【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第17讲 三角函数的图像与性质 讲义

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第17讲 三角函数的图像与性质【知识梳理】知识点一　周期函数1．周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．知识点二　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期1．正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.2．正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是π.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.知识点三 三角函数的图像与性质　解析式y＝sin xy＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调性在，k∈Z上递增，在，k∈Z上递减在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减最值当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1  函数y＝tan x的图象与性质见下表：解析式y＝tan x图象定义域值域R最小正周期π奇偶性奇单调性在开区间(k∈Z)内都是增函数 知识点四 图像平移如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的． 　如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．　如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到． 知识点五　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义【典型例题】考点一：函数的周期性     设为定义在上的奇函数，且满足，，则A.  B.  C.  D.    已知定义在上的奇函数满足当时，，则下列结论正确的是(    )A. 的图象关于轴对称 B.
C.  D.    定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，，则的值为(    ) B.  C.    D. 考点二：函数的值域   函数的值域是(    )A.  B.  C.  D. 以上均不对   已知函数定义域为，值域为，则          ．考点三：函数的单调性   已知函数求函数的单调递增区间若，，求函数的最值．


    函数为增函数的区间是          ．考点四：三角函数的性质   已知函数，则下列说法正确的是(    )A. 的图象关于直线对称 B. 是图象的一个对称中心
C. 的周期为 D. 在区间单调递减   设函数，则下列结论错误的是(    ) 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 在单调递减考点五：图像与性质已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是(    )
  的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数考点六：平移已知曲线：，：，则下面结论正确的是(    )A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且，则(    ) B.  C.  D. 考点七：零点问题函数，的图象与直线为常数的交点可能有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个已知，函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围是          设函数，已知在上有且仅有个零点，则(    )A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有个
C. 的图象与直线在上的交点恰有个
D. 在上单调递减已知函数的图像过点，最小正周期为，且最小值为．求函数的解析式若，的值域是，求的取值范围．




 已知函数的部分图象如图所示．求，和的值；求函数在上的单调递减区间；
若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．






考点八：恒成立问题已知函数的部分图象如图所示。求函数的解析式将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数为，若不等式在恒成立，求实数的取值范围。

  考点九：奇偶性若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是          ．有以下四个命题，正确命题的是(    )A. 若函数为奇函数，则为的整数倍
B. 若函数为奇函数，则为的整数倍
C. 对于函数，若，则必是的整数倍
D. 对于函数，若，则必是的整数倍已知函数的最小正周期为．
求当为偶函数时的值；
若的图象过点，求的单调递增区间．