初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀课堂检测

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第十九章 一次函数
 
【题型一】正比例函数的性质
典例1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知正比例函数经过点．
（1）求的值；
（2）判断点是否在这个函数图象上．
【答案】（1）；（2）点不在这个函数图象上．
【分析】（1）把点代入正比例函数中，得解方程，求解即可得到答案；
（2）由由（1）得，，再把代入得：，从而可得答案．
【详解】解：（1）因为点在正比例函数的图象上，
所以
所以
解得
（2）由（1）知，，
将代入得：.
所以点不在这个函数图象上．
【点睛】本题考查的是一次函数中的正比例函数的性质，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．
1．（2022春·河北保定·八年级统考期末）已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3．
（1）求点A坐标及此正比例函数解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）A（3，-2），y＝-x；（2）存在，P点坐标为（5，0）或（-5，0）
【分析】（1）结合题意，得；再结合△AOH的面积为3，通过计算得AH的值以及点A的坐标，将点A坐标代入y＝kx，经计算即可得到答案；
（2）设P（t，0），结合S△AOP＝5，列方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）如图，

∵过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3
∴
∵△AOH的面积为3
∴
∴AH＝2
∵点A在第四象限
∴A（3，-2），
把A（3，-2）代入y＝kx，得3k＝-2
解得：
∴正比例函数解析式为y＝-x；
（2）设P（t，0），即
∵△AOP的面积为5
∴
∴t＝5或t＝-5
∴能找到一点P使S△AOP＝5，P点坐标为（5，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解．
2．（2022秋·安徽安庆·八年级校考期末）已知正比例函数，y的值随x的值减小而减小，求m的值．
【答案】
【分析】根据正比例函数的意义，可得答案．
【详解】∵的值随的值减小而减小，
∴，
∵正比例函数，
∴，
∴
【点睛】本题考查正比例函数的定义．
3．（2022春·广东东莞·八年级统考期末）水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量如下表：
时间
0
5
10
15
20
…
水量
0
25
50
75
100
…

(1)请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点；
(2)根据（1）中各点的分布规律，求出关于的函数解析式；
(3)请估算这种漏水状态下一天的漏水量．
【答案】(1)详解解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点即可；
（2）由点的分布可得是关于的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可；
（3）把代入函数的解析式进行求解即可．
（1）
解：如图所示：

（2）
根据（1）中各点的分布规律，可知是关于的正比例函数，
设关于的函数解析式是（），
当时，，
∴，则，
∴关于的函数解析式是；
（3）
由（2）可知，在这种状态下一天的漏水量，
答：这种漏水状态下一天的漏水量大约是．
【点睛】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键．
【题型二】识别一次函数的性质
典例2．（2022秋·安徽·八年级期末）已知函数y=（m+1）x2-|m|+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】（1）当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；（2）当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【分析】（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案.
【详解】(1)根据一次函数的定义，得：
2−|m|=1，
解得：m=±1.
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；        
(2)根据正比例函数的定义，得：
2−|m|=1，n+4=0，
解得：m=±1，n=−4，
又∵m+1≠0即m≠−1，
∴当m=1，n=−4时，这个函数是正比例函数.
【点睛】此题考查一次函数的定义，正比例函数的定义，解题关键在于利用其各定义进行解答.
1．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）已知函数（m为常数）．
(1)当m满足条件__________时，变量y是变量x的一次函数；
(2)当m满足条件__________时，函数图象经过点；
(3)当m满足条件__________时，y随x的增大而减小．
(4)当m满足条件__________时，函数图象与y轴的交点在x轴的上方；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）将代入即可；
（3）根据一次函数的增减性，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；
（4）将x=0代入函数表达式，即可求出该函数与y轴的交点坐标，由于函数图象与y轴的交点在x轴的上方，只需要纵坐标大于0即可．
【详解】（1）∵变量y是变量x的一次函数；
∴2m+1≠0，
解得：
故答案为：；
（2）将代入得：4=（2m+1）×1+m-3
解得：m=2，
故答案为：m=2；
（3）∵y随x的增大而减小，
∴2m+1<0，
解得：，
故答案为：；
（4）当x=0时，y=m-3，
∴该函数与y轴的交点为（0，m-3），
∵函数图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴m-3>0，
解得：m>3；
故答案为：m>3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练地掌握一次函数的增减性以及一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
2．（2022春·湖南郴州·八年级校考期末）已知一次函数．
(1)a为何值时，这条直线经过原点？
(2)a为何值时，y随着x的增大而减小？
(3)a为何值时，这条直线与y轴交于点（0，4）．
【答案】(1)0
(2)a＜-2
(3)-1
【分析】（1）由直线经过原点，可得出-4a=0，解之即可得出结论；
（2）由y随着x的增大而减小，可得出a+2＜0，解之即可得出结论；
（3）由直线经过点（0，4），可得出-4a=4，解之即可得出结论．
（1）
∵直线y=（a+2）x-4a经过原点，
∴-4a=0，
解得：a=0．
∴当a=0时，这条直线经过原点．
（2）
∵y随着x的增大而减小，
∴a+2＜0，
解得：a＜-2．
∴当a＜-2时，y随着x的增大而减小．
（3）
当x=0时，y=-4a=4，
解得：a=-1．
∴当a=-1时，这条直线与y轴有交点（0，4）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由直线过原点，找出-4a=0；（2）根据一次函数的性质，找出a+2＜0；（3）由直线经过点（0，4），找出-4a=4．
3．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；
（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式．
【答案】（1）当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；
（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．
【详解】解：（1）由题意可得，n可以取任意实数
解得：m=-2
∴
∴当m=-2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；
（2）由题意可得，
解得：
∴
∴当m=-2，n=-4时，是的正比例函数，关系式为．
【点睛】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．
【题型三】一次函数的性质
典例3．（2022春·河北承德·八年级统考期末）已知：一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B．
（1）请直接写出A，B两点坐标：A　 　、B　 　
（2）在直角坐标系中画出函数图象；
（3）若平面内有一点C（5，3），请连接AC、BC，则△ABC是　 　三角形．

【答案】（1）（3，0）；（0，2）．（2）详见解析；（3）等腰直角．
【分析】（1）利用一次函数解析式求得点A、B的坐标；
（2）由两点确定一条直线作出图形；
（3）根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理解答．
【详解】（1）令y＝0，则x＝3，即A（3，0）．
令x＝0，则y＝2，即B（0，2）．
故答案是：（3，0）；（0，2）．
（2）如图，

（3）因为A （3，0）、B （0，2）、C（5，3），
∴AB2＝32+22＝13，BC2＝52+12＝26，AC2＝22+32＝13，
∴BC2＝AB2+AC2，且AB＝AC，
∴∠CAB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案是：等腰直角．
【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象．解答（3）题时，注意△ABC是等腰直角三角形，不要只写直角三角形．
1．（2022春·四川眉山·八年级校考期中）已知一次函数．
(1)求、为何值时，函数的图象过原点；
(2)求、为何值时，随的增大而增大；
(3)若图象不经过第三象限，求、的取值范围．
【答案】(1)m≠，n＝1，时，函数图象经过原点；
(2)m＞，n为任何实数，y随x的增大而增大；
(3)m＜，n≤1时，函数图象不经过第三象限．
【分析】（1）当3m-2≠0，1−n＝0，函数图象经过原点，进而即可求解；
（2）当3m-2＞0，即m＞，y随x的增大而增大，进而即可求解；
（3）当3m-2＜0，1−n≥0，函数图象不经过第三象限，进而即可求解．
【详解】（1）解：当3m-2≠0，1−n＝0，函数图象经过原点，
解得：m≠，n＝1，
所以当m≠，n＝1，时，函数图象经过原点；
（2）解：当3m-2＞0，即m＞，y随x的增大而增大，
所以当m＞，n为任何实数，y随x的增大而增大；
（3）解：当3m-2＜0，1−n≥0，函数图象不经过第三象限，
解不等式得，m＜，n≤1，
所以当m＜，n≤1时，函数图象不经过第三象限．
【点睛】本题考查了一次函数y＝kx＋b（k≠0，k,b为常数）的性质．它的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＝0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方．
2．（2022春·新疆阿克苏·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设图象与x轴、y轴交点分别是A、B，求点A、B的坐标；
（3）求此函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）设一次函数的解析式为，然后利用待定系数法求解即可；
（2）令x=0，则y=1，令y=0，则，解得，即可得到A和B的坐标；
（3）根据A和B的坐标得到，，再由求解即可．
【详解】解：（1）设一次函数的解析式为，
由题意得：，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）令x=0，则y=1，
∴B（0，1），
令y=0，则，解得，
∴A（，0）；
（3）∵A（，0），B（0，1），
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（2022春·陕西西安·八年级统考期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．
（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值．
【详解】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），
∴，
解得，
所以一次函数的表达式为：；
（2）将直线AB向下平移5个单位后得到，即，
∵经过点（m，﹣5），
∴，
解得m＝﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期中）已知一次函数

(1)根据关系式画出函数的图象
(2)求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标
(3)求A、B两点间的距离．
(4)y的值随x值的增大怎样变化？
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)
(4)y的值随x值的增大而减小
【分析】（1）根据画函数图象的方法先列表，然后描点，最后用平滑的曲线顺次连接即可；
（2）将和分别代入求解即可；
（3）根据勾股定理求解即；
（4）根据自变量系数为求解即可．
【详解】（1）列表如下：
x
0

y

0
画图如下：
；
（2）当时，
∴图象与y轴的交点坐标为，
当时，即，解得
∴图象与x轴的交点坐标为；
（3）∵，
∴
∴
∴A、B两点间的距离为；
（4）∵，
∴y的值随x值的增大而减小．
【点睛】此题考查了画一次函数图象，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
【题型四】求一次函数的解析式
典例4．（2022秋·浙江·八年级期末）已知是关于的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当时，求自变量的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）设一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）．把x、y的值分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组即可求得k、b的值；
（2）把y=-3代入函数解析式来求相应的x的值．
【详解】（1）解：设一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0），
由题意，得，
解得
∴该一次函数解析式为；
（2）解：当 y=-3 时，，
解得 x=4，
∴当y=-3时，自变量x的值为4．
【点睛】利用待定系数法求函数解析式的一般步骤，解题的关键是掌握①先设出函数解析式的一般形式；②将已知点的坐标代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式
1．（2022秋·浙江·八年级期末）已知一次函数的图象经过点和.

(1)求该函数的表达式；
(2)若点是轴上一点，且的面积为10，求点的坐标.
【答案】(1)y＝x−2
(2)（−3，0）或（7，0）
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式一般步骤：将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程组，解方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式；
（2）根据题意，设p（x，0），表示BP＝|x−2|，再根据面积公式列等式，计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（−2，−4）和B（2，0），
进而得
，
解得k＝1，b＝−2，
∴该函数的表达式：y＝x−2；
（2）∵点P是x轴上一点，
∴设P（x，0），
∴BP＝|x−2|，
∵△ABP的面积为10，
∴×4×|x−2|＝10，
∴|x−2|＝5，
∴x−2＝5或x−2＝−5，
解得x1＝−3或x2＝7，
∴点P的坐标（−3，0）或（7，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤，求点P的坐标分两种情况是解题关键．
2．（2022春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，一次函数的图象过、两点，与轴交于点．

(1)求此一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)已知：点在轴上，且使的值最小，请直接写出点的坐标______，及的最小值是______．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）先利用一次函数解析式确定点坐标，然后根据三角形面积公式，利用进行计算；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，利用关于轴对称的点的坐标特征得到，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后计算自变量为对应的函数值得到点的坐标．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
此一次函数的解析式为；
（2）当时，，解得，则，
；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，
，
，
此时的值最小，最小值为，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为．
故答案为：；；

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质和最短路径问题．
3．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．

(1)求点A′的坐标；
(2)确定直线A′B对应的函数表达式．
【答案】(1)A′（2，0）
(2)y＝﹣x+2
【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【详解】（1）解：令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′（2，0）．
（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
4．（2022春·广东广州·八年级统考期末）已知变量与之间的函数关系如图所示，请用“待定系数法”求：

(1)当时，关于的函数解析式．
(2)当时，关于的函数解析式．
【答案】(1)y=5x（0≤x≤4）；
(2)．
【分析】（1）将点（4，20）代入直线方程y=kx列出方程，并解答；
（2）将点（4，20）和（12，30）分别代入直线方程y=kx+b列出方程组，并解答．
（1）
解：当0≤x≤4时，设y关于x的函数解析式为y=kx．
将点（4，20）代入，
得4k=20．
解得k=5．
故y关于x的函数解析式为y=5x（0≤x≤4）；
（2）
当4＜x≤12时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b．
将点（4，20）和（12，30）分别代入，
得
解得
故y关于x的函数解析式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，此题属于分段函数，解题时，需要根据函数图象找到函数图象所经过的点的坐标．
【题型五】一次函数与方程、不等式
典例5．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝x+2，且l1与x轴交于点A，直线l2经过定点B（4，0），C（﹣1，5），直线l1与l2交于点D．

(1)求直线l2的函数表达式；
(2)求△ADB的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使△CDE的周长最短？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x+4
(2)S△ADB=
(3)存在，E的坐标是（，0）
【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求得D关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和C点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
【详解】（1）解：设l2的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，解得：，
则函数的解析式是：y=-x+4；
（2）解：在y=x+2，中令y=0，解得：x=-4，则A的坐标是（-4，0）．
解方程组，得：，
则D的坐标是（．
则S△ADB=×=；
（3）解： D（2，2）关于x轴的对称点是D′（2，-2），
则设经过（2，-2）和点C的函数解析式是y=mx+n，
则，
解得：，
则直线的解析式是y=-x+．
令y=0，-x+=0，解得：x=．
则E的坐标是（，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积以及对称的性质，正确确定E的位置是本题的关键．
1．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）如图：已知直线y＝kx＋b经过点A（5，0），B（1，4）．

(1)求直线AB的解析式：
(2)若直线y＝2x－4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式2x－4＜kx＋b的解集．
【答案】(1)y=-x+5
(2)（3，2）
(3)x<3
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；
（3）关于x的不等式2x-4 【详解】（1）解：根据题意得：
，解得：，
则直线AB的解析式是y=-x+5；
（2）根据题意得，
解得：，
则C的坐标是（3，2）；
（3）根据图象可得不等式的解集是x<3．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2022秋·贵州贵阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．

（1）求交点P的坐标；
（2）求PAB的面积；
（3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
【答案】（1）；（2）3；（3）
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．
【详解】解:根据题意，交点的横、纵坐标是方程组的解
解这个方程组，得
交点的坐标为
直线与轴的交点的坐标为
直线与轴交点的坐标为
的面积为
在图象中把直线在直线上方的部分
描黑加粗，图示如下:
此时自变量的取值范围为

【点睛】本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．
3．（2022秋·江苏·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．

(1)若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
(2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
(3)如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)①（4，4）；②12
(2)（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）
(3)不变，
【分析】（1）①当−2x＋12＝x时，解方程即可；
②当y＝0时，则−2x＋12＝0，得出点A的坐标，即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出OC的长，再分OC＝OP，CO＝CP，PO＝PC三种情形，进而得出答案；
（3）首先利用ASA证明△AOE≌△COE，得OA＝OC＝4，再利用面积法可得PN＋PM＝AH，再利用勾股定理求出AH的长即可．
【详解】（1）解：①由题意得−2x＋12＝x，
解得x＝4，
∴y＝4，
∴点C（4，4）；
②当y＝0时，−2x＋12＝0，
∴x＝6，
∴A（6，0），
∴OA＝6，
∴△OAC的面积为；
（2）解：∵C（4，4），
∴，
当OC＝OP＝ 时，
点P（，0）或（，0），
当CO＝CP时，点P（8，0），
当PO＝PC时，点P（4，0），
综上：点P（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）；
（3）解：PM＋PN的值不变，连接OP，作AH⊥OC于H，

∵OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∵OF⊥AB，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴OA＝OC＝4，
∵，
∴OC×AH＝OC×PN＋OC×PM，
∴PN＋PM＝AH，
∵直线OC的解析式为y＝x，
∴∠AOC＝45°，
∴，
∴．
∴PM＋PN的值不变，为．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用全等证明OA＝OC＝4是解题的关键．
4．（2022春·河北沧州·八年级统考期末）已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D．

(1)直接写出方程组的解；
(2)求△PCD的面积；
(3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象交点坐标可得方程组的解；
（2）先求出两个解析式，再求出C，D的坐标，即可求出面积；
（3）根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2），
∴方程组的解为；
（2）∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2），
∴，
解得，
∴y1＝﹣4x+6，y2＝﹣x+3，
当y＝0时，0＝﹣4x＋6，解得x＝，
当y＝0时，0＝﹣x+3，解得x＝3，
∴C（，0），D（3，0），
∴CD，
∴S△PCD．
即△PCD的面积为；
（3）根据图象可知当在P点左边时y1＞y2，
∴y1＞y2时x的取值范围为x＜1．
【点睛】本题考查一次函数图象交点与二元一次方程组的解和不等式的解集的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与方程和不等式的关系，掌握方程的解与图象交点的关系．
【题型六】一次函数的实际应用
典例6．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?
【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.
【详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，
根据题意，得：，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；
（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，
则150m+（12-m）×100≥1500，
解得：m≥6，
而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，
解得：m＜9，
则6≤m＜9，
则运输方案有3种：
6辆大货车和6辆小货车；
7辆大货车和5辆小货车；
8辆大货车和4辆小货车；
∵2000＞0，
∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.
∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.
1．（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．

(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个
(2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元
【分析】（1）设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元，列二元一次方程组求解；
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，列出与的函数关系式，并分析的取值范围，从而求出的最大值．
【详解】（1）解：设冰墩墩进价为元/个，雪容融进价为元/个．
得，解得．
∴冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个．
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，
则，
∵，所以随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得，解得．
∴当时，最大，此时，．
答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2022春·河南南阳·八年级统考期末）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离与时间之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是______；
（2）求的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．

【答案】（1）1；（2）；（3）
【分析】（1）根据图象得到“猫”追上“鼠”时的路程与它们的用时，再求平均速度差即可；
（2）找出A点和B点坐标，运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（3）令，求出的值，再减去1即可得解．
【详解】解：（1）从图象可以看出“猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min，“猫”用时（6-1）=5min，
所以，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是
故答案为：1；
（2）由图象知，A（7，30），B（10，18）
设的表达式，
把点A、B代入解析式得，

解得，
∴．
（3）令，则．
∴．
14.5-1=13.5(min)
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及坐标与图形，解题的关键是：结合实际找出该线段的意义，根据点的坐标，利用待定系数法求出函数表达式．
3．（2022春·河南焦作·八年级统考期末）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程与时间之间的关系．
根据图象解决下列问题：

（1）观光车出发______分钟追上小军；
（2）求所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
【答案】（1）6；（2）；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．
【分析】（1）由图像可知，，的交点，即为两者到达同一位置，所以在21分钟时观光车追上小军，而观光车是在15分钟时出发的，所以观光车出发6分钟后追上小军；
（2）设所在直线对应的函数表达式为，将经过两点（15,0）和（21,1800）带入表达式，得；
（3）由图像可知，到达观景点需要3000m的路程，小军到达观景点的时间为33min，通过所在直线对应的函数表达式，可知，观光车到达观景点的时间为，因此观光车比小军早到达观景点．
【详解】解：（1）由图像可知，在21min时，，相交于一点，表示在21min时，小军和观光车到达了同一高度，此时观光车追上了小军, 观光车是在15min时出发,
∴,
∴观光车出发6分钟后追上小军；
（2）设所在直线对应的函数表达式为，由图像可知，直线分别经过（15,0）和（21,1800）两点，将两点带入函数表达式得：

解得：

∴函数表达式为；
（3）由图像可知，到达观景点需要3000m的路程，小军到达观景点的时间为33min，
∵观光车函数表达式为，
∴将带入，可知观光车到达观景点所需时间为，
∴，
∴观光车比小军早8分钟到达观景点．
答：（1）观光车出发6分钟追上小军；
（2）所在直线对应的函数表达式为；
（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
4．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．

（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1），5，0；（2）见解析；（3）①12；②或．
【分析】（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；
（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．
【详解】解：（1）直线经过点，
，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，
，
（2）线段平行于轴，
点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，
当时，，
即，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）①作于，

点在直线上，
设点的坐标为，
，，
由勾股定理，得，
即，
整理得或8（舍去），
，
，
当时，，
，
②，
当时，，
当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．