高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列精品复习练习题
展开第四章 数列
第14讲 数列
课程标准 | 重难点 |
1.了解数列的有关概念(项、项的表示); 2.了解数列的表示方法(列表、图象、通项公式); 3.了解数列是特殊的函数. | 通过本节课的学习,要求会依据若干项求通项公式或某一项,能利用递推公式求解数列中的项或通项公式,并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项. |
知识点01 数列的概念及其递推公式
1.数列及其有关概念
(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
(2) 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.
2.数列的通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.
3.数列的分类
分类原则 | 类型 | 满足条件 | |
按项数分类 | 有穷数列 | 项数有限 | |
无穷数列 | 项数无限 | ||
按项与项间的大小关系分类 | 递增数列 | 其中n∈N+ | |
递减数列 | |||
常数列 | |||
按其他标准分类 | 有界数列 | 存在正数,使 | |
摆动数列 | 的符号正负相间,如1,-1,1,-1,… |
4.数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数,要注意数列的特殊性(离散型).由于他的定义域是N*,或它的子集,所以数列的值域是一系列孤立的实数.
【即学即练1】设an=+++…+(n∈N*),那么an+1-an等于( )
A. B.
C.+ D.-
【即学即练2】若一数列为1,,,,…,则是这个数列的( ).
A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项
【即学即练3】已知数列的首项为,且满足,则此数列的第3项是( )
A.4 B.12 C.24 D.32
【即学即练4】已知数列的通项公式为那么是它的( )
A.第1项 B.第2项 C.第3项 D.第10项
【即学即练5】已知数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则数列中最大项的值是( )
A.107 B.108 C.108 D.109
知识点02 数列的递推公式
1.数列的递推关系
如果已知数列的首项(或前几项), 且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
2.注意事项
(1)一般来说, 根据数列的首项(或前几项)以及数列的递推关系, 可以求出这个数列中的每一项.
(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样, 并不是所有的数列都有递推公式.
3.数列的前项和
一般地,给定数列,称为数列的前项和.
4.由前项和求通项
若数列的前项和用表示,则通项
【即学即练6】记数列的前项和为,且,则( )
A. B. C. D.
【即学即练7】设是数列的前n项和,若,则( )
A.-21 B.11 C.27 D.35
【即学即练8】设是数列的前n项和,若,则( )
A.4045 B.4043 C.4041 D.2021
【即学即练9】用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________.
【即学即练10】已知数列的前几项为,,,,…,则数列的一个通项公式为 .
【即学即练11】写出下列数列的一个通项公式:
(1)0,3,8,15,24,…; (2)1,-3,5,-7,9,…;
(3),,,,…; (4)1,11,111,1111,….
◆考点01 数列的分类
【典例1】下列数列哪些是有穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数列?
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018;
(2)0,,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)-,,-,,…;
(5)1,0,-1,…,sin ,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
◆考点02 数列的递推
【典例2】数列满足,,则等于( )
A. B. C.2 D.
【典例3】在数列中,,,则等于( ).
A. B. C. D.2
【典例4】数列满足,若,,则=( )
A. B. C.1 D.2
【典例5】若数列{an}满足a1=2,an+1=,求a2 018.
◆考点03 叠加与叠乘求通项公式
叠加法:
【典例6】设数列中,,则通项 .
【典例7】设数列中,,则通项 .
累乘法:
【典例8】已知数列满足,,求。
◆考点03 利用与的关系求通项公式
【典例9】已知正数数列满足,,求的通项公式.
【典例10】已知数列的前项和,求.
题组A 基础过关练
一、单选题
1.已知,则数列是( )
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定
2. 已知数列,则数列的第4项为( )
A. B. C. D.
3. 已知数列满足,则( )
A.-2 B.3 C. D.
4. 已知数列,则是它的( )
A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项
5. 已知数列的前5项为:,,,,,可归纳得数列的通项公式可能为( )
A. B. C. D.
6. 在数列中,,,则( )
A.0 B.1 C. D.
7.数列满足,,则等于( )
A. B. C.2 D.
8.在数列中,,,则等于( ).
A. B. C. D.2
9.数列满足,若,,则=( )
A. B. C.1 D.2
二、填空题
10.数列,的前5项为______.
11.若,则数列的最大项是第______项.
三、解答题
12.已知数列,,且,,求数列的通项公式
13.已知数列满足.
(1)写出数列的前3项;
(2)求数列的通项公式.
题组B 能力提升练
一、单选题
1. 已知数列满足,,则的最小值为( )
A. B. C.10 D.11
2. 已知数列中,,.记,则( )
A. B.
C. D.
二、多选题
3. 设数列满足,记数列的前项和为,则( )
A. B.
C. D.
4.若数列满足,,则数列中的项的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
5. 已知数列为递增数列,,则的取值范围是___________.
6. 已知数列的前n项和为,且满足,,则_________.
7. 已知数列的前项和为,,,,则___________.
四、解答题
8. 已知数列{an}中,a1=1,当n∈N且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.
9. 已知数列的通项公式为.
(1)数列的第几项最大,最大项为多少?
(2)若,求正整数m的最小值.
10. 已知数列,n∈N*.
(1)求这个数列的第10项;
(2)是不是该数列中的项,为什么?
(3)求证:该数列是递增数列;
(4)在区间内有无数列中的项?若有,有几项?若没有,请说明理由.
题组C 培优拔尖练
1. 分别写出下列数列的一个通项公式:
(1)-1,3,-5,7,-9,…;
(2)4,-,2,-,…;
(3)1,1,,…;
(4),3,,3,….
2. 将正整数数列、、、、、的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表:
(1)写出数表的第行、第行;
(2)写出数表中第行的第个数;
(3)设数表中每行的第个数依次构成数列,数表中每行的最后一个数依次构成数列,试分别写出数列、的递推公式,并求出它们的通项公式.
3. 已知数列满足:,且.
(1)求数列的通项;
(2)设,求的前n项和.
4. 已知有穷数列:1,12,123,1234,…,123456789,在每一项的数字后添写后一项的序号便是后一项.
(1)写出数列的递推公式.
(2)求,.
(3)用上面的数列,通过公式,构造一个新数列,写出数列的前4项.
(4)写出数列的递推公式(不需要证明).
(5)求数列的通项公式.
5. 在数列中,已知,且.
(1)求通项公式;
(2)求证:是递增数列;
(3)求证:.
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