高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.4 两条直线的交点精品练习题

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第一章 直线与方程
第04讲 两条直线的交点

目标导航


课程标准
重难点
1.能用解方程组的方法求两直线的交点
2.掌握两直线相交的条件
1.两条直线交点的求解


知识精讲

知识点01 两条直线的交点
设两直线,直线
方程组的解
一组
无数组
无解
直线和的公共点个数
一个
无数组
零点
直线和的位置关系
相交
重合
平行

注意:
(1)将两直线方程联立解方程组, 依据解的个数判断两直线是否相交. 当方程组只有一解时, 两直线相交.
(2)设,则与相交的条件是
(3)设两条直线,则与相交.

【即学即练1】 过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由解得，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：，即．故选：A．

【即学即练2】 经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为；故选：D



知识点02 经过两直线交点的直线方程
经过两直线的交点的直线方程为 (除直线), 其中是待定系数.
证明: 假设为直线的交点,直线

表示过与交点的直线.

【即学即练3】
已知两条直线 和 的交点为.求:
(1) 过点与的直线方程;
(2) 过点且与直线垂直的直线方程.

【解析】
设过直线和交点的直线方程为 (除直线,即 (1).
(1) 把点代人方程(1), 化简得,解得.所以过两直线交点与的直线方程为 , 即.
(2) 由题意得方程 (1) 表示的直线与直线垂直,则, 解得,所以所求直线的方程为,即.


能力拓展

◆考点01 根据交点坐标求参数或取值范围
【典例1】直线 与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（       ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
【答案】C
【解析】
由直线 与直线互相垂直，可得 ，解得 或3，
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，
故实数a的值为 ，故选:C

【典例2】设点，，直线l过点且与线段AB不相交，则l的斜率的取值范围是（       ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】C
【解析】
直线方程为，即，直线方程为，由，解得，由，得，此时直线与线段有公共点，所以直线与线段不相交时，或．故选：C．


◆考点02 多直线交点个问题
【典例3】 若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（       ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【答案】C
【解析】
由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，
∵直线和直线不平行，
∴直线和直线平行或直线和直线平行，
∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，
∴或.故选：C.

【典例4】 若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数的取值情况是（       ）
A．只有唯一值 B．有两个不同的值
C．有三个不同的值 D．无穷多个值
【答案】C
【解析】
若三条直线，，将平面划分成6个部分，则其中有两条直线互相平行，第三条直线和这两条平行线相交，此时或；或者三条直线经过同一个点，联立解得则点（2，2）在直线上，此时．综上，或或，故选：C．

【典例5】 若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（       ）
A．或 B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.
①若，则由，得.
②若，则由，得.
③若，则由，得.
当时，与三线重合，当时，平行.
④若三条直线交于一点，由解得将的交点的坐标代入的方程，解得（舍去）或.所以要使三条直线能构成三角形，需且.故选：D.



◆考点03 求经过两直线交点坐标的直线系方程
【典例6】 过两直线和的交点和原点的直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为，即.

【典例7】 经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
解：设直线方程为，即
令，得，令，得.由，得或.
所以直线方程为或.故选：C.

【典例8】 原点到直线的距离的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为可化为，所以直线过直线与直线交点，联立可得
所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，此时最大值为，故选：C.




分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．过原点和直线与的交点的直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由可得，故过原点和交点的直线为即，故选：C.
2．已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
联立，解得，∴直线x﹣y+2＝0和2x+y+1＝0的交点为（﹣1，1），又直线l和直线x﹣3y+2＝0垂直，∴直线l的斜率为﹣3．则直线l的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），即3x+y+2＝0．故选：A．
3．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
直线恒过的定点，.
当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.
当时，直线的斜率为，则，
解得或，综上，.
故选：C

4．经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（       ）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
.当所求直线过原点时，直线方程为，即.
当所求直线不过原点时，设直线方程为，代入得，直线方程为.
所以所求直线方程为或.故选：D
5．若直线与直线交点在第一象限，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，，与平行，不合题意，∴.由题设，，解得，∴或.故选：C
二、多选题
6．与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（       ）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
【答案】BD
【解析】
对于A，联立，方程组无解，两直线平行；
对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交；
对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合；
对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交.
故选：BD.
7．已知两条直线，则下列结论正确的是（       ）
A．当时， B．若，则或
C．当时，与相交于点 D．直线过定点
【答案】ACD
【解析】
解：因为，对于A：当时，，则、，所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，解得或，当时，满足题意，当时，与重合，故舍去，所以，故B错误；
对于C：当时，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；
对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；
故选：ACD
8．已知直线，动直线，则下列结论正确的是（       ）
A．不存在，使得的倾斜角为90°
B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合
D．对任意的，与都不垂直
【答案】BD
【解析】
A：当时，，符合倾斜角为90°，错误；
B：过定点，而也在上，对任意的，与都有公共点，正确；
C：当时，，显然与重合，错误；
D：要使与都垂直则，显然不存在这样的值，正确.
故选：BD

三、填空题
9．已知直线与直线垂直，那么与的交点坐标是______________.
【答案】
【解析】
解：根据两条直线垂直的充要条件得：，解得，所以，与直线联立方程解方程得：，.所以与的交点坐标是.故答案为：
10．若直线经过直线和的交点，则___________.
【答案】
【解析】
由题意，直线，，交于一点，所以，得，
所以直线过点，得，求解得.故答案为：
11．若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中______．

【答案】
【解析】
如图所示，直线，过定点，与轴的交点，直线过定点，与轴的交点，由题意知，四边形的面积等于的面积和梯形的面积之和，所以所求四边形的面积为：，当时，所求四边形的面积最小.故答案为：


四、解答题
12．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值.
【答案】或
【解析】
【详解】由得：，即有一个交点，或；即或，解得：或.
13．若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
由得所以两直线的交点坐标为.又此交点在第四象限，
所以解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：
14．已知直线，，.
(1)若这三条直线交于一点，求实数m的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件.
【答案】(1)2； (2)当m≠2且m≠－2且m≠.
【解析】
(1)由解得，代入的方程，得m＝2.
(2)当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形．
①联立，解得，代入，得；
②当与平行时，，
当与平行时，．
综上所述，当且时，三条直线能构成三角形．

题组B 能力提升练
一、单选题
1．平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（       ）
A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值
【答案】C
【解析】
由题意可知，任意两条直线平行，且与第三条直线相交或三条直线相交于同一点即可，
因为直线与不平行，因此分三种情况：
①直线与直线平行，则；
②直线与直线平行，则；
③直线过直线与直线的交点，因为，所以，所以，
故实数k可能的取值是，
故选：C.
2．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（       ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
【答案】B
【解析】
已知与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以,即,并且，.
所以
得：即,
所以方程组有唯一解.
故选：B
3．若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立两直线方程得：，得，所以两直线的交点坐标为，因为两直线的交点在第一象限，所以得到，解得，即，
设直线的倾斜角为，则，所以，故选：D.
4．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为，故选：B
5．若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（       ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】C
【解析】
三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则；
若∥，则的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线和联立：，直线和交点为;
直线和联立：，直线和交点为;
三条直线相交于同一点两点重合或.
故实数的取值最多有个.故选:C


二、多选题
6．若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：
①若方程组无解，则两直线平行；
②若方程组只有一解，则两直线相交；
③若方程组有无数多解，则两直线重合．
其中说法正确的有（       ）
A．① B．② C．③ D．以上都不正确
【答案】ABC
【解析】
对于①，若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，故①正确；
对于②，若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，故②正确；
对于③，若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合，故③正确.
故选：ABC
7．设直线，，则下列说法错误的是（       ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
【答案】ACD
【解析】
解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误；
对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C：当且时，故C错误；
对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误；
故选：ACD
8．下列说法不正确的是（     ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．若三条直线，，能构成三角形，则的取值范围是不等于且不等于1
C．过，两点的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
【答案】BCD
【解析】
解：对于A，当时，，当时，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以A正确；
对于B，能构成三角形则需排除以下三种情况：（1）与平行，则；（2）与平行，则；（3）过与的交点，则.故的取值范围是不等于且不等于且不等于3.
所以B错误；
对于C，当或时，不能利用两点式求直线方程，所以C错误；
对于D，当直线的截距为零时，设直线方程为，则，所以直线方程为，当当直线的截距不为零时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，所以经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D错误.
故选:BCD.

三、填空题
9．已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
【答案】
【解析】
设直线l的斜率为，因为直线l过，
所以直线方程为，由，
由，由题意可知：是截得的线段的中点，所以，即，故答案为：
10．直线l：，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，若的面积为4，则满足条件的直线有______条．
【答案】3
【解析】
解：当时，显然不成立．当，对直线l：，
时，；时，，∴，，
∵，∴，解得或，∴共三条，
故答案为：3．
11．若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______．
【答案】
【解析】
依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或.
当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意.
当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意.
综上所述，的值为.
故答案为：

四、解答题
12．已知两直线，.
(1)求过，交点，且在两坐标轴截距相等的直线方程；
(2)若直线与，不能构成三角形，求实数的值.
【答案】(1)或 (2)或或
【解析】
(1)由，解得：
所以点的坐标为.
设所求直线为，（ⅰ）当直线在两坐标轴截距为不零时，
设直线方程为:，
则，解得，
所以直线的方程为，即.
（ⅱ）当直线在两坐标轴截距为零时，设直线方程为:
设直线方程为：，
则，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
(2)（ⅰ）当与平行时不能构成三角形，此时：，解得；
（ⅱ）当与平行时不能构成三角形，此时：
，解得；
（ⅲ）当过的交点时不能构成三角形，此时：
，解得.
综上，当或或时，不能构成三角形.
13．已知直线l1: x＋y－1＝0，直线l2: 2x－y＋3＝0，求直线l2关于直线l1对称的直线l的方程．
【答案】.
【解析】由解得所以直线l过点P.
又显然Q(－1, 1)是直线l2上一点，设点Q关于直线l1的对称点为Q′(x0, y0)，
则解得     即Q′(0, 2)．
因为直线l经过点P, Q′，
所以由两点式得它的方程为.
14．已知直线l：.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l被两平行直线：与：所截得的线段AB的中点恰好在直线上，求的值.
【答案】(1)证明见解析； (2).
【解析】
(1)由已知：，即，
令，解得：x=1，y=4，
∴直线l恒过定点(1,4).
(2)设直线，分别与直线交于C，D两点，
由，解得C，
由，解得D，
∴CD的中点M的坐标为(－2,－2)，
不妨设A在直线上，B在直线上，则△AMC≌△BMD，即MA=MB，故M(－2,－2)为AB的中点，
将M代入直线l的方程得：，解得·





题组C 培优拔尖练
1．两条直线和的交点的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
联立，解得由得将代入
可得．故选：A
2．直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
【答案】(1)证明见解析，，
(2)时，取得最大值
【解析】
(1)在直线的方程中，令可得，则直线过定点，
在直线的方程中，令可得，则直线过定点；
(2)联立直线、的方程，解得，即点.
，，
，所以，；
且，因此，当时，取得最大值，即.
3．已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式.
【答案】证明见解析
【解析】
设点 ，
因为直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，
所以有，，
故成立，
即说明点在直线上；
下面只需证明过点的直线的斜率可以取任意值或斜率不存在；

可变为，即该方程表示的是一条直线，
不可能同时为零，否则不相交，则一定存在 使得，
此时表示过P斜率不存在的直线；
当时，该直线斜率 ，m,n不能同时为0，总存在m,n使得取到任意实数，
故综合上述：过点P的直线可以写成 的形式 .