高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列精品课后测评

第四章 数列

第19讲  五种数列求和方法总结

知识点01  错位相减法

错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列(即)的前项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项其实可以看成等差数列通项与等比数列通项的积.

公式秒杀:

(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)

【即学即练1】设数列的前n项和为，若．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【即学即练2】已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【即学即练3】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

知识点02  裂项相消法求和 

把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项.

常见的裂项形式:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) ;

(6) ;

(7) ;

(8)

(9)

(10) .

(11)

(12)

【即学即练4】已知正项数列中，，，则数列的前项和为（       ）

A． B． C． D．

【即学即练5】数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．

【即学即练6】已知数列的前项和为，若，则数列的前项和为________．

知识点03  倒序相加法求和 

等差数列的求和公式,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现(为常数),(为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.

【即学即练7】已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.

知识点04  数列绝对值求和 

(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有

(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。

【即学即练8】已知是数列的前项和,且.

(1)求;

(2)求数列的前项和.

【即学即练9】已知等差数列的前项和为,且.

(I)求的通项公式;

(II)求数列的前项和.

知识点05  数列奇偶性分项求和 

对于数列奇偶性的问题,基本原则有两种手段：第一是所有的奇数项相加,所有的偶数项相加;第二是相邻的奇数项与偶数项相加作为新的一项.

【即学即练10】在数列中,且,则________.

【即学即练11】数列满足,则的前60项和为_____.

【即学即练12】已知数列满足:当且时,有 .则数列的前200项和为

A. 300               B. 200                 C. 100                   D. 0

◆ 错位相减法求和

【典例1】已知数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【典例2】已知数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【典例3】已知数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【典例4】已知数列满足，（）.

(1)求证数列为等差数列；

(2)设，求数列的前项和.

◆ 裂项相消法求和

【典例5】数列的前2022项和为（       ）

A． B． C． D．

【典例6】数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和______．

【典例7】_______.

【典例8】设数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【典例9】已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，，求数列的前项和

【典例10】已知数列中，．

(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【典例11】记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前20项和.

【典例12】已知等差数列满足，，（）．

(1)求数列，的通项公式；

(2)数列的前n项和为，求．

【典例13】已知正项数列的前项和为，且、、成等比数列，其中．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【典例14】已知是数列的前项和，，___________.

①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：

(1)求；

(2)设，求数列的前项和.

◆ 倒序相加法求和

【典例15】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前?项和的方法探求：若，则（       ）

A．2018 B．4036 C．2019 D．4038

【典例16】已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．

【典例17】已知，求.

【典例18】函数对任意,都有.

(I)求的值;

(II)若数列满足,数列是等差数列吗?

◆ 数列绝对值求和

【典例19】已知在前n项和为的等差数列中，，．求数列的前20项和．

【典例20】等差数列中，，（，），求数列的前项和．

【典例21】数列中，，，求数列的前n项和．

【典例22】已知数列的前n项和，求数列的前n项和.

◆ 数列奇偶性分项求和

【典例23】已知数列满足：，，.

(1)记，求数列的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求.

【典例24】已知数列数列的前项和且，且.

（1）求的值，并证明：；

（2）求数列的通项公式；

（3）求的值.

【典例25】已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为2的等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2） 若，求数列的前n项和.

【典例26】在数列中，，，且.

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式.

题组A  基础过关练

一、单选题

1．数列的前n项和等于（       ）．

A． B．

C． D．

2．已知等差数列，，，则数列的前8项和为（       ）．

A． B． C． D．

3．已知数列的前项和为，则数列的前12项和为（       ）

A．93 B．94 C．95 D．96

4．已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（       ）

A． B． C． D．

5．等差数列中，，设，则数列的前61项和为（       ）

A． B．7 C． D．8

6．已知数列满足，设，则数列的前2022项和为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2，则数列{}的前n项和Tn＝__．

8．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得________．

三、解答题

9．已知数列满足，.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)求数列的前n项和.

10．已知等比数列，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列为正项数列（各项均为正），求数列的前项和.

11．已知等差数列的前n项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

题组B  能力提升练

一、单选题

1． （       ）

A． B． C． D．

2．已知数列的前n项和，则的值为(       )

A．68 B．67 C．65 D．56

3．已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

4．设，为数列的前n项和，求的值是（       ）

A． B．0 C．59 D．

5．已知数列的首项，且满足，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

6．在数列中，，其前项和满足，若对任意总有恒成立，则实数的最小值为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

7．若数列的前n项和是，则________.

8．已知正项数列{an}满足a1＝2且an+12﹣2an2﹣anan+1＝0，令bn＝（n+2）an，则数列{bn}的前8项的和等于 __．

三、解答题

9．已知正项数列的前项和为，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

10．已知等差数列满足，，数列的前n项和为，且.

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

11．数列中，，，前n项和满足．

（1）证明：为等差数列；

（2）求．

12．已知数列的前n项和为

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和的公式．

题组C  培优拔尖练

二、解答题

1．若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．

(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；

(2)若数列满足，求的前项和．

2．已知等差数列为递增数列，

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，求的前项和：

(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.

3．已知数列满足，，令，设数列前n项和为．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；

(3)设正项数列满足，求证：．