【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第06讲 圆与方程 讲义

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第二章 圆与方程
第01讲 圆的方程

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课程标准
重难点
1.掌握圆的定义及标准方程;
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.
1. 圆的标准方程与一般方程的转化
2. 圆成立的条件

知识精讲

知识点01 圆的标准方程
1.圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合
叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．

(3)圆的标准方程:圆心为,半径为的圆的标准方程是.
圆心在坐标原点,半径为的圆的标准方程是.
【即学即练1】 圆心为，半径为的圆的方程是___________.
【答案】
【解析】因为圆心为，半径为，所以圆的标准方程为：，
故答案为：.
【即学即练2】顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】
设圆的标准方程为，因为过点，，
所以 解得
则圆的标准方程为故答案为：

【即学即练3】根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)圆心为，半径为5；
(2)圆心为，半径为；
(3)圆心为，半径为；
(4)圆心为，半径为3.
【解析】(1)解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为5；
(2)解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为；
(3)解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为；
(4)因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为3.
知识点02 圆的一般方程
1.圆的一般方程
叫作圆的一般方程.

由此可得圆心,半径.
注意:
(1)当时,方程表示圆.圆心为,半径为;
(2)当时,方程表示一个点 ;
(3)当时,方程没有实数解,它不表示任何图形(没有轨迹).
2.几种特殊位置的圆的方程
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点


过原点


圆心在轴上


圆心在轴上


与轴相切



与轴相切



与,轴都相切




圆心在轴上且过原点


圆心在轴上且过原点


【即学即练4】 圆的圆心坐标和半径长依次为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】圆化为标准方程为,所以圆心坐标为，半径为.故选：D.

【即学即练5】 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，方程，变形为，当且仅当，即时，原方程表示圆，解得，则的取值范围为．故选：A.

【即学即练6】已知，，，则的外接圆的一般方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
设外接圆的方程为：，由题意，得解得即的外接圆的方程为．故选：C
【即学即练7】方程表示的图形是半径为的圆，则该圆圆心位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
方程 表示的图形是半径为的圆，
，求得，
故圆心，在第四象限，故选：D．

知识点03 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系分三种:点在圆上,点在园内,点在圆外.
圆的标准方程为,圆心为,半径为;圆的一般方程为 .平面内一点.
位置关系
判断方法
几何法
代数法(标准方程)
代数法(一般方程)
点在圆上



点在圆内



点在圆外




【即学即练8】已知圆的方程是，则点（       ）
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
【答案】C
【解析】
因为，所以点P在圆内．故选：C．
【即学即练9】两个点、与圆的位置关系是（       ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【答案】D
【解析】
将代入方程左边得，则点在圆内，
将代入方程左边得，则点在圆外，
故选：D.
【即学即练10】已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，表示圆,故，即或
点A（1，2）在圆C：外故，即
故实数m的取值范围为或,即.故选：A
【即学即练11】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为点在圆的内部，则，解得：.故选：D.





知识点04 求圆的轨迹方程
轨迹方程是指动点的坐标满足的关系式, 求轨迹方程即求与,有关的等式.
求轨迹方程常用的方法有:直接法;定义法;代人法.
1. 直接法
它可分为五个步骤:(1)建系,(2)找出动点满足的条件,(3)用等式表示此条件,(4)化简,(5)验证.
【即学即练12】已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．
若，求线段中点的轨迹方程．
【答案】

【详解】
设线段中点坐标为，
因为，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
化简得.

2. 定义法
若动点的轨迹满足某种曲线的定义,则可根据定义直接写出动点的轨迹方程, 这种求轨迹方程的 方法叫做定义法.
【即学即练13】自引圆的割线ABC,求弦BC的中点的轨迹方程.
【详解】
通过几何关系知,取的中点,则,
由圆的定义知,为圆心,的轨迹方程是).

3. 代入法
也称相关点法,它用于处理一个主动点 与一个被动点的问题, 只需找出这两点坐标之间的关系, 然后代人主动点满足的轨迹方程即可.
【即学即练14】圆C过点，且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．
【答案】
（1）
（2）
【详解】
（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1．
的中点，因此，直线m的方程为．即．
联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是．
（2）设线段的中点，则，解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为．


知识点05 阿波罗尼斯圆
在平面上给定相异两点A、B,设点在同一平面上且满足, 当且时,点的轨迹是圆, 这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.



【即学即练15】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵，即,设，则，整理得,故选：B．
【即学即练16】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（       ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】
设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．

设，∵，∴，两边平方并整理得，即．要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，
此时面积为．故选：C.
【即学即练17】阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是___________．
【答案】
【解析】
设，即，整理得：即．
故答案为：．




能力拓展

◆考点01 一般方程与标准方程的转化
【典例1】已知圆方程的圆心为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为，即，所以圆心坐标为；
故选：C
【典例2】圆的圆心和半径分别是（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.
【典例3】已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（       ）．
A．， B．，10
C．， D．，10
【答案】C
【解析】将圆的一般式方程化为标准方程得，
所以圆心为，半径为.故选：C

◆考点02 方程表示圆的条件
【典例4】若方程表示圆，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为方程，可变形为，因为方程表示圆，则，解得：或，所以的取值范围是.故选：C.
【典例5】若方程表示圆，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
方程化为标准式得,，则.故选：D.
【典例6】若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.
【典例7】方程表示的曲线是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：对两边平方整理得，所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足.故选：A

◆考点03 求圆的一般方程
【典例8】已知，则的外接圆的一般方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
设外接圆的方程为：，由题意可得：，解得：，
即的外接圆的方程为：．故选：C.
【典例9】以，为直径的圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
中点为，，所以以，为直径的圆的圆心为，半径为，所以圆的标准方程为，
整理得：，所以以，为直径的圆的方程为，故选：A
【典例10】过三点，，的圆交轴于，两点，则（       ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【解析】
设圆的方程为，
则，
解得：，，，
所以圆的方程为：，
令，可得，解得：，
，
故选：C.
【典例11】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
线段的中点坐标为，直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，即.
由，解得.
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，即.
故选：C.

◆考点04 点与圆的位置关系
【典例12】点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是（       ）
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
【答案】A
【解析】
由于点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，
所以－1＜a＜1.故选：A
【典例13】已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由点在圆外知，即，解得，又为圆，则，解得，故.故选：D.
【典例14】若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由圆，可知圆，∴，
又∵直线，即，恒过定点，
∴点在圆的内部，
∴，即，
综上，.故选：A.

◆考点05 圆的对称性问题
【典例15】已知圆关于直线对称的圆的方程，则圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为圆的圆心为，设关于的对称点，
则，解得，即圆C的圆心为，半径为1，所以方程为.
故选：C
【典例16】以下直线中，将圆平分的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
方程可化为，故圆心坐标为.
若直线平分该圆，则点必在直线上.
，点在直线上，故A正确；
，点不在直线上，故B错误；
，点不在直线上，故C错误；
，，点在直线上，故D正确.
故选：AD.
【典例17】圆关于直线对称的圆的方程是______．
【答案】
【解析】
由题意得圆的圆心为，半径为1，设圆心关于直线的对称点为，所以，解得，所以圆的方程为.故答案为：

◆考点06 轨迹问题
【典例18】已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
圆即,半径因为,所以又是的中点,所以所以点的轨迹方程为故选：B

【典例19】当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】
设，
则由中点坐标公式可得，代入得
整理得P的轨迹方程为.
故答案为：
【典例19】等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？
【答案】（点和除外）；
点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点．
【解析】
设另一端点C的坐标为，依题意，得，
由两点间距离公式，得,
化简，得，
因为A、B、C三点不共线，而的方程为，
联立或，
故点C的轨迹方程为（点和除外）,
点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点．



分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．若点不在圆的外部，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由已知得，解得，∴，即．故选：.
2．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，圆心，圆的直径为，半径为.所以圆的方程为，即 ，故选：B
3．当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
直线，当时，，故直线恒过点，所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为，化简得圆的一般方程为：.故选：C.
4．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，
所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为.故选：A
5．若一动点在曲线上移动，则它和定点的连线的中点的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：设动点的坐标为，点的坐标为，则，，即，．
又动点在曲线上，∴，∴，即为点的轨迹方程．故选：C
6．若实数满足，则的最大值是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，表示以为圆心，3为半径的圆.
表示以圆上的任意一点到两点间距离，的最大值即为
故选：A

二、多选题
7．已知圆，下列结论中正确的有（       ）
A．若圆过原点，则 B．若圆心在轴上，则
C．若圆与轴相切，则 D．若圆与轴均相切，则
【答案】ACD
【解析】
对于A，若圆过原点，则，即，A正确；
对于B，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B错误；
对于C，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，
，C正确；
对于D，若圆与轴均相切，由C知：，D正确.
故选：ACD.
8．若是一个圆的方程，则实数m可取的值有（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【解析】
由题意得，解得．
故选：BCD．

三、填空题
9．求圆关于点对称的圆的方程为___________.
【答案】
【解析】
圆化为标准方程为：.所以，半径.
故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D.由中点坐标公式求得: ,
所以对称圆的方程为：.故答案为：
10．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：因为方程表示一个圆.所以，，即，解得或.所以，实数的取值范围是 故答案为：
11．若直线与的交点在圆上，则k的值是______．
【答案】
【解析】
联立，得，即直线与的交点为，
因为两直线的交点在圆上，所以，解得.
故答案为：.
12．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.
【答案】
【解析】，，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：故答案为：

四、解答题
13．下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．
(1)；
(2)．
【答案】(1)不是
(2)答案见解析
【解析】
(1)圆的标准方程为，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R半径为r(r>0).
因为-5<0，所以方程不是圆的方程.
(2)圆的标准方程为，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R，半径为r(r>0).
当k>0时，方程表示圆心为(-1，1)，半径为的圆的方程；
当k=0时，方程表示点(-1，1)，不表示圆的方程；
当k<0时，方程无解，不表示圆的方程.
14．判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)在圆上，理由见解析；
(2)在圆外，理由见解析；
(3)在圆内，理由见解析.
【解析】
(1)解：因为圆的标准方程为，又，
所以点在圆上；
(2)解：因为圆的标准方程为，又，
所以点在圆外；
(3)解：因为圆的标准方程为，又，
所以点在圆内.
15．根据下列条件，求圆的方程：
(1)圆经过，两点，且圆心在直线上；
(2)圆经过，，三点.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)的中点为，直线的斜率为，
线段的中垂线方程为，即．
联立方程组，解得，，即所求圆的圆心，
圆的半径，
圆的方程为．
(2)设圆的方程为，
圆过点，，，
解得，，，
圆的方程为．
16．直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】
设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．
∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．
解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．
17．求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在上且过两点､；
(2)圆心在直线上，且与直线切于点；
(3)圆心在直线上，且与两坐标轴都相切.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】
(1)设圆的标准方程为： ，
则由题意得： ，解得 ，
故圆的标准方程为：；
(2)设圆的标准方程为：，
则，且 ，即，
将点代入圆的方程中得：，
解得： ，
故圆的标准方程为：；
(3)设圆的标准方程为： ，
则，且 ，
解得 或，
故圆的标准方程为：或.


题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，圆的方程，可化为，
根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），
此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，
由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，
所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，
所以直线l的方程为：，化简得：，
故选A
2．已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又点B是圆x2+y2＝1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即
故选：A.
3．已知，，点是圆上的动点，则的最小值为（       ）
A．9 B．14 C．16 D．26
【答案】D
【解析】
设为坐标原点，，
则.
圆的圆心为，半径为，，
所以的最小值为，所以的最小值为26.故选：D.
4．已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（       ）.
A．9 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【解析】
解：圆 即，表示以为圆心，半径等于的圆．
由于直线经过圆的圆心，故有．

当且仅当时，取等号，
故的最小值为，
故选：．
5．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（       ）
A． B．5 C． D．10
【答案】A
由题意直线过已知圆的圆心，圆心为，∴，即，
点在直线上，
表示直线的点到点的距离，
∴最小值为．
故选：A．
6．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，的垂直平分线方程为，
又外心在欧拉线上，
联立，解得三角形的外心为，
又，
外接圆的方程为．
设，则三角形的重心在欧拉线上，即．
整理得．
联立，解得或．
所以顶点的坐标可以是．
故选：．

二、多选题
7．已知圆的方程是．则下列结论正确的是（       ）
A．圆的圆心在同一条直线上
B．方程表示的是等圆
C．圆的半径与无关，是定值
D．“”是“圆与轴只有一个交点”的必要不充分条件
【答案】ABC
【解析】
可化为，
圆的圆心为，半径．圆的半径为定值，C正确；
圆心满足方程组，即，
不论为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线上且为等圆， AB正确．
在中，设，
若圆与轴只有一个交点即该方程有两个相同的实数根，
，解得：，，
“”是“圆与轴只有一个交点”的充分不必要条件，D错误．
故选：ABC.
8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（　　）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
【答案】BC
【解析】
在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足，设P（x，y），则，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得，设D（m，0），E（n，0），则，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使，所以B正确；
当A，B，P三点不共线时，，
可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；
若在C上存在点M，使得，可设M（x，y），
则有＝2，化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．
故选：BC
三、填空题
9．圆关于直线对称的圆的方程是______．
【答案】
【解析】
解：由题知：圆的圆心为，半径为，
设关于直线对称的点为，
则，解得，
所以圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，
所以，所求圆的方程为.
故答案为：
10．已知半径为3的圆的圆心到y轴的距离等于半径，圆心在直线x-3y＝0上，则此圆的方程为______．
【答案】或
【解析】
由题意，圆的半径为3与轴相切，且圆心在直线上，
设此圆的方程为，
则，解得或，
所以圆的方程为或.
故答案为：或.
11．已知点，，是圆上一点，则的最小值为_________
【答案】
【解析】
设点，则又因为，则，
故，，易得函数在上单调递增.
则的最小值为，故的最小值为.故答案为：


四、 解答题
12．已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．
【答案】
【解析】
因为，又点(x，y)在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，
即S表示圆上的动点到定点(－1，1)的距离，显然最小值为定点与圆心的距离减去半径，
即最小值为，所以的最小值为.
13．已知圆过三个点.
(1)求圆的方程；
(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)解：设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即.
(2)解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为.
14．平面上有一条长度为定值的线段AB.
(1)到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹是什么图形？说明理由；
(2)到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹是什么图形？说明理由.
【答案】(1)到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹为两条直线；
(2)当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆，当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为的中点，当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹不存在.
【解析】
(1)如图以直线为轴，线段的中点为原点，建立平面直角坐标系，则，，设为曲线上的任意一点，因为点到线段AB两个端点距离的平方差为k.所以或
所以或.化简可得或，
所以到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹为两条直线；

(2)设为曲线上的任意一点，
因为点到线段AB两个端点距离的平方和为k
所以，所以，化简可得：，
当时，，曲线的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，
当时，，曲线的轨迹为点，
当时，，曲线的轨迹不存在，
所以当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆，
当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为的中点，
当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹不存在.

15．已知圆C经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)设圆C的方程为
则有，解之得
则圆C的方程为
(2)设，，
则有，，
由，可得，解之得
由点A在圆C上，得
即
故点M的轨迹方程为.





题组C 培优拔尖练
1．已知点是函数图象上的动点，求的最小值.
【答案】
【解析】
函数整理得，可知其图象是半圆，圆心为，半径.
∵点到直线的距离，∴到直线的距离的最小值为∴的最小值为
故答案为：
2．已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值．
【答案】最大值为88，最小值为72
【解析】
设，因为，，三点，
所以，
因为点P在圆上运动，则，解得，所以，
当时，取的最大值88，当时，取的最小值72.
3．已知圆与轴正半轴上一定点，是否存在一定点，使得圆上任一点，都有成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】存在定点满足条件．
【解析】
设，假设存在定点满足，则，
即，于是，
解得．故存在定点满足条件．
4．已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．
(1)若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程；
(2)过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，
【解析】
(1)法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是．
由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，
所以，
于是有，．   ①
因为点P在圆上运动，
所以点P的坐标满足圆的方程，即． ②
把①代入②得．
整理，得＝4．
这就是点M的轨迹E的方程．
法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．
(2)∵l过原点O且不与y轴重合，
∴可设直线l的方程为y＝kx．
联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，
依题意知是上方程的两根，则＝＝．
则＝＝＝故是定值．