可.

【详解】解：二项式展开式的通项为，

所以且，

显然且为整数，即为的倍数，故排除B、C，

又为的因数，所以或，

当时，此时，不符合题意；

当时，此时符合题意.

故选：A

3．（2022春·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（    ）

A．5 B．7 C．8 D．12

【答案】C

【分析】根据分类计数原理与分步计数原理计算可得答案．

【详解】要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为．

故选：C．

4．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）在含有3件次品的50件产品中，任取3件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】采用分类分步的方法，先取一件次品，再取2件正品即可.

【详解】先取一件次品是，再取2件正品是，根据乘法原理得：

故选：B

5．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）从单词“”中选取个不同的字母排成一排，含有、（其中、相连）的不同排法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】先确定从中选择个不同的字母，且含有、的选法种数，然后将、这两个字母捆绑，利用捆绑法以及分步乘法计数原理可得结果.

【详解】单词“”中共有个字母，且这个字母都不相同，

从中选择个不同的字母，且含有、的选法种数为种，

若、相连，将这两个字母捆绑，则不同的排法种数为种，

由分步计数原理可知，不同的排法种数为种.

故选：D.

6．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为（    ）

A．800 B．842 C．864 D．888

【答案】C

【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的种数，再减去一人连排三天夜班、四天夜班、五天夜班的种数即可.

【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，

（1）从四人中选一人连排三天夜班，

若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种；

若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；

若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种；

若形如□▲▲▲□排列：共有种；

若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种；

因此，选一人连排三天夜班共有132种．

（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，

形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．

（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．

故满足题意的排夜班方式的种数为．

故选：C.

7．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（    ）

A．18 B．24 C．36 D．60

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答.

【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，

又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种，

其中的每一种排法，C、D节目的排列有，

所以节目安排的方法总数为（种）.

故选：C

8．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）在的展开式中，记项的系数为，若，则a的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】利用二项式定理展开公式求解.

【详解】

所以解得，

故选：B.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．常数项为160

B．第3项二项式系数最大

C．所有项的二项式系数和为

D．所有项的系数和为

【答案】ACD

【分析】先求的通项公式可得选项A的正误，利用的值可得选项B、C的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解

【详解】展开式的通项为，由，得，所以常数项为，A正确；

二项式展开式中共有项，所以第项二项式系数最大，B错误；

由及二项式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为，C正确；

令，得，所有项的系数和为，D正确；

故选：ACD.

10．（2023·高二单元测试）设，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据二项展开式系数性质，逐个选项判断即可得到答案．

【详解】对于选项A，令得，所以选项A错误；

分别令和得和，

所以选项B和选项C正确；

对于选项 D，

，选项D正确；

故：BCD．

11．（2023·高二单元测试）某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（    ）

A．若不选择政治，选法总数为种

B．若物理和化学至少选一门，选法总数为

C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种

【答案】AC

【分析】根据组合数性质判断A；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.

【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；

对于B，若物理和化学选一门，选法总数为，

若物理和化学都选，则选法数有种，

故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B错误；

对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，

减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C正确；

对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法；

当物理和化学中只选化学时，有种选法；

当物理和化学中都选时，有种选法，

故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，

选法总数为种，而，D错误，

故选：

12．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（    ）

A．共有种不同的排法 B．男生不在两端共有种排法

C．男生甲、乙相邻共有种排法 D．三位女生不相邻共有种排法

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答.

【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；

男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；

男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；

三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确.

故选：AC

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）的展开式中含项的系数为___________.

【答案】

【分析】利用乘法分配律得到，则来自于的展开式，根据二项式定理即可求解.

【详解】，

的展开式中项为：，

的展开式中没有项，

故的展开式中含项的系数为，

故答案为：.

14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）

【答案】40

【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.

【详解】因为二项式系数和，

因此，

又，

令，常数项为.

故答案为：40.

15．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答）

【答案】42

【分析】分两种情况讨论：2个教师节目相邻与不相邻，分别算出相加即可.

【详解】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：种情况，

②当2个教师节目不相邻时有：种情况，

所以共有种情况，

故答案为：42.

16．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）在的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个球，每球占一格，则不同的放法种数为__________．（结果用数字作答）

【答案】

【分析】先放白球，然后放黑球，结合分步乘法计数原理求得正确答案.

【详解】先在个格选一个放白球，方法数有种，

再放个黑球，方法数有种，

所以不同的放法数有种.

故答案为：

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（2022秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）0、1、2、3、4、5这六个数.

(1)可组成没有重复数字的数多少个？

(2)可组成没有重复数字的5位数中的偶数多少个？

(3)可组成没有重复数字的5位数中比24305大的数有多少个？

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）注意到没有限定是几位数，则利用排列公式分别求出可以组成1、2、3、4、5、6位数的个数，由加法原理计算可得答案.

（2）根据题意，第一种：5位数中无0;第二种：5位数中有0且0在个位;第三种：5位数中有0且0不在个位.利用排列公式分别求出每种情况下5位数的个数，由加法原理计算可得答案.

（3）根据题意，分4种情况讨论： 第一种：首位以是3，4，5的5位数;第二种：前2位是25的数;第三种：前3位是245的数;第四种：前3位是243的数.利用排列公式分别求出每种情况下符合条件的5位数的个数，由加法原理计算可得答案.

【详解】（1）由0、1、2、3、4、5这六个数，

可以组成1位数个，

可以组成2位数个，

可以组成3位数个，

可以组成4位数个，

可以组成5位数个，

可以组成6位数个，

则共可以组成 个.

（2）根据题意，要求是五位数且首位不能是0，则个位必须是偶数，

分3种情况讨论：

第一种：5位数中无0，个位有种取法，其余有种取法，则共有个，

第二种：5位数中有0且0在个位，共有个，

第三种：5位数中有0且0不在个位，有个，

则共有个.

（3）根据题意，分4种情况讨论：

第一种：首位以是3，4，5的5位数都符合要求，共计个，

第二种：其次前2位是25的数有个，

第三种：前3位是245的数有个，

第四种：前3位是243的数的有4个数比24305大，

则共有个.

18．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）已知在二项式的展开式中，含的项为.

(1)求实数a的值；

(2)求展开式中系数为有理数的项.

【答案】(1)

(2)，，1

【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，再利用指定项列式计算作答.

（2）利用（1）的结论及通项公式，分析的指数即可作答.

【详解】（1）的展开式的通项公式为：，

当时，展开式中含的项为，即，解得，

所以实数a的值为1.

（2）由（1）知，的展开式的通项公式为：，

依题意，为整数，因此，3，5，

当时，，当时，，当时，，

所以展开式中系数为有理数的项为，，1.

19．（2022春·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）若，.

(1)求；

(2)求的值；

(3)求的值.

【答案】(1)1

(2)0

(3)

【分析】(1)令 可计算出  的值;

(2)令 结合 的结果可计算出 的值;

(3)分别令, 然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出 的值;

（1）

令 , 所以 ;

（2）

令 , 所以 , ，因为，所以 ,

（3）

令 , 所以 , 又 ,

所以 ,

又因为 的展开式通项为 , 所以当 为奇数时, 项的系数为负数,

所以 .

20．（2022秋·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C，3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂.

(1)问有多少种不同的分配方案？

(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？

(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？（结果全部用数字作答）

【答案】(1)81

(2)36

(3)14

【分析】（1）由分步乘法原理，可得答案；

（2）由分组分配的计数方法，可得答案；

（3）由分类加法原理结合分组分配，可得答案.

【详解】（1）每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有（种）.

（2）先把4个同学分3组，有种方法；再把这3组同学分到A，B，C，3个工厂，有种方法，则不同的分配方案有（种）.

（3）同学甲、乙不能去工厂A，分配方案分两类：

①另外2名同学都去工厂A，甲、乙去工厂B，C，有（种）情况；

②另外2名同学中有一名去工厂A，有（种）情况.

所以不同的分配方案共有2＋12＝14（种）.

21．（2022春·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．

(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？

(2)女生互不相邻的坐法有多少种？

(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)采用捆绑法即可求解；

(2)采用插空法即可求解；

(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；

（1）

先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；

（2）

先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；

（3）

先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；

22．（2022春·甘肃白银·高二甘肃省会宁县第一中学校考期中）2022年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.

(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种?

(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种?

【答案】(1)30

(2)133

【分析】（1）根据组合的定义及组合数公式，结合分步乘法计数原理即可求解；

（2）根据组合的定义及组合数公式，再利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解.

(1)

设选出的4个人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件，则满足事件的情况共有种；

(2)

设选出的4人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选

为事件，则满足事件的情况为：①当选择时，

当有2位外科专家时，共有种情况；

当有3位外科专家时，共有种情况；

当有4位外科专家时，共有种情况；

②当不选择时，

当有2位外科专家时，共有种情况；

当有3位外科专家时，共有种情况；

当有4位外科专家时，共有种情况；

综上：满足事件的情况共有种情况；