高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角优秀课后作业题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角优秀课后作业题，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第01讲直线的斜率与倾斜角学生版docx、同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第01讲直线的斜率与倾斜角教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

第一章 直线与方程
第01讲 直线的斜率与倾斜角

目标导航


课程标准
重难点
1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；
2. 理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
1.倾斜角永远存在但斜率不一定
2.倾斜角与斜率的计算

知识精讲

知识点01 直线的倾斜角
1.直线的倾斜角的定义
在平面直角坐标系中,当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.





锐角
直角
钝角
零角
注意：当直线和轴平行或重合时，规定直线倾斜角为，所以倾斜角的范围是．
2.直线的倾斜角的意义
(1)直线的倾斜角体现了直线相对于轴正向的倾斜程度.
(2)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角
(3)倾斜角相同,未必表示同一条直线.

【即学即练1】如图，已知直线的倾斜角为150°，，垂足为B．，与x轴分别相交于点C，A，平分，则的倾斜角为（       ）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【解析】
因为直线的倾斜角为150°，所以，所以的倾斜角为．
故选：A.

【即学即练2】（多选）设直线过原点，其倾斜角为，若将直线绕坐标原点逆时针方向旋转45°后得到直线，则直线的倾斜角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
当时，，所以直线的倾斜角为.
当时，，，即直线的倾斜角为.
故选：BD

知识点02 直线的斜率
1.直线的斜率
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用表示，即, 且
注意:当直线与轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线与轴垂直时，=90°，不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.


2.直线的斜率公式
已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.
注意：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与轴垂直；
(2)与P1、P2顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当时，斜率，直线的倾斜角=0°，直线与轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

【即学即练3】以下两点确定的直线的斜率不存在的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】
根据斜率公式可知，当两点的横坐标相同时，直线的斜率不存在，此时，过两点的直线垂直于轴，
A、B、C选项中，两点的横坐标不相同，
D选项中，两点的横坐标相同，过该两点的直线的斜率不存在.
故选：D.
【即学即练4】已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标为（       ）．
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【解析】
设或，∴或，
即或，解得或，
∴点的坐标为或.
故选：B.

知识点03 直线的斜率与倾斜角的关系
1.斜率与倾斜角的关系如下图
倾斜角
零角
锐角
直角
钝角
斜率
等于0
大于0
不存在
小于0
图形




斜率与倾斜角的关系
直线平行于轴或与轴重合
直线的斜率随着倾斜角的增大而增大
直线垂直于轴
直线的斜率随着倾斜角的增大而增大

【即学即练5】如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
【即学即练6】已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，
则当时，，即，当时，，即，
所以直线的斜率k的取值范围是.
故选：D

能力拓展

◆考点01 直线与线段有交点的斜率范围问题
【典例1】已知点A（，2），B（4，﹣3），若直线l过点P（0，1）与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）
A． B．[]
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，

由A（，2），B（4，﹣3），P（0，1），
可得斜率，，
因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：C.

【典例2】已知点，直线与线段有交点，求l的斜率的取值范围．
【答案】
【解析】
直线过定点P(0,2).如图：

因为，.
要使直线与线段有交点，
则直线l的斜率的取值范围是.

【典例3】已知直线与线段相交，其中点为，点为．
(1)当时，求实数的取值范围；
(2)当时，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当时，，因为直线与线段相交，
所以，即，
如图，

所以实数的取值范围.
(2)当时, 直线，恒过点M，
又，,
如图，

故实数的取值范围是.

◆考点02 三点共线的证明
【典例4】斜率为2的直线经过三点，则a､b的值分别为（       ）
A．4，0 B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：由题意，得即解得
故选C.
【典例5】下列各组点在同一条直线上的是（       ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
A选项：过，的直线的斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误；
B选项：过，的直线斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；
C选项：过点，的直线的斜率．过点，的直线的斜率，，两者相等，故此三点共线．C选项正确
D选项：过点，的直线的斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误.
故选：C

◆考点03 通过象限求斜率范围
【典例6】若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
联立方程组，解得，
因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，
设直线的倾斜角为，其中，即，解得，
即直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
【典例7】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意，联立，解得，
因直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得，
又因且，所以.
故选：B.

◆考点04 利用斜率求最值
【典例8】若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围，

如图，，则，，故的取值范围是.
故答案为：
【典例9】已知点在函数的图像上，当时，求的取值范围．
【答案】
【解析】
因为的几何意义是过，两点的直线的斜率，点在直线的图象上，且，
所以可设，为直线上的两点，且，，如图所示：

所以，，
所以根据图象可得的取值范围是．


分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．下列说法中正确的是(       )
A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大
B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角
C．和轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
【答案】D
【解析】
直线倾斜角的范围是[0，π)，当倾斜角是时直线无斜率，故A错误；
直线倾斜角的范围是[0，π)，0和既不是锐角也不是钝角，故B错误；
和轴平行的直线，它的倾斜角为0，故C错误；
每一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，故D正确．
故选：D﹒
2．如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设直线，，的倾斜角分别为，由图象知：
，
所以，即，
故选：A．
3．一次函数所表示直线的倾斜角为（       ）
A．30° B．150° C．120° D．60°
【答案】C
【解析】
设直线的倾斜角为，
由直线的斜率为，可得
又，则，即=120°
故选：C
4．若三点共线，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由三点共线得，，解得.
5．已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又，所以直线l的斜率满足．
故选：D.

6．经过点作直线l，若直线l与连接，的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意画图如下：

,在射线PA逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大,
直线l与线段AB总有公共点，所以.
故选:A.

二、多选题
7．下列四个命题中，错误的有（       ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ABCD
【解析】
解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、B、C均错误；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ABCD
8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为（       ）
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(0，－3) D．(0，3)
【答案】AC
【解析】
解：设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).
由kPA＝1，得＝＝1，
得m＝3，n＝－3.
故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).
故选：AC

三、填空题
9．常值函数所表示直线的斜率为______．
【答案】0
【解析】
表示的直线平行于x轴，倾斜角为0°，故斜率为tan0°=0．
故答案为：0．
10．直线与x轴的交点为P，将此直线绕点P逆时针旋转后所得到直线的方程为______．
【答案】
【解析】
解：因为直线与x轴的交点为，且直线斜率为1，
所以直线的倾斜角为，
所以将直线绕点P逆时针旋转后所得到直线的倾斜角为，
所以所求直线的方程为，
故答案为：.
11．已知三个不同的点､､在同一条直线上，则实数a的值为___________.
【答案】或5
【解析】
因为，所以该直线斜率存在，
又，
根据题意得，解得或.
故答案为：或.

四、解答题
12．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角
(1)，
(2)，
(3)，
【答案】(1)，倾斜角为
(2),倾斜角为
(3)斜率不存在，倾斜角为
【解析】
(1)解：，所以的倾斜角为；
(2)解：，所以的倾斜角为；
(3)解：因为点的横坐标相等，所以直线的斜率不存在，倾斜角为；
13．已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若直线的斜率，求点的坐标．
【答案】或.
【解析】
若在轴上，则可设，，解得：，；
若在轴上，则可设，，解得：，；
综上所述：点的坐标为或.
14．（1）当m为何值时，经过两点，的直线的斜率是12？
（2）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是60°？
（3）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是钝角？
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】
（1）由题意，；
（2）由题意，解得；
（3）由题意，解得或．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．设斜率为的直线上有两点，则此直线的倾斜角为
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】B
【解析】
由得，，∴，又∵在内，，∴所求倾斜角为.
2．设P为x轴上的一点，A（-3，8），B（2，14），若直线PA的斜率是直线PB的斜率的两倍，则点P的坐标为
A．（-2，0） B．（-5，0） C．（2，0） D．（5，0）
【答案】B
【解析】
设点P的坐标为.由题意知，，于是，解得.故选B.
3．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（       ）
A．
B．或
C．或
D．或
【答案】B
【解析】
根据题意，直线的斜率，
由，得的取值范围为，
即的取值范围为．
又，则或．
故选：B．
4．直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
5．若两直线的倾斜角分别为与，斜率分别是与，则下列四个结论中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】
A选项中，若，取为锐角，为钝角，则，则.故错误；
B选项中，取，斜率均不存在，故错误；
C选项中，若，则斜率存在，倾斜角不是，因为，而正切函数在单调递增，在也单调递增，故.故正确.
D选项中，若，取，且，故，故是钝角，是锐角，则.故错误.
故选：C.
6．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由可得：，
因为两直线的交点位于第一象限，所以，解得：，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是，
故选：C.

二、多选题
7．下列命题中，是假命题的是（       ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为
【答案】ABD
【解析】
A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；
B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；
C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是，所以该选项正确；
D. 若直线的斜率为，则但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.故选：ABD
8．对于直线：，下列说法错误的是（       ）
A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
【答案】BC
【解析】
A：由直线方程知：恒过定点，正确；
B：当时，直线斜率不存在，错误；
C：时有，即，则倾斜角为，错误；
D：时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，正确；
故选：BC.

三、填空题
9．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有
过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，．
的斜率的取值范围是，，，即，，，
故答案为：．
10．若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
若直线与直线的交点位于第一象限，如图所示：

则两直线的交点应在线段上（不包含点）, 当交点为时，直线的倾斜角为，当交点为时，斜率，直线的倾斜角为
∴直线的倾斜角的取值范围是．
故答案为
11.若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：如图，

函数，表示线段其中，，
的几何意义为线段上的动点与定点连线的斜率的倍，
，，

的取值范围是；
故答案为：

四、解答题
12．已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，且，探索其倾斜角，，的大小关系．
【答案】分类讨论，答案见解析
【解析】
由直线斜率与直线倾斜角的关系：
由于在分别单调递增，
且时，；时，
（1）当时，有，，
由在单调递增，有
（2）当时，有，，
由在单调递增，有
（3）当，有，，
由在单调递增，有
（4）当，有，
由在单调递增，有
13．（1）已知坐标平面内两点，.当为何值时，直线的倾斜角为锐角？
（2）已知直线.若直线不经过第四象限，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1），
所以
因为直线的倾斜角为锐角
所以
解得：
所以当时，直线的倾斜角为锐角
（2）直线
因为直线不经过第四象限
所以，解得
所以的取值范围为.
14．直线l：y＝x＋1与y轴交于点A，将l绕点A旋转15°得到直线l′，求l，l′与x轴围成三角形的面积.
【答案】或.
【解析】
∵l的斜率为1，
∴倾斜角为45°，且A点坐标为(0，1)，
①当逆时针旋转15°时，
l′的倾斜角为15°＋45°＝60°，∴斜率为.
l′的方程为y＝x＋1，它与x轴交点为B.
l与x轴交点为C(－1，0).
此时，△ABC面积为×1×＝.
②当顺时针方向旋转15°时，
l′的倾斜角为45°－15°＝30°，
此时l′的方程为y＝x＋1.
l′与x轴交点B′(－，0)，l与x轴交点C′(－1，0).
∴△AB′C′面积为×1×|－＋1|＝.
∴所求三角形的面积为或.


题组C 培优拔尖练
1．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
由题设知：，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
2．已知直线不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
当时，直线方程为，不过第二象限，满足题意；
当即时，直线方程可化为．
由题意得，解得．
综上可得，实数a的取值范围是，即．
3．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
【答案】或或.
【解析】
由题，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：
①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐标为或或.
4．已知的三个顶点为、、．
(1)求中的大小；
(2)求的平分线所在的直线的解析式．
【答案】(1)； (2).
【解析】
(1)如下图所示：

因为、，
所以直线与横轴平行，因此的大小等于直线的倾斜角，
因为、，所以，
因此直线的倾斜角为，
所以
(2)由（1）可知：，显然是锐角，
设直线是的平分线所在的直线，
因此，
或（舍去），所以直线的斜率为，
所以直线的解析式为.