高中苏教版 (2019)1.5 平面上的距离优秀一课一练

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第一章 直线与方程
第05讲 平面上的距离

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课程标准
重难点
1.探索并掌握两点间的距离公式
2.探索并掌握点到直线的距离公式.
3.会求两条平行直线间的距离.

1.点到点的距离计算
2.点到直线距离计算
3.直线与直线间的距离

知识精讲

知识点01 平面上两点的距离
1.两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地,原点到任意一点的距离为.
注意:
1.在公式中,和的位置没有先后之分,即和间的距离也可表示.
2.当平行于轴时,
当平行于轴时, .
2.中点坐标公式
若,则线段的中点的坐标计算公式为.

【即学即练1】若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】线段的中点为，设，所以，所以.故选：A

【即学即练2】已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设边的中点为.因为，，所以，，即，所以，故选：B.

知识点02 点到直线的距离
1.点到直线的距离公式
点到直线不同时为零)的距离.
注意:
1.点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离(这是从运动观点来看的).
2.若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离.
3.点到直线的距离公式适用于任何情况,其中点在直线上时,它到直线的距离为0 .

2.两条平行线之间的距离公式
两条平行直线和间的距离.
【即学即练3】已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（       ）
A．6 B．3 C．4 D．7
【答案】B
【解析】由直线方程变形为：，由，解得，所以直线恒经过定点，故点到直线的距离是，故选：B.

【即学即练4】若直线与直线平行，则它们之间的距离是（       ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由直线与直线平行，可得，解之得.则直线与直线间的距离为,故选：B

【即学即练5】已知点，直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点到直线的距离，当时，，当时，，恒有，于是得，综合得，所以点P到直线l的距离的取值范围是.故选：C

知识点03 求线段垂直平分线方程
已知,求线段的垂直平分线的方程的方法如下:
1. 利用两直线斜率之间关系及中点坐标公式
(1) 线段的中点的坐标为;
(2) 当时,求直线的斜率;
(3) 线段的垂直平分线的斜率;
(4) 线段的垂直平分线的方程为

2.利用线段垂直平分线的性质及两点间距离公式.
取线段的垂直平分线上的任一点,则,即 ,整理后就得到直线的方程.

【即学即练6】已知，则线段AB的垂直平分线的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，所以．即：，化简得：．故选：．

【即学即练7】已知两点,求线段的垂直平分线的方程.
【解析】解法一:线段的中点的坐标为;直线的斜率,则线段垂直平分线的斜率, 所以线段的垂直平分线的方程为,即.
解法二: 取线段的垂直平分线上任一点, 设,则, 即 , 整理得,这就是线段的垂直平分线的方程.

知识点04 点与直线的对称问题
1.点关于直线的对称问题
点关于点的对称点的问题,主要依据两项原则:
①是线段的中点.
②与点所在的直线相互垂直.
设点关于直线的对称点为,则可求
【即学即练8】点关于直线的对称点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为.故选：A.

【即学即练9】 已知在中，其中，的平分线所在的直线方程为，则A点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知点B关于直线的对称点在直线上，设为，则，解得，即，则直线AC方程为，，即，联立，解得，即.故选：B.

2.直线关于点的对称问题
求直线关于点对称的直线的步骤:
(1) 在上任取一点;
(2) 求关于的对称点;
(3) 将的坐标代人直线的方程,化简得所求的方程.

【即学即练10】直线关于点对称的直线方程是（       ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设为所求直线上任意一点, 则点关于的对称点为,此点在直线 上,代人可得所求直线方程为.答案: D

【即学即练11】直线与直线关于原点对称，则的值是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则
∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点∴a＝﹣1，b＝﹣9故选A．

3.直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称有两种类型:
(1)若已知直线与对称轴相交于点,则交点必在关于对称的直线上,再求出上除点外任意一个已知点关于对称的点,那么经过交点及点的直线就是.
(2)若已知直线与对称轴平行,则关于对称的直线到直线的距离和到直线的距离相等,由平
行直线系和两条平行直线间的距离公式即可求出关于对称的直线.

【即学即练12】求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（       ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【解析】设对称直线方程为，，解得或（舍去）.所以所求直线方程为.故选：B

【即学即练13】两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，，则，解出点在直线上，将式代入，得，化简得，即为关于对称的直线方程．故选：C

【即学即练14】
(1)已知直线,直线. 若直线关于直线对称的直线为,求直线的方程;
(2)已知直线.若直线与关于对称,求直线的方程.

【解析】(1) 解法一:易知,所以,设直线且.因为直线关于直线对称,所以与与间的距离相等.由两平行直线间的距离公式得,解得或 (舍去).所以直线的方程为.

解法二:由题意知,设直线且.在直线上取点,设点关于直线的对称点为,
于是有解得即.把代人的方程,得,
所以直线的方程为.
(2)因为直线与关于对称,且由已知得与相交, 所以直线与的交点在直线上,由解得则直线与的交点为.在直线上任取一点,则它关于直线对称的点为, 且点在直线上,由A, B两点坐标可知,直线的方程为,即.

4.光线反射问题
光的反射问题,在这里主要是研究一条光线经过点射到直线上,然后反射经过点,求人射光线或反射光 线所在直线方程等问题,关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线对称, 然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.

【即学即练15】
已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】可得关于x轴的对称点为，则在反射光线上，又反射光线经过点，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选：D.

【即学即练16】
若入射光线所在直线的方程为，经直线反射，则反射光线所在直线的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对直线，令，解得，设，关于直线的对称点为，
则，解得，即，对直线，令，解得，设，关于直线的对称点为，则，解得，即，
，直线：，即.故选：C


知识点05 有关直线的数形结合思想求最值与范围
1.利用距离的几何意义求最值
两点之间,线段最短,常用此结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边,常用此结论来求距离差的最大值.

【即学即练17】
已知直线 及点 ,
(1) 试在直线上求一点,使最小;
(2) 试在直线上求一点,使||最大
【解析】(1)如图(1),设点关于的对称点为,则,且,解得,故,所以直线的方程为.由得,此时取得最小值.

(2)如图(2),设点关于的对称点为,则,且,解得,故,所以直线的方程为.由得,此时||取得最大值.

2.函数转化为两点之间的距离求最值

【即学即练18】
求函数的最小值。
【解析】即转化为, 设点
, , 求的最小值, 即在轴上找一点
, 使它到的距离之和最小,进一步由镜面反射原理,找出
点关于轴的对称点, 当处于与轴交点时取得最小
值,所以 ,即。

【即学即练19】
求的最小值.
【解析】将变形为则表示坐标轴上一点点到和点的距离之和.将军饮马问题,作图求最值.关于轴对称点的坐标为,连接,的值即为点点到和点的距离之和的最小值.通过计算得最小值为.

【即学即练20】
求的最大值.
【解析】将变形为则表示坐标轴上一点点到和点的距离之差的最大值.当,,三点共线时,取最大值.最大值为的距离.根据勾股定理,最大值为5.






能力拓展

◆考点01 由点到直线的距离求参数或范围
【典例1】已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线上存在一点P，使得，所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，即k的取值范围是.故选：C
【典例2】已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】点到直线的距离为，由题意得坐标原点到直线距离，，所以，解得所以k的取值范围为.故选：C.

◆考点02 距离相等问题
【典例3】 已知直线，若点到直线的距离相等，则实数的值为（       ）
A． B．4 C．或 D．2或4
【答案】C
【解析】∵直线与两点距离相等，∴直线与平行，或过线段的中点，若直线与平行，则，，若直线过线段的中点，中点坐标是，∴，，综上或．故选：C．
【典例4】 已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（       ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】A
【解析】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，根据点，到直线的距离相等，得，解得或，故直线的方程为或.故选：A.
【典例5】已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（       ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：C

◆考点03 点关于直线对称问题
【典例6】已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设点，因为点与点关于直线对称，所以，解得，所以.故选：B
【典例7】点关于直线对称的点坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点关于直线对称的点坐标为，由题意可得：解得：，所以点关于直线对称的点坐标为，故选：A．
【典例8】点关于直线对称的点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点关于直线对称的点的坐标.则中点的坐标为，，
利用对称的性质得：，且，解得：，，点的坐标，
故选：D

◆考点04 直线关于点对称问题
【典例9】直线关于点对称的直线方程（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设所求直线上任一点为，其关于点对称的点为，因为点在直线上，所以，化简得，所以直线方程为，故选：B
【典例10】直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（       ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【答案】C
【解析】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，所以，，所以，，将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
【典例11】直线关于点对称的直线方程是______．
【答案】
【解析】设对称直线为，则有，解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中故答案为：

◆考点05 直线关于直线对称问题
【典例12】直线关于直线对称的直线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：联立方程得，即直线与直线的交点为.设直线的点关于直线对称点的坐标为，所以，解得 所以直线关于直线对称的直线过点，.所以所求直线方程的斜率为，所以所求直线的方程为，即故选：C
【典例13】若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为直线：与：，所以，又两条平行直线：与：之间的距离是，所以解得
即直线：，：，设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得，故所求直线方程为，故选：A

【典例14】直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程为（       ）
A．x－3y＋14＝0 B．x＋y－2＝0 C．x＋2y－6＝0 D．2x－y+8＝0
【答案】C
【解析】解方程组得直线l1与直线l的交点.在直线l1上取一点B(2，0)，设点B关于直线l的对称点为C(x，y)，则解得，即C(－2，4).又直线l2过和C(－2，4)两点，故由两点式得直线l2的方程为，即x＋2y－6＝0.故选：C.

◆考点06 求直线垂直平分线模型
【典例15】已知点，则线段的垂直平分线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线的斜率为，线段的中点坐标为 ， 则线段的垂直平分线的方程为，整理为.故选：B
【典例16】已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，所以
．即：，
化简得：．故选．
【典例17】已知点，，线段的垂直平分线与x轴相交于点P，则的值为（       ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】线段AB的中点坐标为，线段AB所在直线的斜率．线段AB的垂直平分线方程为．令，得．解得，因此，．.故选：D

◆考点07 求直线角平分线模型
【典例18】已知直线与的夹角平分线为，若直线方程为，那么直线的方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线与的夹角平分线为，所以直线与直线关于对称，在直线上任取一点，关于的对称点为，所以 ，解得 ，代入，得：故选：C
【典例19】已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
【答案】2x－y＋3＝0
【解析】点A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．

设A1(x1，y1)，则有
解得所以A1(0，3)．同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.故答案为：2x－y＋3＝0

◆考点08 光线反射问题
【典例20】光线沿着直线射到直线上．经反射后沿着直线射出，则有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，直线与直线关于直线对称，在直线上任取一点关于直线对称的点为，将代入，可得，可得，在上任取一点，则关于直线对称的点为，将代入，即，所以.故选：B．
【典例21】若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设A关于直线的对称点为，

则，解得，即，设关于直线的对称点为，
则，解得，即，∴直线的方程为：代入，可得，故.故选：C.

◆考点09 数形结合求范围与最值
【典例22】已知点和点，P是直线上的一点，则的可能取值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：直线l：与轴的交点为 ，且倾斜角为 因为，所以轴，所以直线l为 的角平分线,所以关于直线l：的对称点在轴上，设为点，则所以直线l为的中垂线，则,所以,连接,当三点共线时，最小.此时的最小值为故选: D．

【典例23】已知实数x，y满足，则的最小值为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】，它表示与直线的动点连线段的长，其最小值为到直线的距离.又该距离为，故选：A.
【典例24】（1）已知实数对满足，求的最小值；
（2） 求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）表示点到点的距离，而点在直线上，所以其最小值为；
（2）表示到和的距离之和，与点关于轴对称，，当且仅当是与轴交点时取等号，即时取等号．所以的最小值是．



分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知点M(2，4），N(6，2），则线段MN的垂直平分线的方程是(　   　）
A．x+2y-10=0 B．2x-y-5=0 C．2x+y-5=0 D．x-2y+5=0
【答案】B
【解析】由题得MN的中点坐标为（4,3），由题得所以MN的垂直平分线的斜率为2，
所以MN的垂直平分线的方程为y-3=2(x-4),即：2x-y-5=0故选:B
2．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【解析】直线化为，则两直线之间的距离，即，
解得.所以实数的取值范围为.故选：B.
3．若直线与平行，则与间的距离为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵直线与平行，∴且，解得．∴直线与间的距离．故选：B．
4．已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（       ）
A．或3 B．或4 C．或5 D．或2
【答案】A
【解析】由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.故选：A.
5．点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（       ）．
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】因为点到直线和直线的距离相等，所以，化简得：或，故选：A
6．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，解得：，即的取值范围为.故选：B.
7．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
方法一:由得，即直线l过点(1，2)．设点Q(1，2)，因为PQ＝＞2，所以满足条件的直线l有2条．
方法二:依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或，
代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故选：C.
8．光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点关于轴的对称点为，则光线从到经过的路程为的长度，即.故选：C

9．已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（       ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】将代入直线方程，得，所以直线必过定点，
故点到直线的距离的最大值为.故选:C
10．直线关于对称的直线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，
则，整理可得：，，即直线关于对称的直线方程为：.故选：A.
11．已知，，点为直线上的动点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，点为直线上的动点，设点关于直线的对称点为，则，解得，，，，当，，共线时，的最小值为：．故选：C．
12．点关于直线对称的点坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点关于直线对称的点坐标为，由题意可得：解得：，所以点关于直线对称的点坐标为，故选：A.
13．已知直线l上两点A，B的坐标分别为，，且直线l与直线垂直，则的值为（       ）．
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】由题意，直线的斜率为，因为直线l与直线垂直，则直线l的斜率存在，根据直线l上两点的坐标分别为，，可得，则，解得，所以．故选：B．
14．已知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知直线和直线关于直线对称．设点关于直线的对称点为，则有，即．因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即．故A正确．

二、填空题
15．两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且
由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．故答案为：．
16．已知直线与，其中k､.若直线，则与间距离的最小值是___________.
【答案】
【解析】因为与，且，所以，得，
所以直线，即，所以与间距离为，
所以当时，取得最小值故答案为：
17．已知实数a，b满足，则的最小值为___________.
【答案】5
【解析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和.如图，设点N关于直线对称的点为，

则，解得，当三点共线时，最小，即最小
所以的最小值为.故答案为：5.

三、解答题
18．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程．
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点为，则反射光线所在直线过点，
所以，解得，，即，又反射光线经过点，所以，
所以所求直线的方程为，即．故答案为：.
19．已知点和点．
（Ⅰ）求线段的垂直平分线的直线方程；
（Ⅱ）若直线过点，且，到直线的距离相等．求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
（Ⅰ）因为点和点．所以线段的中点坐标为：，即 ，直线的斜率为：，因此直线的垂线的斜率为：，因此线段的垂直平分线的直线方程为：，化简得：；
（Ⅱ）设直线存在斜率，设为，因为直线过点，所以直线的方程为：，又因为，到直线的距离相等，所以有，
即；
当直线不存在斜率，因为直线过点，所以直线的方程为：，因为点和点到直线的距离都是3，所以符合题意.因此直线的方程为：或.
20．已知直线，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线对称的直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)解：因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，，
直线，
解得，所以，
(2)解：设直线与直线的交点为，
联立直线与直线，，解得，所以；在直线上取一点，如，
则关于直线的对称点必在直线上，设对称点，则，解得，所以，经过点，所以所以直线的方程为整理得．
(3)解：设直线关于点对称的直线的点的坐标为，关于点对称点为，在直线上，代入直线方程得：，所以直线的方程为：．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】，，所以，且的中点为，若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为，即，则到直线的距离，即，解得或；所以直线为或；
若直线与平行，设直线为，则到直线的距离，解得或，所以直线为或；综上可得满足条件的直线有4条；故选：D
2．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（       ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解析】如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，则P的坐标为，Q的坐标为，则．

当A与B重合于坐标原点O时，；
当A与B不重合时， ．综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10．故选：A
3．设a，b分别表示直线l在x轴和y轴上的截距，k为l的斜率，p为原点到l的距离，且，则有（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，直线的截距式方程为，斜截式方程为，由点到直线的距离公式，得.又与表示同一条直线，所以.将代入，得，即.故选：A.
4．设两条直线的方程分别为,,已知是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知得两条直线的距离是，因为是方程的两个根，所以，
则，因为，所以，即.故选：C
5．如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为、、，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点反射到边AB上，再由AB上的点反射回到BC边上的点停止，则光线的斜率的范围为（       ）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
入射角等于反射角，把以为轴进行翻折，使点落到，再以为轴，把进行翻折，使点落到，如图：

由光的反射原理，若或，则光线反射到边后不会反射到边上，光线的斜率满足，，，，，
是等边三角形，由翻折可得，直线的斜率，直线的斜率，光线的斜率的范围为.故选：A
6．已知直线，以下结论不正确的是（       ）
A．不论a为何值，与都互相垂直
B．当a变化时，与分别经过定点和
C．不论a为何值，与都关于直线对称
D．若与交于点M．则的最大值是
【答案】C
【解析】
对于A，恒成立，所以与互相垂直恒成立，故A正确；
对于B．直线，当a变化时，恒成立，所以恒过定点；，当a变化时，恒成立，所以恒过定点，故B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入，则等式左边不恒等于0，故C不正确；
对于D．联立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正确．
故选：C．

二、多选题
7．已知的三个顶点分别是，，，下列结论正确的是（       ）
A．边所在直线方程为 B．边的垂直平分线方程为
C． D．的面积是5
【答案】ABD
【解析】
解：对A，由，可得边所在直线方程为：，化简得：，故A正确；
对B，由，可知的中点坐标为，且，所以的垂直平分线的斜率为，所以边的垂直平分线方程为，化简得：，故B正确；
对C，由，可得，故C错误；
对D，由选项A和C可知，，边所在直线方程为，又，所以点到直线的距离为，所以，故D正确.故选：ABD.
8．下列说法中，正确的有（       ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于对称的直线方程是
D．点到直线的的最大距离为
【答案】BD
【解析】对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；
对于B选项，令得，所以直线在轴上的截距为，正确；
对于C选项，由于点关于直线对称的点为，所以直线关于对称的直线方程是，故错误；
对于D选项，由于直线，即直线过定点，所以点到直线的的最大距离为，故正确.故选：BD

三、填空题
9．直线是的一个内角平分线所在的直线，若A，B两点的坐标分别为，则点C的坐标为___________.
【答案】
【解析】易知点A，B不在直线上，因此直线为的平分线所在的直线.
设点关于的对称点为，则，线段的中点的坐标为，
则解得即.
∵是的平分线所在的直线，
∴点在直线上，直线的方程为，即.由得
故点C的坐标为．故答案为：．
10．已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
如图，过B点作倾斜角为的一条直线，过点P作于，则，即，所以，A到直线的距离，
因此的最小值为.故答案为：

11．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为______.

【答案】
【解析】
解：建立如图所示的直角坐标系：

可得，故直线的方程为，
可知的重心为，即，
设，其中，
则点关于直线的对称点，满足，
解得：，即，关于轴的对称点，由光的反射原理可知，，，四点共线，直线的斜率为，故直线的方程为，由于直线过的重心，代入化简可得，解得：或（舍去），故，故，所以.故答案为：.

四、解答题
12．求函数的最小值．
【答案】
【解析】
因为，所以为点和之间的距离与和之间的距离之和，即
如下图：

由三角不等式可知，，当且仅当点、、三点共线时，有最小值.即的最小值为.故答案为：.
13．已知四边形为平行四边形，、，为边的垂直平分线与轴的交点.
（1）求点的坐标；
（2）一条光线从点射出，经直线反射，反射光线经过的中点，求反射光线所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）如图，设中点为，则，由的垂直平分线与轴交于点，可知，
，，所以，直线的方程为，即.令，则，点的坐标为.又四边形为平行四边形，设，
，即，，，即点的坐标为；
（2）由（1）知，直线的方程为，如图，设点关于直线的对称点为，

则，整理可得，解得，，又的中点的坐标为，因此，反射光线所在直线的方程为.
14．在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为.
(1)设点，线段，求；
(2)设､､，线段，线段，若点是上的动点，请将表示成x的函数.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)解：可设，
则，
当时，，
所以；
(2)解：线段所在直线的方程为，
线段所在直线的方程为，
过点且垂直于线段的直线方程为，即，
联立，解得，因为点是上的动点，所以，
当时，点到线段的最短距离即为点到线段所在直线的距离，
此时，
当时，点到线段的最短距离即为点到线段上的点的最短距离，
此时，
综上所述，.



题组C 培优拔尖练
1．在中，，，，D是边上的点，关于直线的对称点分别为，则面积的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：在中，，，可得为直角三角形，且，则以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立如图所示的直角坐标系．

则，，，设，则直线，即．
设与AD交于点E，则，又因为直线，即．此时C到直线BE的距离为，所以，到的距高为，则所求面积，因为，所以当时，，当时，．所以当时，，故选：A．
2．已知正方形的边长为，两个不同的点M，N都在的同侧（但M和N与A在的异侧），点M，N关于直线对称，若，则点到直线的距离的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，，所以直线的方程为，直线的方程为，设，关于对称点，
则，解得，即，
所以，，当，则，，
此时，此时不成立，所以，
所以，即，所以，
又、在的同侧，所以，即，即，所以，即点到直线的距离的取值范围为；

故答案为：
3．设、、、，过点D引直线l分别交线段AB和线段AC于P、Q两点，试将的面积S表示为直线l的斜率k的函数式，并求S的取值范围．
【答案】，;
【解析】
若直线与线段有交点，且和不重合，则满足：，
由于：，
故：，设直线的方程为：，即：，由于直线；直线，联立，得到：，即，
同理：得：，所以：，，
原点到直线的距离，，
所以：，
所以：，，
由于，故.
4．已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为λ，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点．
(1)已知，是一组“共轭线对”，且直线，求直线的方程；
(2)已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)由已知得，且，∴，∴直线的方程为．
(2)设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，，，
则解得或
又三条直线的倾斜角均为锐角，所以，，，
故直线PR的方程为，直线PQ的方程为，联立可得．
(3)设，，其中，原点O到直线，的距离分别为，，
则
．由于（等号成立的条件是），故，．