初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.7 弧长及扇形的面积精品同步达标检测题

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第2章 对称图形----圆
2.7 弧长及扇形的面积
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课程标准
课标解读
会计算圆的弧长、扇形的面积


1.掌握弧长的计算公式，并运用弧长公式计算弧长。
2.掌握扇形的面积公式，并能够运用扇形面积公式计算扇形面积。
知识精讲

知识点01 弧长公式
1.在半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：；
2.n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
【微点拨】
（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【即学即练1】已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．20π B．15π C．10π D．5π
【答案】C
【解析】解：圆心角是60°，半径为30的扇形的弧长是＝10π．
故选：C
知识点02 扇形面积公式
1.扇形的定义 ：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式 ：半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
3.n°的圆心角所对的扇形面积公式：
【即学即练2】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．
∴∠AOB=
∴OB与围成的扇形的面积是
故选B．
能力拓展

考法01 弧长的计算
【典例1】如图，在Rt△ABC中，，点O是AB边上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC边相切于点D，与边AB、BC分别相交于点E、F，连接DF、OF．
(1)求证：；
(2)当，，求的长．

【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)解：连结OD，

∵AC与半圆相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
(2)解：在Rt△ABC中，，，
∴，
设的半径为r，则，
∴，
在Rt△AOD中，，
∴，，，
∴．
考法02 扇形面积的有关计算
【典例2】如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为，求图中阴影部分的面积．（不求近似值）

【答案】（1）∠A＋2∠C＝90°；（2）
【解析】证明：（1）连接OB.

∵OB＝OC
∴∠AOB＝2∠C
∵AB且⊙O于B
∴∠ABO＝90°
∴∠A＋2∠C＝90°
（2）解：连接，作于E，则，
在中，，
，
，
是等边三角形，
，，
是直径，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积

．
分层提分

题组A 基础过关练
1．半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（       ）
A．6π B．3π C．2π D．π
【答案】A
【解析】解：S．
故选：A．
2．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：，所以
的长
．
因此，管道的展直长度约为．
故选：D
3．已知，在圆中圆心角度数为45°，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：在圆中圆心角度数为45°，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为：，
故选：D．
4．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵四边形OACB是正方形，
∴∠COB＝45°，
∴，，，
阴影部分的面积为
故选：C．

5．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
【答案】π
【解析】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为，
∴它的弧长为：
故答案为：
6．已知圆弧的度数为，弧长为，则圆弧的半径为______
【答案】18
【解析】∵圆弧的度数为，弧长为，
又∵，
∴，
解得，
故答案为：18．
7．已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，则此圆心角所对的弧长为_____（结果可保留π）．
【答案】8π
【解析】解：圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，
则此圆心角所对的弧长，
故答案为：8π．
8．在半径为3的圆中，圆心角为20°的扇形面积是_______．
【答案】
【解析】扇形面积==
故答案为：．
9．如图，将以线段AB和曲线BCA围成的图形ABCA绕点A逆时针旋转45°至图形AB′C′A的位置，若AB＝8，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】8π
【解析】解： =．
故答案为：．
10．如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是_________．

【答案】
【解析】解：如图，连接OA，OB

∵点C为的中点
∴
∵CD=3
∴OD=6-3=3
在中，sin=
∴
∵为等腰三角形
∴
由勾股定理可得=
∴AB=
∴

．
故答案为：．
题组B 能力提升练
1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点E，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（       ）

A．4π﹣8 B．8π﹣8 C．8π﹣16 D．16π﹣16
【答案】C
【解析】过点A作AD⊥BC交于点D，如图所示，
∵∠BAC=90°，AB=AC=，
∴点D为BC中点，，∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=4，
∴= = ，
故选：C．

2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）

A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【解析】解：连接、，

六边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，

的长为．
故选：D．
3．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故选：D．

4．如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________．

【答案】
【解析】连接OE，OD，
∵，OB=OD，OA=OE，

∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，
∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半径为1，
的长是．
故答案为：．
5．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．

【答案】1
【解析】解：根据图象可得：AB=AD=1，
，
∴，
故答案为：1．
6．在⊙O中，OA=2，∠C=45°，则图中阴影部分的面积为_______

【答案】
【解析】，
，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
7．如图，已知矩形中，，．分别以，为圆心，为半径画弧，两弧分别交对角线于点，，则图中阴影部分的面积为________（用含的式子表示）

【答案】4π
【解析】∵S△ABD=5π×8÷2=20π；设,
S扇形BAE=；S扇形DFM=；
∴阴影面积=20π-=20π-16π=4π．
故答案为：4π．
8．如图，AB=4cm，∠ACB=60°．

(1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求扇形AOB的面积．
【答案】(1)见解析
(2)扇形AOB的面积为cm2．
【解析】(1)解：如图，⊙O即为所求．
；
(2)解：连接OA，OB，设EF与AB交于点G．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵AB=4cm，
∴AG=GB=2cm，
∴AO=4(cm)，
∴扇形AOB的面积=(cm2)．
9．如图，四边形内接于，且为直径，，过A点的的垂线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)如果，求图中阴影的面积．

【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)证明：∵BD是直径，
∴∠BAD=90°．
∵过A点的的垂线交的延长线于点E，
∴∠EAC=90°．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠BAC=∠BAD-∠BAC，即∠EAB=∠CAD．
∵∠ADB和∠ACB都是所对的圆周角，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°．
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=45°．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
∵四边形ABCD内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠ADC．
∴．
∴BE=CD．
(2)解：如下图所示，连接OA．

∵AB=AD，O为BD中点，
∴AO⊥BD．
∴∠AOD=90°．
∵，
∴．
∴．
∴OA=OD=1．
∴，S扇形OAD．
∴S阴=S扇形OAD-=．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（       ）

A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得：，
∴，
故选：C．
2．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：设等边三角形ABC的边长为r，

解得，即正三角形的边长为2，
此曲边三角形的面积为
故选A
3．如图，正方形ABCD的边长为1，和都是以1为半径的圆弧，两部分阴影的面积分别记为和，则等于（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=1，∠BCD=90°，
∴，
设两块空白部分的面积为x，
则，．
∴．
故选：A．
4．如图，在中，，，AO是的中线，以O为圆心，OA长为半径作圆，分别交AB，AC于点D，E，交BC于点F，G．则图中阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连结OD，OE，
在中，∵， ，AO是的中线，
∴OA平分∠BAC，OA⊥BC，∠B=∠C=，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∵OD=OA=OE，
∴△ADO与△AEO均为等边三角形，
∴AD=OD=OE=AE，∠AOD=∠AOE=60°，
∴∠DOB=90°-∠AOD=30°，∠EOC=90°-∠AOE=30°，
∴∠B=∠DOB=∠C=∠EOC=30°，
∴BD=OD=CE=OE=OA=，
∴BO=CO=，
∴S阴影=2（S△ABO-S△ADO-S扇形ODF）=2
=．
故选：A．

5．新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于_________．
【答案】
【解析】解：由题知，在△ABC内部以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长中内弧，
∵点D、E分别是边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵∠A=90°，，
∴，
∴长度，
故答案为：π．
6．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，以 AB为直径画半圆；以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则阴影部分面积为 ______．（结果保留π）

【答案】
【解析】解：如图，以为直径的半圆圆心是，连接，过点作于，

在中，，，，
，，，
，，是等边三角形，
，

．
故答案为：．
7．如图1，扇形AOB中，，点C，D分别为OA，OB的中点，连接CD，AD，将绕点O逆时针旋转（如图2），若，则图2中弧AB，线段AD，BD构成的阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】解：依题意得：，
过D作DE⊥AO于E，

∴，
∴，，
∴，
∴
=
=
=．
故答案为：．
8．如图，△ABC内接于，AB为的直径，点D为上的一点，且，，则劣弧的长为______（结果保留）．

【答案】
【解析】解：连接OD，如图，

∵AB为的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠ACD=75°，
∴∠AOD=150°，
∵，
∴OA=2，
∴．
故答案为：．
9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C＝50°．
(1)求∠B的度数；
(2)求的长．

【答案】(1)∠B＝40°
(2)的长为
【解析】(1)∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝40°．
(2)如图，连结OD，

∵∠AOD＝2∠B＝2×40°＝80°，⊙O的半径为6，
∴的长为＝π，
10．如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．
(1)求证：2OE=CD；
(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求阴影部分的面积．

【答案】(1)见解析；(2)2π-
【解析】(1)证明：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，B为圆上的点，
∴，
∵OE⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD是⊙O的直径，即O为AD的中点，
∴E为AB的中点，
∴．
∵AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点， BC⊥AD，
∴，
∴，即．

(2)解：∵，
又∵∠BAD+∠EOF=150°，
∴，即．
∵，
∴，
∴，．
如图，连接BD，
∵AD=4，AD是⊙O的直径，，
∴．
同理，，，，
∴，．
∵AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点， BC⊥AD，
∴．
∵AD=4，，
∴．
，
，
，
∴．

11．如图，是的直径，是的切线，交于另一点，且
(1)求证：；
(2)若为的中点，，连接，求的长及阴影部分的面积．

【答案】(1)45°
(2)的长为；阴影部分面积为
【解析】(1)解：连接，∵是的直径，

∴，
又∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
(2)过点作于点，连接，，

∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，


∴的长为；


12．如图，AB是⊙O的直径，点C在线段AB的延长线上，，．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径4，求BD与两条线段BC，CD围成的阴影部分面积．

【答案】(1)见解析
(2)
【解析】(1)证明：连接OD，BD．∵OA＝OD，∠DAB＝30°，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°．
∴∠BOD＝∠DAB＋∠ODA＝60°．
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形．
∴BD＝OB，∠OBD＝∠ODB＝∠DOB＝60°．
∵OB＝BC，
∴BD＝BC．
∴∠OBD＝∠BDC＋∠BCD＝2∠BDC＝60°．
∴∠BDC＝30°．
∴∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°．
即OD⊥DC于点D．又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．

(2)∵⊙O的半径为4，
∴OB＝BC＝OD＝4．
∴OC＝8．
由（1）证得∠ODC＝90°，∠BOD＝60°．
∴在Rt△DCO中，．
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．