初中数学苏科版七年级下册7.4 认识三角形精品课时练习

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7.4 认识三角形

三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形的分类：
1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
2）三角形按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
三角形三边的关系：1）三角形的任意两边之和大于第三边。
2）三角形的任意两边之差小于第三边。
几何描述：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
3）判断三条线段能否组成三角形，只需判断上述两个条件满足其一即可。
【解题技巧】已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
常见三角形（△ABC）的高：
三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的角平分线、三角形的高、中线是一条线段，角的平分线是一条射线。
 
【题型一】构成三角形的条件
【典题1】（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级统考期中）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（    ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·湖南长沙·八年级期中）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（  ）
A． B． C． D．
【详解】解：A 、可以组成三角形，不符合题意；
B、可以组成三角形，不符合题意；
C、，不能组成三角形，符合题意；
D、可以组成三角形，不符合题意；
故选：C．
2．（ê）（2022秋·山东日照·八年级校联考期中）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：四条木棒的所有组合：5，7，9和5，9，13和5，7，13和7，9，13；
只有5，7，9和5，9，13和7，9，13能组成三角形．
故选：C．
3．（êê）（2022秋·浙江·八年级期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是(   )

A．7 B．10 C．11 D．14
【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8；
选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
选4+6、8、3作为三角形，则三边长为10、8、3，，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为10；
选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；，不能构成三角形，此种情况不成立；
选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10；
故选：B．
【题型二】确定三角形第三边的取值范围
【典题1】（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）如果一个三角形的三边长分别为．那么a的值可能是（    ）
A．2 B．9 C．13 D．15
【详解】解：8-5＜a＜8+5
3＜a＜13，
故a的值可能是9，
故选：B．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）小芳有两根长度为2cm和4cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择木条的长度为（    ）．
A．1.5cm B．2.5cm C．6cm D．10cm
【详解】解：设木条的长度为xcm，则，即．
故选：B
2．（ê）（2022秋·广东惠州·八年级校考期末）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，
故选：C．
3．（ê）△ABC的三边分别为a，b，c，若a＝4，b＝2，c的长为偶数，则c＝（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】解：∵△ABC的三边分别为a，b，c，a＝4，b＝2，
∴，即，
∵c的长为偶数，
∴，
故选：B．
4．（ê）（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）已知a，b，c是的三边长，满足，c为奇数，则______．
【详解】解：
，

由三角形三边关系可得

为奇数

故答案为：7．
5．（ê）（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第二十八中学校联考期中）已知a，b，c是的三边长，a、b满足，且的周长为偶数，则边长c的值为多少？
【详解】解：∵a，b满足|a−7|＋（b−2）2＝0，
∴a−7＝0，b−2＝0，
解得a＝7，b＝2，
根据三角形的三边关系，
得7−2＜c＜7＋2，
即：5＜c＜9，
又∵三角形的周长为偶数，a＋b＝9，
∴c＝7．
6．（ê）若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
【详解】（1）根据三角形的三边关系，
，
解得：3＜m＜5；
（2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．
所以，△ABC 的周长为：（m−2）＋（2m＋1）＋8＝3m＋7＝3×4＋7＝19．
【题型三】三角形三边关系的应用
【典题1】（2022秋·江苏·八年级期中）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是
A．19cm B．23cm C．19cm或23cm D．18cm
【详解】根据三角形的周长公式可得：C=5+5+9=19或C=9+9+5=23.
巩固练习
1．（êê）（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_______个．
【详解】解：设三角形三边长为 且由于得到
为整数，
c 为：11，12，13，14，
①当 c 为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10
6；14，9，7；
②当 c 为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9
8；
③当 c 为12时，有2个三角形，分别是12，11，7；12，10，8；
④当 c 为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
所以各边互不相等且都是整数的三角形有12个．
故答案为：12．
2．（ê）（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．
【详解】根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．
故答案为2b﹣2a
3．（ê）（2022秋·新疆乌鲁木齐期中）已知，为的三边，化简．
【详解】解：|a-b-c|-2|b-c-a|+|a+b-c|
=-（a-b-c）+2（b-c-a）+（a+b-c）
=-a+b+c+2b-2c-2a+a+b-c
=-2a+4b-2c．
【题型四】画三角形的高
【典题1】（2022秋·北京·八年级北京二十中校考期中）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．
故选：D
巩固练习
1．（ê）（2022秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（    ）

A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线
【详解】∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴A错误，不符合题意；
∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线，
∴B正确，符合题意；
∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴C错误，不符合题意；
∵线段AD是ACD的CD边上的高线，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
2．（ê）（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ）
A．B．C．D．
【详解】解：A、B、C均不是高线．
故选：D．
3（ê）（2022秋·天津西青·八年级校考期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；
(2)直接写出的面积为___．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；

（2）解：．
故答案为：
【题型五】与三角形的高有关的计算
【典题1】（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（    ）

A．59° B．60° C．56° D．22°
【详解】解：根据题意可得，在△ABC中，，则，
又AD为△ABC的角平分线，
．
又在△AEF中，BE为△ABC的高，
∴，
．
故选：A.
巩固练习
1．（ê）（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，△ABC的面积可以表示为（     ）

A． B． C． D．
【详解】解：由题意知，BD为△ABC中AC边上的高，
∴△ABC的面积=
故选A．
2．（êê）△ABC中，∠A=40°，高BD和CE交于O，则∠COD为（   ）
A．40°或140° B．50°或130° C．40° D．50°
【详解】解：①如图1，

①是锐角三角形时，
、是高，
，
，
；
②如图2，

是钝角三角形时，
、是高，
，
，，
又（对顶角相等），
，

综上所述，为，
故选：C．
3．（ê）（2022秋·广西贺州·八年级统考期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm；
求（1）△ABC的面积；
（2）CD的长．

【详解】（1）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，
∴△ABC的面积=BC×AC=30cm2；
（2）∵△ABC的面积=30 cm2，
∴CD=30×2÷AB=cm．
【题型六】与三角形的中线有关的计算
【典题1】如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　）

A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：D．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在中，，，为中线．则与的周长之差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】在中，为中线,
．
，，
．
故选：B．
2．（ê）（2022秋·安徽滁州·八年级校考期末）如图，在中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，，CD的长为5，则的面积为（    ）

A．8 B．10 C．20 D．40
【详解】解：∵AD是边BC上的中线，CD的长为5，
∴CB=2CD=10，
的面积为，
故选：C．
3．（ê）（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（    ）

A．9 B．12 C．18 D．20
【详解】∵是的边上的中线，
∴，
∵是的边上的中线，
∴，
又∵是的边上的中线，则是的边上的中线，
∴，，
则，
故选：B．
4．（ê）如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（   ）

A．12 B．16 C．18 D．20
【详解】设，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
5．（ê）（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
(1)若AC是整数，求AC的长；
(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【详解】（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）如图所示：

∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．
6．（êê）（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图．AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF⊥BC于点F．

(1)在△BEF中，请指出边EF上的高；
(2)若BD＝5，EF＝2，求△ACD的面积；
(3)若AB＝m，AC＝n，若△ACD的周长为a，请用含m，n，a的式子表示△ABD的周长．
（1）
解：∵EF⊥BC于点F，
∴边EF上的高是BF；
（2）
解：∵BD=5，EF=2，
∴S△BDE=BD•EF=5．
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE=S△BDE=5，
∴S△ABD=10．
同理可得，S△ACD=S△ABD=10；
（3）
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
∵△ACD的周长为a，
∴a=AD+CD+AC=AD+CD+n，
∴AD+CD=a-n，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=m+a-n．
【题型七】与三角形的角平分线有关的计算
【典题1】（2022秋·安徽亳州·八年级校联考期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．
【详解】解：，
，
，分别是，的平分线，
，，
，
，
故选A．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图中，分别平分过点I，且，若则的周长为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11
【详解】解：∵和的平分线相交于点I，



∴
∴
∴的周长＝
．
故选：B．
2．（ê）（2022秋·湖南·八年级期末）如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则_____°．

【详解】∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（ê）（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝34°，则∠DAE=________．

【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝180°−∠B−∠C＝76°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝38°，
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°−∠B＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE−∠BAD＝38°－20°＝18°，
故答案为：18°．
4．（ê）（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，是的平分线，是边上的高，若，，求的度数．

【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝70°，
∴∠DAC＝＝35°，
∵CE是△ADC边AD上的高，
∴
∴∠ACE＝90°﹣∠CAE＝55°，
∵∠ECD＝20°
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECD＝75°．