高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式精品随堂练习题

第16讲  复数的三角形式

知识点01  复数的三角形式的概念

1.复数的辐角

(1)定义：以x轴的              轴为始边、向量所在的              (起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角.

(2)辐角主值

[0，2π)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的              ，记作              ，即(0≤arg z≤2π)，非零复数与它的模和              一一对应.

(3)常用的有关辐角主值的结论

当时，              ；arg（-a）=              ，arg（ai）=              ，arg（-ai）=              ；arg 0可以是[0，2π)中的任一角.

2.复数相等：两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与              分别相等.

3.复数的三角形式

复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示:z=              ，其中，，，

 r(cosθ+isinθ)叫作复数z的              ，而a+bi叫作复数z的代数形式.

【即学即练1】若，则的三角形式为（    ）

A． B．

C． D．

知识点02  复数的三角形式的乘除法

1.复数的乘法与乘方

把复数z1，z2分别写成三角形式z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2·(cosθ2+isinθ2)，则z1·z2=[r1(cosθ1+isin θ1)] ·[r2(cos θ2+isin θ2)]=              .

这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.

上面的结果可以推广到n个复数相乘：

因此，如果；，

就有

这就是说，复数的 次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的              倍.

2.复数的除法

设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，则z1除以z2的商:

              这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角              除数的辐角所得的              .

【即学即练2】复数的三角形式是（    ）

A． B．

C． D．

考法01  复数的三角表示

【典例1】棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则．已知的辐角主值为，的辐角主值为，利用棣莫弗定理猜测的辐角，并证明．

考法02  复数乘除法的三角表示

【典例2】在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.

(1)求点C对应的复数；

(2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.

题组A  基础过关练

1．欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（    ）

A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对

2．设函数，那么是（    ）

A． B． C． D．

3．复数化成三角形式，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）

A． B． C． D．

5．写出一个的复数______．

6．将复数－2表示成三角形式是______．（用辐角主值）

7．复数（i为虚数单位）的辐角主值为______．

8．若复数为虚数单位），则______．

9．已知，将复数表示成三角形式．

10．计算：．

题组B  能力提升练

1．将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（    ）

A．＋i B．－＋i

C．－－i D．－i

2．复数的三角形式是（    ）

A． B．

C． D．

3．向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（    ）

A．负实数 B．纯虚数

C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)

4．欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（    ）

A． -1 B．1 C．- D．

5．已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______．

6．计算，并用复数的代数形式表示计算结果：______．

7．表示复数的三角形式：①；②；③；④．其中正确的个数是______．

8．任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______.

9．求下列复数的模和辐角主值.

(1)；

(2).

10．已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位.

(1)求实数的取值范围

(2)当时，求复数的三角表示

(3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示）

题组C  培优拔尖练

1．复数的值是（    ）

A． B．16 C． D．

2．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ）

A．不可能为纯虚数

B．在复平面内对应的点可能位于第二象限

C．在复平面内对应的点一定位于第三象限

D．在复平面内对应的点可能位于第四象限

3．复数的三角形式是（    ）

A． B．

C． D．

4．设，，为复数，.下列命题正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．若，则且

5．下列命题正确的是（    ）

A．若复数满足，则是纯虚数

B．若，互为共轭复数，则

C．是复数的三角形式

D．“复数为纯虚数”的充要条件为“”

6．利用1的立方根，则8立方根是______．

7．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.

8．设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________

9．回答下面两题

(1)求证：；

(2)写出下列复数z的倒数的模与辐角：

①；②；③．

10．设O为复平面的原点，和为复平面内的两动点，并且满足：

（1）和所对应的复数的辐角分别为定值和（）；

（2）的面积为定值S.

求的重心Z所对应的复数的模的最小值．