高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直优秀一课一练

第一章 直线与方程

第03讲  两条直线的平行与垂直

知识点01  直线的平行

1.通过斜率判断直线的平行

对于两条不重合的直线,其斜率分别为,当.

注意:

(1)成立的前提条件是: (1)两条直线的斜率都存在; (2)与不重合.

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,与的倾斜角都是,则.

(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:或斜率都不存在.

总结:

2.通过直线一般式判断直线的平行

对于直线,直线..斜率存在时.当斜率不存在时,.

证明:对于直线,直线

(1)当,,即两直线斜率存在时.得斜截式:和. 且.即且.

(2)当,即直线的斜率不存在时.将代入,则,所以两条直线斜率都不存在.所以,且.

综上:的等价条件为.斜率存在时.当斜率不存在时, .

【即学即练1】 若直线与直线平行，则实数等于（        ）

A． B． C．或 D．

【即学即练2】 过点且与直线平行的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练3】 直线与直线的位置关系是（       ）

A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直

知识点02  直线的垂直 

1.通过斜率判断直线的垂直

如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于;反之,如果它们的斜率之积等于, 那么它们互相垂直,即.

注意:

(1)成立的前提条件是:①②两条直线的斜率都存在;②且.

(2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直.

(3)判定两条直线垂直的一般结论为:

或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零.

2.通过直线一般式判断直线的垂直

对于直线,直线..

证明:对于直线,直线

(1)当,,即两直线斜率存在时.得斜截式:和. .即.

(2)当,即直线的斜率不存在时.将代入,则且,直线斜率为0,所以.

当,即直线的斜率不存在时.将代入,则且,直线斜率为0,所以.因此满足斜率不存在的情况.

综上: 的等价条件为即.

【即学即练4】 直线与直线垂直，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．9

【即学即练5】6．过点且垂直于直线的直线方程为（       ）

A． B． C． D．

知识点03  直线的直线系方程 

具有某一种共同属性的一族直线称为直线系,其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参 数,常见的直线系方程有以下几类:

平行直线系方程:

直线中,当斜率一定而变动时,表示平行直线系方程,与直线平行的直线系方程是是参变量

垂直直线系方程:

与直线不同时为0)垂直的直线系方程是是参变量

过定点的直线系方程:

经过定点的直线系方程为)(除直线外),其中是待定系数;经过定点 的直线系方程为,其中,是待定系数

【即学即练6】已知直线 .

(1)求经过点且与直线平行的直线的方程;

(2)求经过点且与直线垂直的直线的方程.

【即学即练7】

已知点是直线外一点,则方程表示

A. 过点且与垂直的直线

B. 过点且与平行的直线

C. 不过点且与垂直的直线

D. 不过点且与平行的直线

知识点04  直线的方向向量与法向量 

如图,设是直线上不同的两点,直线上

的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量.

直线的一个方向向量的坐标是.

当直线时,直线的方向向量称为直线的法向量.对于

直线不同时为0),则

.从而得,即向量与向量平行,与向量垂直,因此,向量是直线的一个方向向量,向量是直线的一个法向量.

【即学即练8】 直线的方向向量为（       ）

A． B． C． D．

【即学即练9】直线的法向量可以是（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练10】过与的交点，且平行于向量的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

◆考点01 判断直线的位置关系

【典例1】 直线与直线的位置关系是（       ）

A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直

【典例2】 直线：和直线：（）的位置关系是（       ）

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．重合

【典例3】 直线和直线的位置关系是（       ）

A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定

◆考点02 求与已知直线平行的直线方程

【典例4】若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【典例5】过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（       ）

A． B．

C．  D．

◆考点03 求与已知直线垂直的直线方程 

【典例6】 过点且与直线垂直的直线的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【典例7】

已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【典例8】设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______．

◆考点04 根据两直线平行或垂直求参数

【典例9】若直线：与：互相平行，则a的值是（       ）

A． B．2

C．或2 D．3或

【典例10】若两直线与平行，则实数a的值为______．

【典例11】 已知直线与直线互相垂直，则实数的值为__________.

◆考点05 直线方向向量的应用

【典例12】 已知直线经过两条直线：，：的交点，且直线的一个方向向量，则直线的方程是

A． B．

C． D．

【典例13】设直线：的方向向量是，直线：的法向量是，若与平行，则_________．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．若直线l的倾斜角等于，则下列向量中不是直线l的方向向量的是（       ）

A． B． C． D．

2．直线与直线平行，则m的值为（       ）

A．1或 B．1 C． D．2

3．从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线的方程为（     ）

A． B．

C． D．

4．“”是“直线与直线相互垂直”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知三个顶点分别为则边上的高所在的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

6．以,为端点的线段的垂直平分线方程是

A． B．

C． D．

二、多选题

7．已知直线，其中，下列说法正确的是（       ）

A．若直线与直线平行，则

B．当时，直线与直线垂直

C．直线过定点

D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等

8．已知直线和直线，则（       ）

A．始终过定点 B．若在x轴和y轴上的截距相等，则

C．若，则或2 D．若，则或

三、填空题

9．直线的法向量就是的法向量，则实数______．

10．过点且与直线垂直的直线方程为______．（用一般式表示）

四、解答题

11．过点且满足下列条件的直线的方程：

(1)平行于直线；

(2)垂直于直线；

(3)垂直于直线；

(4)平行于直线．

12．已知直线l与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．

13．已知点，求三条高所在直线的方程．

14．（1）已知直线l过点，且与直线（P不在上）平行，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为；

（2）已知直线l过点，且与直线垂直，其中A，B不全为0，求证：直线l的方程为．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

2．已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（       ）

A． B． C． D．

3．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（       ）

A． B． C． D．

4．设直线的方向向量为，的法向量为，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

6．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知直线与，则（       ）

A．与的交点坐标为

B．过与的交点且平行于直线的直线方程为

C．直线与坐标轴围成的三角形面积是直线与坐标轴围成的三角形面积的倍

D．过与的交点且垂直于直线的直线方程为

8．已知直角坐标平面内的两点、，则（       ）

A．直线的一般式方程为

B．线段的中垂线所在直线的方程为

C．以向量为方向向量且过点的直线的方程为

D．一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，则反射光线所在的直线方程为

三、填空题

9．若直线和直线重合，则实数的值为___________.

10．已知的两个顶点，，垂心是，则顶点C的坐标为________．

四、解答题

11．已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线BC的方程．

12．△ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程.

13．（1）已知直线，其中A，B不全为0，且直线，求证：直线的方程总可以写成；

（2）已知直线，其中A，B不全为0，且直线，求证：直线的方程总可以写成．

题组C  培优拔尖练

1．已知的三个顶点、，，若直线，且平分的面积，求直线的方程．

2．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．

(1)求直线AB的方程；

(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．

①角A的平分线所在直线方程为

②BC边上的中线所在的直线方程为

______，求直线AC的方程．

3．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：

（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；

（2）分别求和时，所对应的直线条数；

（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.