【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第3章 不等式考点复习专练 讲义
展开第3章 不等式考点复习专练
考点一：不等式性质
- 设， 与的大小关系是
A． B．
C． D．不能确定
【答案】B
【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．
【详解】.
.
根据不等式的开方性质可以得出 再根据不等式相加性质可以得出
显然可以得到即
成立，因此本题选B．
【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．
- 已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用待定系数法得出，并计算出的取值范围，利用不等式的性质可得出的取值范围.
【详解】设，，解得，
，
，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是，故选D.
【点睛】本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分利用待定系数法，考查运算求解能力，属于中等题.
- 已知满足则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先利用待定系数法用表示出，然后利用不等式的性质结合题意确定其取值范围即可.
【详解】设
比较的系数，得从而解得
即，
由题得，
两式相加，得.
故选A.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，函数与方程的思想，待定系数法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
- 已知实数满足，且，记，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据给定条件，分析、计算判断选项A，D；取特值计算判断选项B，C作答.
【详解】因实数满足，且，
则，A正确；
取，则，此时，即B，C都不正确；
，
，
又，即，则有，D正确.
故选：AD
- 关于的不等式，若此不等式的解集为，则的取值范围是___________.
【答案】m<0
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法可得，即可得解.
【详解】由，得，
故不等式的解集为，
所以，所以，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
- 设，，比较与的大小
【答案】
【分析】已知条件变形得，，用作差法比较与的大小后可得结论．
【详解】，又， ， ，
，，
，，，
，
，．
考点二：基本不等式
- （多选）已知，，且，则（ ）
A．xy的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是3 D．的最小值是
【答案】BD
【分析】利用基本不等式判断选项A，利用基本不等式判断选项B，利用拼凑法和基本不等式的应用判断选项C、D.
【详解】因为，，所以，所以，
解得，即，则A错误.
因为，，所以，所以，
即，解得，当且时等号成立，
又由，所以的取值范围是，则B正确.
因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.
，
当且仅当即时等号成立，则D正确.
故选：BD
- 设a，b≥0，且，则的最小值为___________.
【答案】0
【分析】由题可得，代入，结合均值不等式即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时取等.
所以的最小值为0.
故答案为：0.
- 若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为___________.
【答案】##
【分析】由条件可得，然后利用基本不等式可得，然后可得答案.
【详解】由题意，
由，则时取等，
则.
故答案为：
- 已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，结合基本不等式，求出的范围，即可求出的取值范围．
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，
故选：C.
- 已知正数满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据已知条件求得的取值范围，将平方后整理为关于的二次函数，根据二次函数的单调性，即可容易求得其值域，从而求得的取值范围.
【详解】由可得：，因为，以及，
可得，
故
，
令，则，
又在单调递增，
故可得，于是.
故答案为：.
【点睛】本题考察利用基本不等式求最值，解决问题的关键是如何观察得目标式和已知条件的联系，用作自变量取求解函数的值域，属综合困难题.
- 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；
（Ⅱ）.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由，，得：
，
由题设得，
即，
所以，即.
（Ⅱ）因为，，，
所以，
即，
所以.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.
【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
- 设，，，，求的最大值．
【答案】.
【分析】由基本不等式可得，，三个不等式相加即可求解.
【详解】因为，，，，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以，
所以的最大值为.
考点三：一元二次不等式
题型一：恒成立与存在问题
- 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.
【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
- 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式化为，讨论、和时，分别求出不等式成立时的取值范围即可
【详解】时，不等式可化为；
当时，不等式为，满足题意；
当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，
所以，即；
当时，恒成立；
综上所述，实数的取值范围是
答案选A
【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法
- 已知，q：方程有两个不相等的实数根，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出方程有两个不相等的实数根的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】方程有两个不相等的实数根，当且仅当，解得或，
显然，，，所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
- 已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】已知关于x的方程有4个不同的实数解，可以分别三种情况讨论：①，方程有4个根；②，方程有两个正根；③，方程有两个负根；分别求出实数a的取值范围即可完成求解.
【详解】由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：
①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；
②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即
，解得；
③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即
，解得；
由①②③可知，实数a的取值范围是.
故答案为：.
- 已知关于x的函数
(1)当时，求的解集；
(2)若不等式对满足的所有a恒成立，求x的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解一元二次不等式求解集即可.
（2）将题设不等式转化为在上恒成立，讨论的符号并结合二次函数的性质，求x的取值范围．
（1）
由题设，，可得或，
∴的解集为.
（2）
由题设，令，
当时，有两种情况：
1、，此时在上不可能恒成立；
2、，此时在上不可能恒成立；
∴，则：且对称轴为，
当，即或时，开口向上，
∴要使在上恒成立，有以下情况：
1、，即，无解；
2、，即，无解.
当，即时，开口向下，
∴要使在上恒成立，则，解得或，
∴此时，无解.
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用调换主元法，构造，利用二次函数性质及分类讨论的方法研究一元二次不等式在闭区间上恒成立.
题型二：根的分布
- 方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.
【详解】解：由题意，方程的两根都大于，
令，
可得，即，解得．
故答案为：.
- 若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________．
【答案】，
【分析】不等式化为，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m的范围.
【详解】可化为，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
不等式的解集为，且；
故答案为：，．
题型三：根与系数关系
- 已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式与二次方程之间的关系，以及根与系数的关系即可求解.
【详解】由不等式的解集是，可知：
，是一元二次方程的实数根，且；
由根与系数的关系可得：， ，
所以不等式化为 ，即：；
化为；
又，；
不等式的解集为：|}，
故答案为：
- 若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【分析】由题知，，进而将不等式转化为，再解不等式即可.
【详解】解：由，整理得 ①．
又不等式的解集为，
所以，且，即②．
将①两边同除以得：③．
将②代入③得：，解得．
故选：A
- （多选）已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】只需分别利用二次方程根与系数的关系，以及判别式判断出正确的结论．
【详解】解：对于A：由知，与同号．
若，则，这时，
所以，
此时与矛盾，
所以，．
同理可证，故A正确；
对于B：根据题意可知，
，，，解得．
同理，
，
即，故B不正确，D正确；
对于C：由A知，，，，是整数，所以，．
由韦达定理有，
所以，故C正确；
故选：ACD．
- （多选）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.
【详解】由题设，的解集为，
∴，则，
∴，，则A、D正确；
原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，
∴由图知：，，故B错误，C正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.
题型四：根的个数问题
- （多选）关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则实数的值可以是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BC
【解析】求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得的不等式，解之，然后判断各选项可得．
【详解】易知，即，解原不等式可得，
而解集中只有5个整数，则，解得，只有BC满足．
故选：BC．
