【同步讲义】苏科版数学七年级下册：第九章 整式乘法与因式分解（题型过关）

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第九章 整式乘法与因式分解 
【题型一】单项式乘单项式
典例1．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）计算：．
【答案】
【分析】首先进行积的乘方运算，再进行单项式乘以单项式运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘以单项式运算法则是解题关键．
变式1-1．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】先算积的乘方和立方，再算单项式乘单项式，最后合并同类项即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了积的乘方、单项式乘单项式和合并同类项，解决本题的关键是掌握计算法则进行正确的计算．
变式1-2．（2022春·江苏南京·七年级校联考期中）计算：
(1)2a•（2a）2；
(2)3a2•a4 ＋（－a2）3－2（a3）2．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可；
（2）先计算幂的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可．
(1)
解：
(2)
解：3a2•a4＋（－a2）3－2（a3）2
＝
＝
＝
【点睛】本题考查的是幂的运算，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握“幂的运算法则”是解本题的关键．
【题型二】单项式乘多项式
典例2．（2022春·山东济南·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘多项式运算法则即可求出答案；
（2）根据整式的除法运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：
=
=；
（2）


【点睛】本题考查了整式的除法以及单项式乘多项式运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
变式2-1．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】首先去括号，然后合并同类项，化简后，再代入、的值求解即可．
【详解】解：


当时
原式．
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是去括号时符号的变化．
变式2-2．（2022秋·全国·七年级期中）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题"代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=，所以a＋3=0，则．
(1)若关于x的多项式的值与x无关，求m的值
【能力提升】
(2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．

【答案】(1)
(2)a=2b
【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得．
【详解】（1）解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得．
（2）解：设，
由图可知，，，
则

，
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
变式2-3．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，长方形的长为m，宽为n，扇形的半径为n，的长为．

(1)求图中阴影部分的面积S．（用含m，n的代数式表示）
(2)当，时，求S的值．（结果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用扇形的面积和长方形的面积之和减小三角形的面积即可得出答案；
（2）把，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得阴影部分的面积：


，
答：图中阴影部分的面积S为；
（2）解：当，时，
．
【点睛】本题主要考查了三角形面积、扇形面积和长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式，扇形面积公式．
【题型三】多项式乘多项式
典例3．（2022春·山东济南·七年级统考期中）计算：（3m﹣1）（m+5）．
【答案】
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
变式3-1．（2022春·山东聊城·七年级统考期中）已知的乘积中不含和项，求的值．
【答案】2
【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出，即可求出答案．
【详解】解：原式
，
∵其结果中不含和项，
∴，
解得：，
∴．
答：的值为2．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
变式3-2．（2022春·山东济南·七年级统考期中）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：．
(1)求出a，b的值；
(2)在（1）的条件下，计算的结果．
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据题意可得出，，求出a、b的值即可；
(2)把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
所以，，，
解得：，；
（2）解：把，代入，得
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，等式的性质，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
变式3-3．（2022秋·上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
【答案】(1)0.5；
(2)
【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】（1）解：

，
∵代数式化简后，不含有项和常数项．，
∴，，
∴，；
（2）∵，，
∴



．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
变式3-4．（2022春·江西抚州·七年级统考期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．

(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）
(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)超过，理由见解析
【分析】（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积；
（2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较．
（1）
空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．
空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600) m2．
（2）
超过．
∵2×22-70×2+600=468（m2），
∵468＞400，
∴空白部分长方形面积能超过400 m2．
【点睛】本题考查有代数式表示实际问题，掌握用代数式表示长方形的边长，读懂题意列出代数式是解决此题关键．
【题型四】利用平方差公式进行计算
典例4．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）用简便方法计算：．
【答案】
【分析】利用平方差公式变形求解即可．
【详解】解：

【点睛】此题考查了平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式并对算式进行正确变形．
变式4-1．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先利用平方差公式、整式的乘法法则，再合并同类项对式子进行化简；将代入最简式中计算即可得出结果．
【详解】原式．
当，．
【点睛】本题考查整式的混合运算化简求值的运算能力．在解题过程中，要把原式化到最简，再把数值代入最简式中进行计算是解本题的关键．
变式4-2．（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．

【答案】（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．
【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．
（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.
【详解】（1）矩形的长为：m﹣n，
矩形的宽为：m+n，
矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；
（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，
当m=7，n=4时，S=72-42=33．
【点睛】本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．
变式4-3．（2022春·四川成都·七年级校联考期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、        B、        C、
(2)若，求的值；
(3)计算：．

【答案】（1）A；（2）4；（3）
【分析】（1）观察图1与图2，根据图1中阴影部分面积，图2中长方形面积，得到验证平方差公式；
（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【详解】解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积，图2中长方形面积，
上述操作能验证的等式是，
故答案为： A；
（2），，
；
（3）



．
【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键，注意此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．
【题型五】利用完全平方公式进行计算
典例5．（2022春·湖南张家界·七年级统考期末）已知，求代数式的值．
【答案】1
【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．
【详解】解：
=
=，
∵，
∴，
代入原式得：原式=．
【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键．
变式5-1．（2022春·安徽安庆·七年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）已知(a+b)2＝17，(a﹣b)2＝13，求：
(1)a2+b2的值；
(2)ab的值．
【答案】(1)15
(2)1
【分析】（1）将两等式根据完全平方公式展开，等号两边分别相加消去ab项，即可求出a2+b2的值；
（2）将（1）中展开的等式两边分别相减，消去a2+b2，即可求出ab的值．
【详解】（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17①，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13②，
∴①+②得：2（a2+b2）＝30，
解得：a2+b2＝15；
（2）（1）问中①﹣②得：
4ab＝17-13，
解得ab＝1．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练运用完全平方公式是解本题的关键．
变式5-2．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式的最小值．
解：原式．
∵，
∴．
∴当x＝－1时，的最小值是2
(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长．
【答案】(1)-10
(2)9
【分析】（1）根据题干解题过程进行求解即可；
（2）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长；
【详解】（1）解：原式．
∵，
∴．
∴当x=-3时，的最小值是-10；
（2）解：由，，可得，



∴
∴△ABC的周长为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
变式5-3．（2022春·广西贺州·七年级统考期中）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)7
(2)5
【分析】（1）将两边平方后，利用完全平方公式将等式左边计算后即可得出所求代数式的值；
（2）给（1）中的式子减去2，利用完全平方公式即可得出所求代数式的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解题关键．
变式5-4．（2022春·四川成都·七年级四川省成都市七中育才学校校考期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：(a，b)⊗(c，d)=a2+d2−bc．例如：(1，2)⊗(3，4)=12+42−2×3=11．

(1)若(2x，kx)⊗(y，−y)是一个完全平方式，求常数k的值；
(2)若2x+y=12，且(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104，求xy的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)k=±4；
(2)xy=10；
(3)S阴=128．
【分析】（1）根据新定义，求出(2x，kx)⊗(y，−y)，再根据完全平方式的特征，即可求出k；
（2）根据新定义，求出(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104的左边，从而得出方程，再配方将2x+y=12整体代入，即可求出xy；
（3）根据阴影部分的面积等于三角形BCD的面积-三角形BGF的面积-三角形CGE的面积-三角形DFE的面积，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）解：(2x，kx)⊗(y，−y)
=（2x）2+（-y）2-kx• y
=4x2-kxy+y2，
∵4x2-kxy+y2是一个完全平方式，
∴k=±4；
（2）解：(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)
=（3x+y）2+（x-3y）2-3（2x2+3y2）
=9x2+6xy+y2+x2-6xy+9y2-6x2-9y2
=4x2+y2
=（2x+y）2-4xy=104，
∵2x+y=12，
∴122-4xy=104，
∴xy=10；
（3）解：S△BDC=•2x•8x=8x2，
S△BGF= (8x−4y)•y=4xy−2y2，
S△DEF=•4y•(2x−y)=4xy−2y2，
S△GEC=•4y⋅y=2y2，
∴S阴=8x2−(4xy−2y2)−( 4xy−2y2)−2y2
=8x2−4xy+2y2−4xy+2y2−2y2
=2(4x2+y2−4xy)
=2[(2x+y) 2−8xy]，
∵2x+y=12，xy=10，
∴S阴=2(122−8×10)=128．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特征是本题的关键．
变式5-5．（2022春·广东河源·七年级统考期中）如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)请用两种不同的方式表示图②中阴影部分的面积．
方法1：_________________________；
方法2：_________________________；
(2)由（1）写出、、这三个代数式之间的等量关系：___________；
(3)利用（2）中得到的等量关系，解决如下问题：若，，求；
(4)填空：若，则______．
【答案】(1)，
(2)
(3)的值为4
(4)±3
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积即可用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积；
（2）结合图②，即可写出三个代数式， ，之间的等量关系；
（3）利用第（2）题中的等量关系，令m=2a，n=b，将，ab=4代入等量关系，即可求出的值；
（4）利用第（2）题中的等量关系，先求出的值，再开平方即可得出结果．
(1)
解：两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：；
方法2：
故答案为：，；
(2)
解：观察图②，三个代数式， ，之间的等量关系：
．
故答案为：；
(3)
解：根据（2）题中的等量关系：，
令m=2a，n=b，把，ab=4，代入等量关系式得，
，
，
，
答：的值为4；
(4)
解：根据（2）题中的等量关系：，
令m=x，n=，把，代入等量关系式得，
则，
，
，
故答案为：±3．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是解题的关键．
【题型六】选用合适的方法因式分解
典例6．（2022春·湖南株洲·七年级校考期中）因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）用提公因式法分解因式即可；
（2）用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可；
（4）先提公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：

（2）解：


（3）解：


（4）解：


【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
变式6-1．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；
（2）利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；
（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】（1）


；
（2）设，
∴原式
∴

；
（3）



；
（4）



．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
变式6-2．（2022春·湖南湘潭·七年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式．
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：_________；
（2）因式分解：；
（3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．
【答案】（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）见解析
【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】解：（1）
=(x-y+1)2；
（2）令A=a+b，则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，
故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；
（3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
变式6-3．（2022春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）先阅读后解题：
若，求m和n的值．
解：等式可变形为：
即，
因为，，
所以，
即，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______；
(2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)9
(2)3，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据配方法，可得a，b的值，在根据三角形三边的关系，可得c的值，根据三角形的周长，可得答案；
（2）根据配方法，可得非负数的和，根据非负数的性质，可得答案；
（3）根据多项式的减法计算，然后根据配方法化简多项式的差，可得结论．
【详解】（1）




已知的三边长a，b，c都是正整数，


的周长是
故答案为：
（2）



当时，的最小值为3
（3）




【点睛】本题考查了非负数的性质，利用配方法得出非负数的和是解题关键．
变式6-4．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题．
(1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数；
(2)分解因式：；
(3)已知实数，满足，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（2）先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可；
（3）先表示出，再表示出，再利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：
=
=，
∵，，
∴x，y取任何实数时，多项式的值总为正数；
（2）解：
=
=
=；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴当a=2时，a+b有最小值为1，
∴a+b的最小值为1．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式即平方差公式是解答此题的关键．