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初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定优秀随堂练习题
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这是一份初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定优秀随堂练习题，文件包含提高练122三角形全等的性质原卷版docx、提高练122三角形全等的性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第12章《全等三角形》
12.2 三角形全等的判定
知识点1：全等三角形的判定
【典例分析01】（2021秋•兰考县期末）如图，∠B＝∠C，要使△ABD≌△ACE，只需增加的一个条件是 BD＝CE（答案不唯一） （只需填写一个你认为适合的条件）．
解：添加的条件是BD＝CE，
理由是：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：BD＝CE（答案不唯一）．
【变式训练1-1】（2022•南明区二模）如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．BO＝CO C．AO＝DO D．∠A＝∠D
解：A．AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠DCB，
AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．∵AB＝CD，AO＝DO，
∴OB＝OC，
∴∠ABC＝∠DCB，
AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，BC＝CB，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】（2021秋•玉屏县期末）如图，AD∥MN∥BC，∠ADC＝90°，AD＝BC，那么，图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
解：∵AD∥MN∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，
在△ADC和△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD（SAS），
∴AC＝BD，∠A＝∠B，
在△ADM和△BCM中，
，
∴△ADM≌△BCM（AAS），
∴DM＝CM，
∵MN⊥DC，
∴DN＝CN，
在△MDN和△MCN中，
，
∴△MDN≌△MCN（SSS），
即全等三角形有3对，
故选：C．
【变式训练1-3】（2021秋•天津期末）如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（ ）
A．AD＝AC B．∠E＝∠B C．ED＝BC D．∠D＝∠C
解：∵∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAC，
A．AB＝AE，∠EAD＝∠BAC，AD＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．∠E＝∠B，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
C．AB＝AE，ED＝BC，∠EAD＝∠BAC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AED≌△ABC，故本选项符合题意；
D．∠D＝∠C，∠EAD＝∠BAC，AB＝AE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-4】（2021秋•诸暨市期末）如图，DE＝AC，∠1＝∠2，要使△DBE≌△ABC还需添加一个条件是 ∠D＝∠A（答案不唯一） .（只需写出一种情况）
解：添加的条件是∠D＝∠A，
理由是：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE，
即∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
，
∴△DBE≌△ABC（AAS），
故答案为：∠D＝∠A（答案不唯一）．
【变式训练1-5】（2021秋•平定县期中）已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，
∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ，
∴∠M＝∠PSQ；
在△MNS与△SQP中，
，
∴△MNS≌△SQP（AAS）．
【变式训练1-6】（2021秋•拱墅区期中）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE．
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组全等三角形，说明理由．
解：（1）△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，△ADC≌△CBA；
（2）△ABE≌△CDF；
理由：∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
知识点2：直角三角形的判定
【典例分析02】（2021秋•韶关期末）如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC
解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-1】（2022春•兴业县校级期中）如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠B＝∠C D．AE＝BF
解：∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，即BE＝CF，
根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，
需要添加AB＝CD，
故选：B．
【变式训练2-2】（2021秋•朝天区期末）如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ 5或10 ，△ABC与△APQ全等．
解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
【变式训练2-3】（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
解：添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
12．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝ 2 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，
∵BC＝8，BP＝2，
∴PC＝6，
∵AB⊥BC、DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
在△ABP和△PCD中，
∴△ABP≌△PCD（SAS），
故答案为：2．
【变式训练2-4】（2019秋•北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BCE＝90°，
即BC⊥CE；
（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠CDE＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠DCE＝90°．
BD⊥CE．
【变式训练2-5】（2016秋•临河区期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD＝EC+ED．
证明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°．
∴∠ABD＝∠DAC．
∵在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD＝AE，EC＝AD．
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝EC+ED．
知识点3：全等三角形的判定与性质
【典例分析03】（2021秋•松桃县期末）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．
（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠GBH，
∴∠A＝∠GBH．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠AFE＝∠BHG．
在△ADG和△CDF中，
，
∴△AEF≌△BGH（AAS）．
（2）解：∵△AEF≌△BGH，
∴AF＝BH，
∴AB＝FH＝4．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠EFD＝∠GHD．
在△EFD和△GHD中，
∴△EFD≌△GHD（AAS），
∴．
【变式训练3-1】（2021秋•海沧区期末）如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EFD B．∠ABC C．2∠D D．∠AFE
解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
又∵∠AFE＝∠ACB+∠DEF，
∴∠AFE＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AFE，
故选：D．
【变式训练3-2】（2021秋•卧龙区期末）如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连结CD，若∠ECD＝25°，则∠AOB＝（ ）
A．50° B．45° C．40° D．25°
解：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴OC＝OD，
∵ED＝EC，
∴点O与点E都在CD的垂直平分线上，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴∠AOE+∠OCD＝90°，∠OCD+∠DCE＝90°，
∴∠AOE＝∠ECD＝25°，
∴∠AOB＝2∠AOE＝50°，
故选：A．
【变式训练3-3】（2021秋•汉阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有（ ）个
①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴BD＝CD，
∵BM⊥AC，
∴∠AMB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DBN＝90°，
∠A+∠DCM＝90°，
∴∠DBN＝∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN＝90°，
∵∠CDN+∠BDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN，
∵∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，∠CDM＝∠BDN，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，
∵∠MDN＝90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∴∠AMD＝90°﹣45°＝45°，
故①正确；
②由①知，DN＝DM，
过点D作DF⊥MN于F，
则∠DFE＝90°＝∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF＝FN，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF与△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴FN＝CM，
∵NE﹣EF＝FN，
∴NE﹣EM＝MC，
故②正确；
③由ME＝EF，MF＝NF，
设EF＝x，则EM＝x，MC＝MF＝DF＝2x，NE＝3x，
∴EM：MC：NE＝1：2：3，
故③正确；
④如图，∵CD⊥AB，
∴∠BDE＝∠CDA＝90°，
由①知，∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，
∴△BED≌△CAD（ASA），
∴S△BED＝S△CAD，
由①知，△BDN≌△CDM，
∴BN＝CM，
∵CM＝FN，
∴BN＝FN，
∴BN＜NE，
∴S△BDN＜S△DEN，
∴S△BED＜2S△DNE，
∴S△ACD＜2S△DNE，
故④错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
【变式训练3-4】（2021秋•覃塘区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 96° ．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE与△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠EDB＝∠DFC，∠FDC＝∠BED，
∵∠EDF+∠BDE+∠FDC＝180°，
∵∠B+∠BED+∠EDB＝180°，
∴∠B＝∠EDF＝42°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
故答案为：96°．
【变式训练3-5】（2021秋•咸安区期末）如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是 ①②③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，故①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，
∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，
∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，
∴∠ACD+∠APB＝180°，
∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD+2∠ADC＝180°，
∴∠APB＝2∠ADC，故②正确；
∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，
∴AC＝BC＝DC＝EC，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴PA＝PB，
∵AC＝BC，
∴PC⊥AB，故③正确；
如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，
∵△ACE≌△DCB，
∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，
∴×AE×CG＝×DB×CH，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AE，CH⊥BD，
∴PC平分∠APB，故④正确，
故答案为：①②③④．
【变式训练3-6】（2021秋•弋江区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：FA平分∠BFE．
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
知识点4：全等三角形的应用
【典例分析04】（2021秋•两江新区期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，用a和b表示圆形容器的壁厚是 （b﹣a） ．
解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝a，
∵EF＝b，
∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）．
【变式训练4-1】（2021秋•靖西市期末）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第 ③ 块去配．
解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③．
【变式训练4-2】（2021秋•临海市期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（ ）
A．HL B．ASA C．AAS D．SSS
解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故选：A．
【变式训练4-3】（2021秋•东台市期末）如图，要测量河两岸相对的A、B两点的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD，从点D出发沿与河岸BF的垂直方向移动到点E，使点E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．ASA B．HL C．SAS D．SSS
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．
【变式训练4-4】（2021秋•遵化市期中）如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：
（1）请你求出另一旗杆BD的高度；
（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？
解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠DBA＝90°，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△CAM和△MBD中，，
∴△CAM≌△MBD（AAS），
∴AM＝DB，AC＝MB，
∵AC＝3m，
∴MB＝3m，
∵AB＝12m，
∴AM＝9m，
∴DB＝9m；
（2）9÷0.5＝18（s）．
答：小强从M点到达A点还需要18秒．
【变式训练4-5】（2014秋•富顺县校级期末）如图，公园有一条“Z”字形道路，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．
解：三个小石凳在一条直线上．
证明如下：连接EM，MF，
∵M为BC中点，
∴BM＝MC．
又∵AB∥CD，
∴∠EBM＝∠FCM．
在△BEM和△CFM中，
BE＝CF，∠EBM＝∠FCM，BM＝CM，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴∠BME＝∠CMF，
又∠BMF+∠CMF＝180°，
∴∠BMF+∠BME＝180°，
∴E，M，F在一条直线上．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第12章《全等三角形》
12.2 三角形全等的判定
知识点1：全等三角形的判定
【典例分析01】（2021秋•兰考县期末）如图，∠B＝∠C，要使△ABD≌△ACE，只需增加的一个条件是 BD＝CE（答案不唯一） （只需填写一个你认为适合的条件）．
解：添加的条件是BD＝CE，
理由是：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：BD＝CE（答案不唯一）．
【变式训练1-1】（2022•南明区二模）如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．BO＝CO C．AO＝DO D．∠A＝∠D
解：A．AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠DCB，
AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．∵AB＝CD，AO＝DO，
∴OB＝OC，
∴∠ABC＝∠DCB，
AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，BC＝CB，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】（2021秋•玉屏县期末）如图，AD∥MN∥BC，∠ADC＝90°，AD＝BC，那么，图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
解：∵AD∥MN∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，
在△ADC和△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD（SAS），
∴AC＝BD，∠A＝∠B，
在△ADM和△BCM中，
，
∴△ADM≌△BCM（AAS），
∴DM＝CM，
∵MN⊥DC，
∴DN＝CN，
在△MDN和△MCN中，
，
∴△MDN≌△MCN（SSS），
即全等三角形有3对，
故选：C．
【变式训练1-3】（2021秋•天津期末）如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（ ）
A．AD＝AC B．∠E＝∠B C．ED＝BC D．∠D＝∠C
解：∵∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAC，
A．AB＝AE，∠EAD＝∠BAC，AD＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．∠E＝∠B，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
C．AB＝AE，ED＝BC，∠EAD＝∠BAC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AED≌△ABC，故本选项符合题意；
D．∠D＝∠C，∠EAD＝∠BAC，AB＝AE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-4】（2021秋•诸暨市期末）如图，DE＝AC，∠1＝∠2，要使△DBE≌△ABC还需添加一个条件是 ∠D＝∠A（答案不唯一） .（只需写出一种情况）
解：添加的条件是∠D＝∠A，
理由是：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE，
即∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
，
∴△DBE≌△ABC（AAS），
故答案为：∠D＝∠A（答案不唯一）．
【变式训练1-5】（2021秋•平定县期中）已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，
∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ，
∴∠M＝∠PSQ；
在△MNS与△SQP中，
，
∴△MNS≌△SQP（AAS）．
【变式训练1-6】（2021秋•拱墅区期中）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE．
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组全等三角形，说明理由．
解：（1）△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，△ADC≌△CBA；
（2）△ABE≌△CDF；
理由：∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
知识点2：直角三角形的判定
【典例分析02】（2021秋•韶关期末）如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC
解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-1】（2022春•兴业县校级期中）如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠B＝∠C D．AE＝BF
解：∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，即BE＝CF，
根据‘HL’证明Rt△ABE≌Rt△DCF，
需要添加AB＝CD，
故选：B．
【变式训练2-2】（2021秋•朝天区期末）如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝ 5或10 ，△ABC与△APQ全等．
解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
【变式训练2-3】（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
解：添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
12．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝ 2 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，
∵BC＝8，BP＝2，
∴PC＝6，
∵AB⊥BC、DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
在△ABP和△PCD中，
∴△ABP≌△PCD（SAS），
故答案为：2．
【变式训练2-4】（2019秋•北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BCE＝90°，
即BC⊥CE；
（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠CDE＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠DCE＝90°．
BD⊥CE．
【变式训练2-5】（2016秋•临河区期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD＝EC+ED．
证明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°．
∴∠ABD＝∠DAC．
∵在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD＝AE，EC＝AD．
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝EC+ED．
知识点3：全等三角形的判定与性质
【典例分析03】（2021秋•松桃县期末）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．
（1）求证：△AEF≌△BGH；
（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．
（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠GBH，
∴∠A＝∠GBH．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠AFE＝∠BHG．
在△ADG和△CDF中，
，
∴△AEF≌△BGH（AAS）．
（2）解：∵△AEF≌△BGH，
∴AF＝BH，
∴AB＝FH＝4．
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠EFD＝∠GHD．
在△EFD和△GHD中，
∴△EFD≌△GHD（AAS），
∴．
【变式训练3-1】（2021秋•海沧区期末）如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EFD B．∠ABC C．2∠D D．∠AFE
解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
又∵∠AFE＝∠ACB+∠DEF，
∴∠AFE＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AFE，
故选：D．
【变式训练3-2】（2021秋•卧龙区期末）如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连结CD，若∠ECD＝25°，则∠AOB＝（ ）
A．50° B．45° C．40° D．25°
解：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴OC＝OD，
∵ED＝EC，
∴点O与点E都在CD的垂直平分线上，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴∠AOE+∠OCD＝90°，∠OCD+∠DCE＝90°，
∴∠AOE＝∠ECD＝25°，
∴∠AOB＝2∠AOE＝50°，
故选：A．
【变式训练3-3】（2021秋•汉阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有（ ）个
①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴BD＝CD，
∵BM⊥AC，
∴∠AMB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DBN＝90°，
∠A+∠DCM＝90°，
∴∠DBN＝∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN＝90°，
∵∠CDN+∠BDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN，
∵∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，∠CDM＝∠BDN，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，
∵∠MDN＝90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∴∠AMD＝90°﹣45°＝45°，
故①正确；
②由①知，DN＝DM，
过点D作DF⊥MN于F，
则∠DFE＝90°＝∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF＝FN，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF与△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴FN＝CM，
∵NE﹣EF＝FN，
∴NE﹣EM＝MC，
故②正确；
③由ME＝EF，MF＝NF，
设EF＝x，则EM＝x，MC＝MF＝DF＝2x，NE＝3x，
∴EM：MC：NE＝1：2：3，
故③正确；
④如图，∵CD⊥AB，
∴∠BDE＝∠CDA＝90°，
由①知，∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，
∴△BED≌△CAD（ASA），
∴S△BED＝S△CAD，
由①知，△BDN≌△CDM，
∴BN＝CM，
∵CM＝FN，
∴BN＝FN，
∴BN＜NE，
∴S△BDN＜S△DEN，
∴S△BED＜2S△DNE，
∴S△ACD＜2S△DNE，
故④错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
【变式训练3-4】（2021秋•覃塘区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 96° ．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE与△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠EDB＝∠DFC，∠FDC＝∠BED，
∵∠EDF+∠BDE+∠FDC＝180°，
∵∠B+∠BED+∠EDB＝180°，
∴∠B＝∠EDF＝42°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
故答案为：96°．
【变式训练3-5】（2021秋•咸安区期末）如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是 ①②③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，故①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，
∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，
∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，
∴∠ACD+∠APB＝180°，
∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD+2∠ADC＝180°，
∴∠APB＝2∠ADC，故②正确；
∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，
∴AC＝BC＝DC＝EC，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴PA＝PB，
∵AC＝BC，
∴PC⊥AB，故③正确；
如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，
∵△ACE≌△DCB，
∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，
∴×AE×CG＝×DB×CH，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AE，CH⊥BD，
∴PC平分∠APB，故④正确，
故答案为：①②③④．
【变式训练3-6】（2021秋•弋江区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：FA平分∠BFE．
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
知识点4：全等三角形的应用
【典例分析04】（2021秋•两江新区期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，用a和b表示圆形容器的壁厚是 （b﹣a） ．
解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝a，
∵EF＝b，
∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）．
【变式训练4-1】（2021秋•靖西市期末）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第 ③ 块去配．
解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③．
【变式训练4-2】（2021秋•临海市期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（ ）
A．HL B．ASA C．AAS D．SSS
解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故选：A．
【变式训练4-3】（2021秋•东台市期末）如图，要测量河两岸相对的A、B两点的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD，从点D出发沿与河岸BF的垂直方向移动到点E，使点E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．ASA B．HL C．SAS D．SSS
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．
【变式训练4-4】（2021秋•遵化市期中）如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：
（1）请你求出另一旗杆BD的高度；
（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？
解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠DBA＝90°，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△CAM和△MBD中，，
∴△CAM≌△MBD（AAS），
∴AM＝DB，AC＝MB，
∵AC＝3m，
∴MB＝3m，
∵AB＝12m，
∴AM＝9m，
∴DB＝9m；
（2）9÷0.5＝18（s）．
答：小强从M点到达A点还需要18秒．
【变式训练4-5】（2014秋•富顺县校级期末）如图，公园有一条“Z”字形道路，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．
解：三个小石凳在一条直线上．
证明如下：连接EM，MF，
∵M为BC中点，
∴BM＝MC．
又∵AB∥CD，
∴∠EBM＝∠FCM．
在△BEM和△CFM中，
BE＝CF，∠EBM＝∠FCM，BM＝CM，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴∠BME＝∠CMF，
又∠BMF+∠CMF＝180°，
∴∠BMF+∠BME＝180°，
∴E，M，F在一条直线上．
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