人教版七年级下册9.2 一元一次不等式精品同步达标检测题

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专题9.3一元一次不等式组

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1、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。
2、、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。
3、确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。
考点精讲

考点1：解一元一次不等式组
典例：（2023·天津南开·统考一模）解不等式组请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得__________________；
(2)解不等式②，得__________________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)原不等式组的解集为__________________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)

【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（3）根据在数轴上表示不等式的解集的方法分别画出所求的范围即可；
（4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①：，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解不等式②：，

，
，
，
；
故答案为：；
（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：

（4）由（1）（2）可得，原不等式组的解集为：；
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）不等式组的解集在数轴上表示为（　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上的表示方法即可求出结果．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及用数轴表示解集的方法，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】，
解得，
所以解集为．
故选：D
【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可解答．
【详解】解：解不等式组，
得不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、数轴，解答的关键是会将不等式组的解集表示在数轴上，注意方向和实（空）心．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（　　）

A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】由图可知不等式的解集表示与3之间的部分，其中不包含，而包含3
【详解】解：由数轴知，该数轴表示的是不等式组的解集，
∴，
故选∶D．
【点睛】此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>，≥向右画；<，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5．（2023年广东省深圳市三十五校中考模拟数学试卷）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：
解不等式①可得：
解不等式①可得：
因为该不等式组的解集为
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．
6．（2023·湖南长沙·校联考一模）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（2022秋·江西新余·八年级统考期中）（1）解方程
（2）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．

【答案】（1）．（2）．在数轴上表示见解析
【分析】（1）根据代入消元法求解即可；
（2）分别求解不等式①②，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：（1），
①代入②得，
解得．
把代入①得，
解得．
∴方程组的解为．
（2）
解不等式①，得．
解不等式②，得．
把不等式①、②的解集在数轴上表示如下：

∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组；解题的关键是不等式组解集在数轴上表示时是等于还是不等于．
8．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解不等，得：，
解不等式，得：，
所以不等式组解集为．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
(1)；
(2)；
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析

【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】（1），
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示为：

（2），
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示为：

【点睛】题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
10．（2023·湖南长沙·校联考三模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集为：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
11．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）解不等式组
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
考点2：求不等式组的整数解
典例：（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
【答案】；非负整数解为0、1、2、3
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出非负整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集是，
非负整数解为0、1、2、3．
方法或规律点拨
本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键在熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．
巩固练习
1．（2023年湖南省长沙市初中学业水平考试模拟数学试卷）不等式组，的所有整数解的和为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】求出不等式组的解集，然后找出整数解即可求解．
【详解】
解：由①得：
，
由②得：
，
此不等式组的解集为：，
为整数，
取0、、、、，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）不等式组的整数解的个数是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为1，2，3，4，5，共5个．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数有（　　）种情况．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先根据题意得到一个关于的不等式组，然后求出符合题意的数即可．
【详解】由题意得，
解得，
整数解有．
故选B．
【点睛】本题考查简单的程序框图以及不等式组整数解的求法．由题意可得到一个关于的不等式组，然后求解即可．
4．（2023·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）不等式组的整数解为___________．
【答案】0，1
【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后从解集中选择整数解即可解答．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为:
所以不等式组的整数解为：．
故答案为．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，正确求得不等式组的解集是解题关键．
5．（2023·江苏扬州·统考一模）解不等式组：，并求出不等式组所有非正整数解的和．
【答案】，
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，继而确定出非正整数解即可得．
【详解】解：，
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的非正整数解是：，
∴不等式组的非正整数解的和为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
6．（2023春·七年级单元测试）解不等式组
(1)（把它的解集表示在数轴上）．
(2)（并写出它的整数解）．
【答案】(1)，把解集表示在数轴上见解析
(2)；整数解为：0、1、2、3

【分析】（1）先通过去括号、移项、系数化为1求出不等式的解，从而求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示即可；
（2）先通过去括号、移项、系数化为1求出不等式的解，从而求出不等式组的解集，即可确定解集中的整数解．
【详解】（1）解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，把不等式组的解集表示在数轴上如图所示：

（2）解：，
由①得：，即，
由②得：，
去括号得：，
移项得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的解集中的整数解为：0、1、2、3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示一元一次不等式组解集的方法，熟练掌握口诀确定一元一次不等式组的解集是解题的关键．
7．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】不等式组的解集为：．它的正整数解为：1，2．
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
【详解】解：，
不等式①的解集为：．
不等式②的解集为：．
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的的正整数解为：1，2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
8．（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解
【答案】，数轴见解析，整数解为，0，1，2
【分析】先求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，最后求出该不等式组的非负整数解即可．
【详解】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以，原不等式组的解集是，
在数轴上表示为：

故不等式组的整数解为，0，1，2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
9．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，4，5，6，7
【分析】首先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出所有整数解即可．
【详解】解：
由①得：，
解得：
由②得：，
解得：，
所以，不等式组的解集为：，
所以，它的所有整数解为4，5，6，7．
【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解决本题的关键
考点3：确定不等式组中的字母系数取值
典例：（1）（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）已知不等式组的解集为，则的值等于多少？
【答案】
【分析】解不等式解不等式得x＞，由不等式组的解集为可得，从而知，整体代入即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
则．
方法或规律点拨
本题主要考查解不等式组，根据不等式组的解集得出的值是解题的关键．
（2）（2021春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有四个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴    
∵不等式组有四个整数解，
∴整数解是，，0，1，
∴
∴
方法或规律点拨
此题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．解题的关键是不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
巩固练习
1．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（  ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有个整数解得出答案即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组有且仅有个整数解是，，，，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于的不等式是解此题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于的不等式组只有个正整数解，则整数的值不可能是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】表示出不等式组的解集，由解集中只有个正整数解，确定出的范围即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组只有个正整数解，
不等式组的正整数解为、、，
，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查了根据不等式组的解集求参数，熟练掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式组的解集是无解可知，x应该是大大小小找不到．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴，
故选：C．
【点睛】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如：，），没有交集也是无解，但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
4．（2023春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出和两个不等式的解集，解得，，根据判断出原不等式组的四个整数解为，，，，再来判断m的取值范围即可．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组有四个整数解，
原不等式组的整数解为，，，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据整数解的个数来判断m的取值范围是解题的关键．
5．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为(   )
A． B． C．0 D．7
【答案】D
【分析】分别表示出不等式组两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个整数解确定出a的范围，进而求出整数a的值，求出和即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以，不等式组的解集为：
的不等式组有且只有2个整数解，

解得，，
为整数，
为3，4，
和为，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
6．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）若不等式，有3个整数解，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再确定不等式组有解集，然后把解集表示在数轴上并结合3个整数解的条件即可确定a的取值范围．
【详解】解：不等式组
由①式得：，
由②式得：，
∵不等式组有解，把解集表示在数轴上，如图，

∵不等式组有3个整数解
∴，解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集等知识点，确定不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）若关于x的不等式组共有2个整数解，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，得，结合不等式组的整数解的情况，得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解不等式，得，
∵关于x的不等式组共有2个整数解，
∴这两个整数解为，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，得出关于m的不等式组．
8．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知关于的不等式组恰有二个整数解，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解不等式组的方法可以求出不等式组的解集，又因为关于x的不等式组恰有二个整数解，从而可以得到a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组恰有2个整数解，
∴不等式组的整数解为1、2，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，会解一元一次不等式组．
9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先解不等式组，再根据所有整数解的和是进行求解即可．
【详解】解不等式组，得，
∵不等式组的所有整数解的和是，
∴当时，整数解为，
∴；
当时，整数解为，
∴；
综上，m的取值范围是或，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
10．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据每一个不等式的解集，结合口诀：同大取大可得答案．
【详解】解：∵的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（2023春·安徽马鞍山·七年级马鞍山八中校考期中）若关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先解每个不等式确定不等式组的解集，然后再根据不等式组只有4个整数解，得到关于a的不等式组，即可求得a的范围即可．
【详解】解：
解不等式①得
解不等式②得
则不等式组的解集为
∵不等式组只有4个整数解
∴整数解是
，解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解问题，正确求出不等式组的解集，进而得出其整数解是解题关键．
12．（2023春·全国·八年级期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】分别解两个不等式，根据解集为，结合求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）即可得答案．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集为x＜3，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题关键．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式组的解集为，则__________．
【答案】2
【分析】先解不等式组可得，再结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解：
由②得，
∴不等式组的解集为：，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是根据不等式组的解集求解参数的值，理解题意，掌握解一元一次不等式组的方法是解本题的关键．
14．（2023春·八年级单元测试）若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集为，再由不等式组有且仅有一个整数解，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且仅有一个整数解，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
15．（2023·河南驻马店·一模）已知：不等式组的解集是，则______．
【答案】
【分析】将、看做常数解不等式得出的范围，由不等式组的解集为，可得关于、的方程，解方程求得、的值即可得答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
解得：，，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查解不等式组，根据不等式组的解集得出关于、的方程是解题的关键．
16．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）已知不等式组，的解集为，则___________．
【答案】
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
所以，不等式组的解集是，
∵不等式组的解集是，
∴，，
解得，
所以(．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）已知关于的不等式组
(1)若该不等式组的解集为，求的值；
(2)若该不等式组只有5个整数解，求整数的值．
【答案】(1)
(2)的整数解是4，5，6
【分析】（1）先求出不等式组的解集为，根据题意即可得出答案；
（2）根据题意可得出不等式组的整数解是，0，1，2，3，进而得出，解得，即可得出答案．
【详解】（1）解：解不等式组
得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得不等式组的解集为：，
∵不等式组只有5个整数解，
∴整数解是，0，1，2，3，
则，
解得：，
m的整数解为4，5，6．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组的整数解个数得出关于m的不等式组．
18．（2023·全国·九年级专题练习）若不等式组有解，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】先分别求出各不等式的解集，然后求其公共部分即可解答．
【详解】解：
解不等式①得
解不等式②得
∵不等式组有解，
∴，即，解得：．
【点睛】本题主要考查了解不等式组、根据不等式解得情况求参数等知识点，正确求出不等式的解集是解答本题的关键．
19．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）已知是不等式组的解，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据题意表示出不等式组的解集，然后根据是不等式组的解，即可求得的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵是不等式组的解，
∴不等式组的解集为：，
∴
解得：．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，正确解一元一次不等式的方法是解题的关键．
考点4：一元一次不等式组的应用
典例：（2023·广西贵港·统考一模）某高科技公式根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：A、B两种型号的医疗器械共生产80台；
信息二：生产这两种医疗器械的资金超过1800万元，但不足1810万元；
信息三：A，B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
型号
A
B
成本（万元/台）
20
25
售价（万元/台）
24
30
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这两种型号的医疗器械各生产多少台？
(2)在实际销售时，每台A型医疗器械的售价提高了，每台B型医疗器械的售价不变，全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元，求m的值．（利润售价成本）
【答案】(1)该公司生产A、B型号医疗器械分别为39台、41台
(2)
【分析】（1）设该公司生产A型号医疗器械x台，则生产B型号的医疗器械 台，列出不等式组，并解不等式组可解答；
（2）根据题意列出有关m的方程，并求解即可．
【详解】（1）设该公司生产A型号医疗器械x台，则生产B型号的医疗器械 台．
根据题意，得：，解得：，
∵x为正整数，∴，则，
答：该公司生产A、B型号医疗器械分别为39台、41台．
（2）根据题意，得：，
解得：
方法或规律点拨
本题考查了一元一次不等式组及方程的应用，考查学生解决实际问题的能力，解决本题的关键是找到不等关系并列出不等式．
巩固练习
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考阶段练习）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【分析】设购买甲、乙、丙树苗各为、、棵，且均不为0，则由题意得，，然后代入不同值，求解即可．
【详解】解：设购买甲、乙、丙树苗各为、、棵，且均不为0，
则由题意得，，
化简得，
令，则，或，或，共3种；
令，则，共1种；
∴共有种，
故选B．
【点睛】本题考查了三元一次方程的应用与一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设购买篮球x个，则购买足球个，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半、总价单价购买数量结合购买资金不超过3200元，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买足球个，
由题意，得，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
3．（2023春·全国·八年级期中）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人能分到笔记本但数量不足4本，则共有学生（　　）人．
A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人
【答案】D
【分析】设共有学生x人，根据题意列出相应的不等式组，从而可以解答本题．
【详解】解：设共有学生x人，根据题意得：
，
解得：，
∴共有学生5人或6人，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
4．（2023春·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
包装款式
包装的重量（吨）
含I号新产品的重量（吨）
含II号产品的重量（吨）
A款
6
3
3
B款
5
3
2
C款
5
2
3
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为______；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为___．（写出一种即可）
【答案】 3，1，1 1，1，3
【分析】（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，根据题意可得方程组，求解即可；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，则，解得，然后由装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，可得不等式组，进一步分析即得结果．
【详解】解：（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
由于x、y、z为整数，且每种款式至少有1个，
所以，
故答案为：3，1，1；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
∵装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，
∴，
当时，，
符合题目要求；
故答案为：1，1，3．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和不等式组的应用，正确理解题意、列出相应的方程组和不等式组是解题的关键．
5．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）若一个四位正整数的千位上的数的倍与百位上的数的倍之和刚好等于十位与个位组成的两位数，则称这个数为“奇巧数”，若一个“奇巧数”的千位为，百位为，十位为，个位为，，，且、、、为正整数)，与的和能被整除，求符合条件的“奇巧数最大值为___________．
【答案】
【分析】根据题意得出，，进而表示出，根据得出，根据整除，分类讨论即可求解．
【详解】解：∵一个“奇巧数”的千位为，百位为，十位为，个位为，
则，，
又∵与的和能被整除，
∴
∴是整数，且，
若，则，
∵是整数，
∴，
∴，则；
若，是整数，则，则，
∴（舍去），
若，则，
∴，，或，
则或；
若，则
∴,
∴，
∴最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不定方程，不等式组的应用，整除，分类讨论是解题的关键．
6．（2021春·四川绵阳·七年级校考期中）已知关于的方程组，其中，以下结论：①当时，方程组的解与互为相反数；②是方程组的解；③时，方程组的解也是的解；④若．正确的结论有___________________（填序号）
【答案】①②④
【分析】①将代入方程组，两式相加即可做出判断；
②将x与y代入方程组检验即可做出判断
③将代入方程组求出x与y的值，即可确定做出判断；
④先解方程组，根据y的范围确定出x的范围即可做出判断．
【详解】解：①将代入方程组得：；
两式相加得：
∴x与y互为相反数，①正确；
②将代入方程组得：
解得：，
∵，∴②正确；
③将代入方程组得：
解得：，
代入方程，左边得：；右边，即左边右边，
∴方程组的解不是方程的解；③错误；
④解方程组得：
∵，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，，
∴，④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．

(1)做2个竖式纸盒和1个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板152张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【答案】(1)4；11
(2)竖式纸盒加工38个、横式纸盒加工62个，恰好能将购进的纸板全部用完
(3)a可能为283，288，293，298
【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板及一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量；
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，根据所用长方形纸板数＝4×竖式无盖纸盒数+3×横式无盖纸盒数，可得出a关于m的数量关系式，结合a，m为正整数及，可找出a的所有可能值．
【详解】（1）（张），（张）．
故答案为：4；11．
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，
依题意，得：，
解得：．
答：竖式纸盒加工38个、横式纸盒加工62个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，
依题意，得：，
∴．
∵，且a，m均为正整数，
∴，
∴，且m为正整数，
∴m可能为22，24，26，28，
∴a可能为283，288，293，298．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及求不等式组的整数解，解题的关键是：（1）观察图形，找出每个横式及竖式纸盒所需长、正方形纸板数；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）利用所用长方形纸板数＝4×竖式无盖纸盒数+3×横式无盖纸盒数，找出a关于m的数量关系．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球：
(1)一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少元？
(2)甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：所有商品打八折：乙商店的优惠是：买一副羽毛球拍送n只羽毛球，通过调查发现，如果只到一个商店购买5副羽毛球拍和26只羽毛球时，到甲商店更划算：若只购买一副羽毛球拍和n只羽毛球，则乙商店更划算．求n的值．
(3)在（2）的条件下，当时，学校如何购买羽毛球拍和羽毛球最划算，请说明理由．
【答案】(1)一副羽毛球拍的价格是30元，一只羽毛球的价格是2元
(2)4
(3)到甲购买10个羽毛球、到乙买5副羽毛球拍，理由见解析
【分析】（1）设一副羽毛球拍的价格是x元，一只羽毛球的价格是y元，根据一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球，列出方程组进行求解即可；
（2）根据题意，列出不等式组，进行求解即可；
（3）分别算出到甲商店购买花费的费用，乙商店购买，花费的费用，以及去两个商店混合买的费用，进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设一副羽毛球拍的价格是x元，一只羽毛球的价格是y元，
由题意，得： ．
解得 ．
答：一副羽毛球拍的价格是30元，一只羽毛球的价格是2元；
（2）依题意得：．
解不等式组，得．
因为n是正整数，
所以；
（3）当时，
甲商店消费额：（元），
乙商店消费额：（元），
①到甲购买4副羽毛球拍、到乙买1副羽毛球拍：
（元），
②到甲购买10个羽毛球、到乙买5副羽毛球拍：
（元），
因为，
所以当时，学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要166元．
∴到甲购买10个羽毛球、到乙买5副羽毛球拍．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键．
9．（2023·山东东营·统考一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
(1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
(2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
【答案】(1)A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元
(2)5种
【分析】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A，B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，
则，
解得，
∵m为整数，
∴m为54，55，56，57，58，
∴共有5种购买方案．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
10．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的重要的物质资源之一，为更好地治理水质，保护环境，市污水处理办公室预购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中价格及污水处理量如下表：

A型
B型
价格（万元）
12
10
处理污水量（吨／月）
240
200
(1)市污水处理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有几种购买方案？
(2)在（1）的情况下，若每月污水处理量要求不低于2040吨，为节约资金，请你帮市污水处理办公室选取一种最省钱的方案．
【答案】(1)共有2种购买方案
(2)购买A型号的污水处理设备1台，购买B型号的污水处理设备9台最省钱
【分析】（1）设购买A型号的污水处理设备x台，则购买B型号的污水处理设备台，根据不等关系列出不等式组即可；
（2）分别算出两种方案的污水处理量和购买污水处理设备的资金，然后进行
【详解】（1）解：设购买A型号的污水处理设备x台，则购买B型号的污水处理设备台，根据题意得：
，
解得：，
∵x取正整数，
∴或，
，，
答：共有2种购买方案：购买A型号的污水处理设备1台，则购买B型号的污水处理设备9台；购买A型号的污水处理设备2台，则购买B型号的污水处理设备8台．
（2）解：购买A型号的污水处理设备1台，购买B型号的污水处理设备9台时，每月污水处理量为：
（吨），
购买污水处理设备的资金为：
（万元）；
购买A型号的污水处理设备2台，购买B型号的污水处理设备8台时，每月污水处理量为：
（吨），
购买污水处理设备的资金为：
（万元）；
∵，
∴购买A型号的污水处理设备1台，购买B型号的污水处理设备9台最省钱，且每月污水处理量为2040吨，符合要求．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系列出不等式，准确计算．
11．（2023·湖北恩施·统考一模）我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
【答案】(1)购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元；
(2)共有3种购买方案；方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
(3)方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵

【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）比较各方案即可得答案．
【详解】（1）解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得，
解得
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为51，52，53，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
（3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；元，
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；元，
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵.元，
∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
12．（2023·湖北黄冈·校考一模）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?
(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
(2)最省的方案是购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，所需费用为280万元

【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，根据费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，得到不等式组，解不等式组后，根据m是正整数写出方案，即可得到最省钱方案．
【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
由题意得，，
解得，
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，
根据题意得，，
解得，且m为正整数，
当时，，即购买A型汽车3辆，购买B型汽车7辆，此时费用为（万元）；
当时，，即购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，此时费用为（万元）；
∴最省的方案是购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，所需费用为280万元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键．
13．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
【答案】(1)1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
(2)一共有3种方案：①用大货车6辆，用小货车6辆；②用大货车7辆，用小货车5辆；③用大货车8辆，用小货车4辆；当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元

【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，根据 题意列得二元一次方程组解答即可；
（2）设有a辆大货车，则有辆小货车，根据运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元列出不等式组解出结果，计算最少费用．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，则
，解得，
答：1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
（2）设有a辆大货车，则有辆小货车，由题意得，
，
解得，
∵a是整数，
∴，
共有3种方案：
①用大货车6辆，用小货车6辆，费用为（元）；
②用大货车7辆，用小货车5辆，费用为（元）；
③用大货车8辆，用小货车4辆，费用为（元）；
∵，
∴当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买支定制钢笔和本纪念卡册共需元，购买支定制钢笔和本纪念卡册共需元．
(1)求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？
(2)该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共件，总费用不超过元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？
【答案】(1)每支定制钢笔的价格为元，每本纪念卡册的价格为元
(2)种，见解析
【分析】（1）设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为、元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买定制钢笔支，则纪念卡册有本，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为、元，
依题意，得：，
解得：，                                              
答：每支定制钢笔的价格为元，每本纪念卡册的价格为元．
（2）解：设购买定制钢笔支，则纪念卡册有本
依题意，得：
解得：
取整数，
＝，，，，
总共有种方案，
分别为：
方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本；
方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本；
方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本；
方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本；
方案：购买定制钢笔支，纪念卡册本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题的关键．
15．（2023春·浙江温州·七年级校考期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．

(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值 ．(直接写出答案)
【答案】(1)5，10
(2)加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完
(3)，298
【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板，一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量；；
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，根据所用长方形纸板数竖式无盖纸盒数横式无盖纸盒数，可得出a关于m的等式，结合a，m为正整数及，可找出a的所有可能值．．
【详解】（1）解：根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）；
根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面+2个长方形侧面+一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）；
综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板张，长方形纸板张，
故答案为：5，10；
（2）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，
根据题意得：，
解得：，
∴加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完，
答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）解：设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，
由题意得：，化简得：，
，且、为整数，
，即，
∴满足题意的m有，
使为整数的取值是：，，
的所有可能值是：，．
故答案为：293，298.
【点睛】本题考查实际应用题，涉及到立体图形的侧面展开、二元一次方程应用和不等式组的应用，根据题意准确找到等量关系是解决问题的关键．
考点5：方程组（组）与不等式组的综合问题
典例：（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值范围
解：，
，
又，
，
，
又，
①，
，
即②，
①②得：，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，
①试确定的取值范围；
②试确定的取值范围；
(2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请直接写出、的值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①结合题干给出的思路，根据，可得，结合，可得，即有；②由①得：，同理可得②，问题随之得解；
（2）结合题干给出的思路，可得①、②，即有，结合，可得，解方程即可求解．
【详解】（1）①，
，
，
，
，
，
，
②由①得：，
，
即②，
，
的取值范围是；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，即，
即①，
，

，
，
②，
①②得：，
的取值范围是，
，
解得：．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证．
巩固练习
1．（2023·山东滨州·模拟预测）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是(   )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解．
【详解】解：
由得：
∴，
∵，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）若整数 a 使关于 x 的方程的解为非负数，且使关于 y 的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数 a 的和为（　　）
A．20 B．21 C．27 D．28
【答案】C
【分析】表示出方程的解，由方程的解为负数确定出a的范围，表示出不等式组的解集，由已知解集确定出a的范围，进而求出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【详解】解：方程去分母得，
去括号得，
移项、合并得：，
解得：，
由方程的解为非负数，得到，
解得：，
不等式组整理得：，
由不等式组的解集为，得到，
∴，即整数，0，1，2，3，4，5，6，7，
则满足题意的整数a之和为27．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次方程，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
3．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
得，
∵方程组的中x，y满足，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键．
4．（2023·浙江舟山·校联考一模）已知关于，的二元一次方程组，有下列说法：①当时，方程的两根互为相反数；②不存在自然数，使得，均为正整数；③，满足关系式；④当且仅当时，解得为的倍．其中正确的是(    )
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④
【答案】B
【分析】利用加减法求出关于、的二元一次方程组的解(用含的代数式表示)，再根据A、B、C、D所述列出算式、方程和不等式组，解集不存在的即为正确答案．
【详解】二元一次方程组得， ，
当时， ，故当时，方程两根互为相反数；故①符合题意；
，

，代入得，，
，满足关系式，故③符合题意；
当时，，，
当且仅当时解得为的倍，故④符合题意；
当，时，则 ，
，
当时，，，(，均为正整数)，
存在自然数使得，均为正整数，故②不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查二元一次方程组的解，同时涉及方程组的解集，解题关键在于掌握运算法则．
5．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（　　）
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解
②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变；
④若x≤1，则y≥；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】解方程组得，①将a＝1的值代入方程组的解和方程中进行判断即可；②将a＝﹣2代入方程组的解，依据相反数的概念判断即可；③将所求x、y代入2x+7y，判断最后化简结果与a有无关系即可；④由x≤1得出a的范围，再结合a的范围求出的范围即可．
【详解】解：解方程组得，
①当a＝1时，，此时方程x+y＝4﹣1＝3，x＝3、y＝0是该方程的解，正确，不符合题意；
②当a＝﹣2时，，x、y不是互为相反数，错误，符合题意；
③2x+7y＝＝6，不论a取什么数，2x+7y的值始终不变，正确，不符合题意；
④若x≤1，则≤1，解得a≤，此时≥，正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式及不等式组的能力．
6．（2023春·七年级单元测试）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，
∴
解得：a=1，b=3，

解得，
，解得，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＜2，求整数a的最大值．
【答案】3
【分析】先把两个方程相加可得再整体代入不等式可得再解不等式即可．
【详解】解：
由①+②得：
∴
∵
∴
∴
解得：
所以整数a的最大值为：3．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式的应用，掌握“把看整体解方程组”是解本题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）解二元一次方程组；
（2）已知（1）中的解满足，求正整数a的值．
【答案】（1）；（2）2
【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组即可求解；
（2）把（1）中的解代入不等式中得，，解一元一次不等式组，即可求得正整数解．
【详解】解：（1）
由①得③，
将③代入②得，，
解得，
将代入③得，
∴此方程组解为
（2）把（1）中的解代入不等式中得，，
∴，解得，
∵a是正整数，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，正确的计算是解题的关键．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为何整数时，不等式的解集为．
【答案】(1)
(2)当a为时，不等式的解集为

【分析】（1）先解方程组可得，再利用x为非正数，y为负数，再建立不等式组，解不等式组即可得到答案；
（2）整理不等式可得，根据解集为，可得，结合（1）中的范围从而可得答案．
【详解】（1）解：解方程组，得：，
∵方程组中x为非正数，y为负数，
∴，解得：，
即a的取值范围是；
（2）∵，
∴，
∵要使不等式的解集为，
必须，解得：，
又由（1）可知，且a为整数，
∴，
所以当a为时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组与不等式组的综合应用，不等式的性质，掌握“方程组与不等式组的解法”是解本题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于的方程组的解都为非负数．
(1)用含有字母的代数式表示和；
(2)求的取值范围；
(3)已知，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）将a当做已知，解方程组即可；
（2）根据解为非负数得到关于a的不等式组，求解即可；
（3）由可得，结合解出b的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：
可得：，解得：
将代入①中可得：，
解得：
∴，
（2）因为关于的方程组的解都为非负数，
可得：，
解得：；
（3）由，可得：，
可得：，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．
11．（2022春·天津滨海新·七年级校考期末）若点的坐标满足方程组．
(1)求点的坐标（用含的式子表示，）；
(2)若点在第二象限，求的取值范围；
(3)若点在第一象限，且，则满足条件的整数有几个？
【答案】(1)
(2)
(3)2个

【分析】（1）运用加减消元法解此方程组；
（2）由题意构造不等式组并求解；
（3）由题意构造不等式组并求解，并确定出符合条件的的值．
（1）解：，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
该方程组的解为，
点的坐标为；
（2）解：由题意得不等式组，
解得，
的取值范围；
（3）解：由题意得不等式组，
解得，
满足条件的整数有，，
即满足条件的整数有个．
【点睛】此题考查了含字母参数的方程组与不等式组综合问题的解决能力，关键是能对以上题目正确求解，并确定出符合条件的字母参数的值．
12．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组．
(1)试求出m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
【答案】(1)
(2)在m的取值范围内，没有合适的整数m，使不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1
【分析】（1）方程组两方程相加减表示出x＋y与x−y，代入不等式组计算即可求出m的范围；
（2）确定出不等式组的整数解，满足题意即可．
【详解】（1）解：，
①＋②得：3x＋3y＝3＋m，即，
①−②得：x−y＝3m−1，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵2x−mx＜2−m的解集为x＞1，
∴2−m＜0，
解得：m＞2，
∵0＜m＜3，
∴2＜m＜3，
∴在m的取值范围内，没有合适的整数m，使不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整数解，用m表示出x+y和x-y，是解本题的关键．
13．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数a的值．
【答案】(1)
(2)满足条件的整数a的值为，
【分析】（1）用含的式子表示出方程组的解，再根据方程组的解满足x为非正数，y为正数，列出不等式组，进行求解即可；
（2）根据题意，可得：，结合（1）中的取值范围，进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，得：，解得：，
把，代入②，得：，解得：，
∴方程组的解为：，
∵关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数，
∴，解得：；
（2）解：∵
∴，
∵不等式的解集为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴满足条件的整数a的值为，．
【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的取值范围、解一元一次不等式组．正确的求出方程组的解，是解题的关键．

能力提升

一、单选题（每题3分）
1．（2022·重庆璧山·统考一模）不等式组的解集在数轴上可表示为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出不等式组的解集，根据解集即可确定答案．
【详解】解不等式组得：，
在数轴上表示如下：

故选：A．
【点睛】本题考查了解不等式组，把解集在数轴上表示出来，关键是求得不等式组的解集．
2．（2023·全国·九年级专题练习）
如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．该电梯乘载的重量超过480公斤时警示音响起．已知小丽为45公斤、小欧为65公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列哪一个不等式表示（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据小丽进入电梯未超重而小欧进入电梯超重，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
3．（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（    ）

A．10 B．8 C．7 D．4
【答案】C
【分析】根据三角形第三边取值范围求得不等式的解集，然后求最大整数解即可求解．
【详解】解：∵三条线段的长分别是，能构成三角形，
∴，
即，且为整数，
∴的最大整数解，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，求不等式的最大整数解，理解题意是解题的关键．
4．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】每人送4本，则还余9本即一共有本书，再根据每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本列出不等式组即可．
【详解】解：设初二年级有名学生获奖，
由题意得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）方程组的解满足，则k的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k的取值范围即可．
【详解】解：∵，
观察方程组可知，上下两个方程相加可得：，
两边都除以3得，，
所以，
解得；
，
解得．
所以．
故选C．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组及解不等式组，理解题意，确定是解题关键．
6．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）对于三个数、、的最小的数可以给出符号来表示，我们规定，，表示、、这三个数中最小的数，例如：，，，，，．若，2，，则的取值范围是（      ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据新定义列出关于的不等式组，再解之即可．
【详解】解：根据题意，得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022春·上海闵行·六年级校考期末）不等式组的自然数解是______．
【答案】0，1，2，3，4
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∴不等式组的自然数解是：0，1，2，3，4，
故答案为：0，1，2，3，4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（2022·宁夏银川·校考一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围___________
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集，再由不等式组无解，可得关于m的不等式，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，，现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线、上，其中为第1根小棒，且． 若恰好能摆放4根小棒，则θ 的取值范围是_________．

【答案】
【分析】先根据已知条件，列出不等式，解出θ的取值范围，即可得出正确答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∵恰好能摆放4根小木棒，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
10．（2022秋·八年级单元测试）已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为________．
【答案】7
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可．
【详解】解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，解得
解不等式组得：
∵关于的不等式组无解
∴，解得
∴
∴所有符合条件的整数为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个
故答案为7
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．
11．（2023·全国·九年级专题练习）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有____种．
【答案】3
【分析】设可以搭配成个A种造型，则可以搭配成个B种造型，根据搭配50个园艺造型所需甲种花卉不超过2660盆、乙种花卉不超过3000盆，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出符合要求的搭配方案有3种．
【详解】解：设可以搭配成个A种造型，则可以搭配成个B种造型，
依题意得：，
解得：．
又∵x为整数，
∴x可以为20，21，22，
∴符合要求的搭配方案有3种．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
12．（2022春·四川成都·八年级校考期末）若关于的不等式有且只有四个整数解，且一次函数的图象不经过第三象限，则符合题意的整数的值为______．
【答案】，
【分析】根据关于不等式组有且只有四个整数解得出的取值范围，再由一次函数的图象不经过第三象限得出取值范围，再找出其公共解集，取符合条件的整数即可；
【详解】解：解不等式组得：；
∵关于的不等式有且只有四个整数解
∴其整数解为：，，，；
∴，即：
∵一次函数的图象不经过第三象限
∴
解得：
由①②可得：
∴符合题意的整数的值为，；
故答案为：，；
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022秋·浙江·八年级期末）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】，图见解析
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，得到不等式组的解集，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】∵
∴，
∴原不等式组的解集为：
在数轴上表示为：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
14．（2022秋·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，甲长方形的两边长分别为；乙长方形的两边长分别为．（其中m为正整数）

(1)图中的甲长方形的面积，乙长方形的面积，比较： （填“”、“”或“”）；
(2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数；
(3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）并且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，求m的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)9

【分析】（1）分别求出，作差，进行比较即可；
（2）求出正方形的边长，再求出长方形和正方形的面积，作差，即可得解；
（3）根据这样的整数值有且只有16个，列出不等式组，进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∵m为正整数，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）图中的甲长方形周长为，
∴该正方形边长为，
∴，
∴该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差是一个常数9；
（3）由（1）得，，
由题意得，，
∴，
∵m为正整数，
∴．
【点睛】本题考查了整式的乘法以及完全平方公式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
15．（2021秋·浙江温州·七年级统考期末）某工厂一共有16名工人，每人每天可以生产3个桌面或20个桌腿，已知1个桌面配4个桌腿．
(1)如何分配生产桌面和桌腿的工人，才能使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套？
(2)由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，且从原有16名工人中提拔一名老工人负责招聘及管理新工人．已知新工人每人每天可以生产1个桌面或12个桌腿，工厂决定派一部分老工人带领一部分新工人一起生产桌面，其余工人全部生产桌腿．
①若工厂安排所有剩余老工人按的人数比例分别生产桌面和桌腿，新工人按的人数比例分别生产桌面和桌腿，则需招聘多少名新工人就能使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套？
②若生产桌面的新工人人数是生产桌面的老工人人数的，设招聘了m名新工人，为了使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套，请直接写出m的值．
【答案】(1)每天分配10名工人加工桌面，6名工人加工桌腿，才能使加工出来的桌面和桌腿配套．
(2)①共需招聘15名新工人．②11

【分析】（1）设分配x名工人生产桌面，则生产桌面个，桌腿个，根据桌腿个数是桌面个数的4倍列方程求出x的值即可；
（2）①设需招聘y名新工人，根据桌腿个数是桌面个数的4倍列方程得,解方程求出y的值即可；②设n名新工人生产桌面，则4n名老工人生产桌面，得整理得，而m、n都是整数，由得；由得，故，．
【详解】（1）解：设每天分配x个工人加工桌面，则有名工人加工桌腿．
由题意，得
．            
答：每天分配10名工人加工桌面，6名工人加工桌腿，才能使加工出来的桌面和桌腿配套．
（2）解：①由已知，得12名老工人生产桌面，3名老工人生产桌腿；
设招聘y名新工人，则有名新工人生产桌面，有名新工人生产桌腿．
由题意，得．        
．            
答：共需招聘15名新工人．
②设n名新工人生产桌面，则名老工人生产桌面，
根据题意得，
整理得，
因为
，且n为正整数，
所以，
所以，
所以的值为．
【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、一元一次不等式等知识与方法，正确地用代数式表示生产桌面和桌腿的人数及所生产的桌面和桌腿的数量是解题的关键．