【重难点讲义】人教版数学九年级下册-基础练 第27章《相似》章节巩固讲义

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2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第27章《相似》章节复习巩固
考试时间：100分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•顺德区期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
解：∵，
∴＝，
∴＝．
故选：C．
2．（2分）（2022秋•中山区期中）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则的值为（　　）

A． B． C． D．
解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△BOA∽△DOC，
∴＝，
∵OA＝2，AC＝3，
∴＝．
故选：D．
3．（2分）（2022秋•杨浦区期中）已知＝，那么的值是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
解：∵＝，
∴3a﹣3b＝2a+2b，
∴a＝5b，
∴＝＝5．
故选：C．
4．（2分）（2022秋•铁西区期中）若4x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．因为＝，所以4x＝3y，故A符合题意；
B．因为＝，所以3x＝4y，故B不符合题意；
C．因为＝，所以3x＝4y，故C不符合题意；
D．因为＝，所以xy＝12，故D不符合题意；
故选：A．
5．（2分）（2022秋•潍城区期中）如图，已知四边形ABFE∽四边形EFCD，AB＝2，EF＝3，则DC的长是（　　）

A．6 B． C． D．4
解：∵四边形ABFE∽四边形EFCD，
∴，
∵AB＝2，EF＝3，
∴，
解得DC＝．
故选：C．
6．（2分）（2022秋•滁州期中）甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　）
A．1：200 B．1：20000 C．20000：1 D．1：4000
解：∵1600米＝160000厘米，
∴这幅地图的比例尺是8：160000＝1：20000，
故选：B．
7．（2分）（2022秋•奉贤区期中）在△ABC中，点 D、E分别在边AB、AC上，AD：BD＝1：3，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：当＝，＝，＝时，不能判断DE∥BC，
故选项A、B、D不符合题意，
当＝时，
∵AD：BD＝1：3，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，
故选项C可以判断DE∥BC，
故选：C．

8．（2分）（2022秋•汉阳区期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为2m，那么它的下部应设计的高度为（　　）m．

A．﹣1 B．+1 C． D．
解：设雕像的下部应设计的高度为xm，
∵使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，
∴＝，
∴x＝﹣1，
即雕像的下部应设计的高度为（﹣1）m，
故选：A．
9．（2分）（2022•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠ADC＝∠ACB，过点D作DE∥BC交AC于点E，则下列式子不一定正确的是（　　）

A． B． C．AC2＝AD•AB D．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选项D正确；
∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD•AB，
故选项C正确；
∵△ACD∽△ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠ADC＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ADC，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
故选项A正确；
∵△ADE∽△ABC，
∴，
当AC≠AB时，，
故选项B错误；
故选：B．
10．（2分）（2021秋•城固县期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，若AE交BD于点F，M是DF的中点，连接CM，CM＝2，则EF的长为（　　）

A． B． C．1 D．
解：ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，
∵E是BC的中点，
∴＝，
即AE＝3EF，
如图，延长AE交DC延长线于点H，

∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠HCE＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△HCE中，
，
∴△ABE≌△HCE（ASA），
∴AE＝EH，AB＝CH＝CD，即C是DH的中点，
∴HF＝2CM＝4，
∵AE＝3EF，AE＝EH，
∴EH＝3EF，HF＝4EF，
∴EF＝1，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•温江区校级期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC∽△DCE，则△DCE的面积是 　　．

解：∵△ABC∽△DCE，BC＝3，CE＝5，
∴S△ABC＝×2×3＝3，
∴＝（）2＝＝＝，
解得：S△DCE＝．
故答案为：．
12．（2分）（2022秋•南海区期中）已知，则的值为 　0　．
解：∵＝1，
∴x＝y，
∴＝＝0．
故答案为：0．
13．（2分）（2022秋•黄浦区期中）已知线段b是线段a、c的比例中项，如果a＝2，c＝18，那么b＝　6　．
解：∵线段a＝2，c＝18，线段b是线段a和c的比例中项，
∴b2＝ac＝2×18＝36，
∴b1＝6，b2＝﹣6（舍去）．
故答案为：6．
14．（2分）（2022秋•市南区期中）如图，l1∥l2∥l3，已知AB＝6cm，BC＝3cm，A1B1＝4cm，则线段B1C1的长为　2　cm．

解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴AB＝6cm，BC＝3cm，A1B1＝4cm，
∴，
解得B1C1＝2．
故答案为：2．
15．（2分）（2022•佛山模拟）制作一块3m×1m长方形广告牌的成本是110元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是 　990　元．
解：将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：110×9＝990（元）．
故答案为：990．
16．（2分）（2022秋•龙泉驿区期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为 　x＝　．

解：BD＝＝＝，
∵AB∥DC，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝＝，
设BE＝x，则DE＝﹣x，
∴＝，
解得：x＝．
故答案为：．
17．（2分）（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：4，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝　3：4　．
解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：4，
故答案为：3：4．
18．（2分）（2022秋•旅顺口区校级期中）如图，在▱ABCD中，，若S△AEF＝4cm2，则S△CDF＝　25　cm2．

解：∵AE：EB＝2：3，
∴设AE＝2x，BE＝3x，
∴AB＝5x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5x，AB∥CD，
∴△DCF∽△EAF，
∴＝（）2，
∴S△CDF＝×4＝25cm2，
故答案为：25．
19．（2分）（2022•镇江一模）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，点C的对应点E恰好落在边BC的延长线上，AD与BE相交于点F，若，则＝　　．

解：由旋转得S△ADE＝S△ABC，
∵S△ACF﹣S△DEF＝S△ABC，
∴S△ACF+S△AEF﹣S△DEF＝S△ABC+S△AEF，
∴S△ACE＝S△ABC+S△AEF+S△DEF＝S△ABC+S△ADE，
∴S△ACE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，
∴＝，
设点A到BE的距离为h，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
20．（2分）（2022•松山区模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1……按这样的规律下去，第2022个正方形的边长为 　×　．

解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，
∴AD＝＝，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∵∠BAA1+∠ABA1＝90°，
∴∠BAA1＝∠ADO，
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△ABA1，
∴＝2，
∴A1B＝AB＝，
∴A1C＝BC+A1B＝（1+）＝，
∴第2个正方形A1B1C1C的边长为；
同理：＝2，
……，
∴A2B1＝A1B1＝×，
∴A2C1＝A1C+A2B1＝×（1+）＝×，
∴第3个正方形A2B2C2C1的边长×，
……，
∴第n个正方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Cn﹣2的边长为×，
∴第2022个正方形的边长为：×，
故答案为：×．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．
解：设＝＝＝k，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵2x﹣3y+4z＝33，
∴4k﹣9k+16k＝33，
解得k＝3，
∴x＝6，y＝9，z＝12，
∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．
22．（6分）（2022秋•西湖区校级期中）已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．
（1）求线段a，b，c的长．
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
解：（1）∵a：b：c＝2：3：4，
∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b﹣c＝3，
∴2k+3k﹣4k＝3，
解得k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12；
（2）∵m是a、b的比例中项，
∴m2＝ab，
∴m2＝6×9，
∴x＝3或x＝﹣3（舍去），
即线段m的长为3．
23．（6分）（2022•宁海县模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连结OE，OE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED为平行四边形；
（2）求的值．

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，
又∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形．

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，四边形ACED为平行四边形，
∴CO＝AO＝AC＝DE，即，，
又∵AC∥DE，
∴△OFC∽△EFD，
∴，
∴，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD＝CD，
∴．
24．（6分）（2022•长沙模拟）如图，F是△ABC的边AB上的一点，以AF为直径的⊙O与BC相交于点D，与AC相交于点E，且满足△ACD∽△ADF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠EAB＝60°，OA＝5，求图中阴影部分的面积．

解：（1）证明：连接DD，

∵△ACD∽△ADF，
∴∠ACD＝∠ADF，∠1＝∠2，
∵AF是直经，
∴∠ADF＝∠ACD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AC∥OD，
∴∠ACD＝∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；

（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，且∠EAB＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠4＝∠2+∠3＝60°，
在Rt△ODB中，∠4＝60°，∠ODB＝90°，
∴∠FBD＝30°，
∵OD＝OA＝5，
∴OB＝2OD＝10，
∴BD＝，
∵OB⊥OD，
∴S△OBD＝×OD×BD＝×，
∵S扇形ODF＝，
∴S阴影＝S△OBD﹣S扇形ODF＝，
故阴部分的面积为：．
25．（6分）（2022秋•奉贤区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC．E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AE2＝AG•AC，求证：＝．

证明：（1）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴AB∥CD；
（2）∵AE2＝AG•AC，
∴＝，
∵∠EAG＝∠CAE，
∴△AEG∽△ACE，
∴∠AEG＝∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAG，
∴∠DAG＝∠AEG，
∵∠ADG＝∠EDA，
∴△ADG∽△EDA，
∴，即＝．

26．（6分）（2022秋•城关区期中）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，分别写出B，C两点的对应点B'，C'的坐标；
（2）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M'的坐标．

解：（1）如图，△OB'C'即为所求．

由图可得，点B'（﹣6，2），C'（﹣4，﹣2）．
（2）由题意得，点M'的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
27．（8分）（2022秋•巨野县期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）若正方形的边长为8，求FG的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴＝，
∵DF＝DC，
∴＝，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴，
又∵DF＝DC，正方形的边长为8，
∴DF＝2，ED＝4，
∴CF＝6，CG＝12，
∴GF＝＝6．
28．（8分）（2022秋•鹿城区校级期中）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AD＝5，AB＝6，BC＝9，求DE的长．

（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝∠EDC，∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD＝5，AB＝6，BC＝9，
∴，
∴DE＝．
29．（8分）（2022秋•金水区期中）如图，矩形EFGH内接于△ABC（矩形各顶点在三角形边上），E，F在
BC上，H，G分别在AB，AC上，且AD⊥BC于点D，交HG于点N．
（1）求证：△AHG∽△ABC．
（2）若AD＝3，BC＝9，设EH＝x，则当x取何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少？

证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC；
（2）∵△AHG∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴EH＝3（3﹣x）＝9﹣3x，
设矩形EFGH的面积为y，
则y＝x（9﹣3x）＝﹣3x2+9x＝﹣3（x﹣1.5）2+6.75．
∴当x取1.5时，矩形EFGH的面积最大，，最大面积是6.75