【同步知识讲义】人教版数学八年级下册-18.1 平行四边形 知识点剖析讲义（原卷版+解析版）

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18.1 平行四边形

知识点一 平行四边形
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
平行四边形的判定定理：
1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2)角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
⑤任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
3)边与角：⑥一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
4)对角线：⑦对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的面积公式：面积=底×高
平行线的性质：1）平行线间的距离都相等；
2）两条平行线间的任何平行线段都相等；
3）等底等高的平行四边形面积相等。
知识点二 三角形中位线
三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
几何描述：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,DE=12BC。
 
【题型一】利用平行四边形的性质求解
【典题】（2022春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，在中，一定正确的是（    ）

A． B． C． D．
巩固练习
1（ê）（2022秋·山东东营·八年级统考期末）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（    ）

A． B． C． D．
2（ê）（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，已知平行四边形中，，则（    ）

A．18° B．36° C．72° D．144°
3（ê）（2022秋·重庆·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（    ）

A．8 B．10 C．16 D．20
4（ê）（2022春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（    ）

A．1 B．2 C．2.5 D．3
5（ê）（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
6（ê）（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
7（ê）（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．

(1)求证：BC＝CD+ED；
(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
8（ê）（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．

【题型二】利用平行四边形的性质证明
【典题】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固练习
1（ê）（2022春·河北保定·八年级统考期末）证明：平行四边形对角线互相平分．
已知：四边形ABCD是平行四边形，如图所示．
求证：，
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是
①，．②四边形ABCD是平行四边形．③，．④．⑤，（    ）

A．②①③④⑤ B．②③⑤①④ C．②③①④⑤ D．③②①④⑤
2（êê）（2022春·河南郑州·八年级校联考期末）已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE=3∠CEF，中一定成立的是（　　）

A．①②④                                 B．①③                                 C．②③④                                 D．①②③④
3（êê）（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，连接、，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【题型三】判定能否构成平行四边形
【典题】（2022秋·河北邢台·八年级校考期末）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
巩固练习
1（ê）（2022春·广东惠州·八年级惠州市第八中学校考期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（  ）

A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
2（ê）（2022秋·山东济南·八年级统考期末）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）

A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【题型四】添加一个条件使四边形构成平行四边形
【典题】（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（  ）

A． B． C． D．
巩固练习
1（ê）（2022春·山东济宁·八年级校考期末）如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（    ）

A． B． C． D．
2（ê）（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是______．（答案不唯一，添加一个即可）．

3（ê）（2022春·福建莆田·八年级莆田八中校联考期末）已知,如图，四边形，，交于点，请从给定四个条件①；②；③；④中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形.你的选择是________.

4（ê）（2022春·广东惠州·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
5（ê）（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程．

【题型五】求平行四边形个数
【典题】（2022春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，与相交于点，图中共有个平行四边形(    )

A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
巩固练习
1（ê）（2022春·山西阳泉·八年级统考期中）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）．

A．40 B．44 C．47 D．49
2（ê）（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为（ ）

A．3 B．6 C．7 D．9
3（ê）（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）如图所示，平面直角坐标系中，已知三点A（－1，0），B（2，0），C（0，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（    ）

A．（3，1） B．（－3，1） C．（1，3） D．（1，－1）
4（ê）（2022春·安徽六安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为(0，2)，( -1，0)，(2，0)．以A、B、C三点为顶点作平行四边形，第四个顶点为点D．

(1)满足条件的平行四边形能作 个；
(2)在图中作出满足条件的平行四边形，使顶点D位于第四象限；
(3)写出所有符合条件的顶点D的坐标：
【题型六】证明四边形是平行四边形
【典题】（2022春·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

巩固练习
1（ê）（2022春·贵州遵义·八年级统考期中）已知：如图A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

2（ê）（2022春·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，，AD＝6，求四边形EFGH的周长．
3（ê）（2022春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF且∠B＝∠C．

(1)求证：△ABF≌△DCE；
(2)请猜想四边形AEDF的形状，并加以证明．
【题型七】平行四边形性质与判定的实际应用
【典题】（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（  ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
巩固练习
1（êê）（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ）

A． B． C． D．
2（ê）（2022春·广东肇庆·八年级肇庆市端州中学校考期中）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
3（êê）（2022秋·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考期末）如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，__________．

【题型八】与三角形中位线性质有关的计算
【典题】（2022春·广东惠州·八年级校考期末）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ）

A． B． C．1 D．2
巩固练习
1（ê）（2022春·广东东莞·八年级校考期中）如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（    ）

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
2（ê）（2022春·安徽宣城·八年级统考期末）已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（    ）
A．8 B． C．16 D．4
3（ê）（2022·河北石家庄·八年级校联考期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（   ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4（ê）（2022春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）

A．6 B．9 C．12 D．15
5（êê）（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（    ）

A． B． C． D．
6（ê）（2022秋·安徽阜阳·八年级校联考期中）如图，是的中线，点是的中点，连接，若的面积为，则△BCE的面积为（    ）

A．6 B．4 C．3 D．不能确定
7（ê）（2022春·湖南常德·八年级校考期中）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
8（ê）（2022春·广东惠州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．

(1)证明：四边形DECF是平行四边形；
(2)若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．
【题型九】三角形中位线的实际应用
【典题】（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，小甘为测量池塘边A，B两点间的距离，在线段AB一侧选取一点P，连接PA并延长至点M，连接PB并延长至点N，使得AM＝PA，BN＝PB．若测得MN＝8m，则A，B两点间的距离为（    ）

A．16m B．6m C．4m D．2m
巩固练习
1（ê）（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点C、点D，且CD＝12米，则A，B两点间的距离是（　　）

A．24米 B．12米 C．6米 D．36米
2（ê）（2022春·山东济南·八年级校考期中）如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（  ）

A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米
3（ê）（2022春·福建龙岩·八年级统考期中）图1是一张等腰直角三角形纸片，直角边的长度为2cm，用剪刀沿一直角边和斜边的中点连线（图中虚线）剪开后，拼成如图2的四边形，则该四边形的周长为（　　）

A．6cm B．4cm C．（4+2）cm D．（4+）cm