【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第24讲 导数在研究函数的极值与最值中的应用 讲义

第5章导数及其应用

导数在研究函数的极值与最值中的应用

知识点01  函数极值的定义

1.极小值点与极小值

若函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f ′（a）=0，而且在点x=a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，就把点a 叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值.

2. 极大值点与极大值

若函数y=f（x）在点x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f ′（b）=0，而且在点x=b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，就把点b 叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值.

3.   极小值点、极大值点统称为极值点；极小值和极大值统称为极值.

注意：导数为0的点不一定是极值。

如f（x）=x³，f （0）=0，但x=0不是f（x）=x³的极值点．所以当f ′（x0）=0时，要判断x=x0是否为f（x）的极值点，还要看f′（x）在x0两侧的符号是否相反.

【即学即练1】f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的(    )

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件      C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

【即学即练2】已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中正确的是(    )

A．导数为零的点一定是极值点

B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值

C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值

D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值

知识点02  函数最值

1.对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在xo∈I，使得f（x)≥f(xo)，则称f(xo）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在xo∈I，使得f(x）≤f（xo），则称f（xo）为函数f（x）在区间I上的最大值.

2.一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

3.函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内可导，求f(x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下∶

（1）求函数y=f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将函数y=f(x）的各极值与端点处的函数值f（a），f(b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

注意：函数极值是一个局部概念，只是描述在某个点附近的函数值的特征，并不意味着在整个定义域内取得最值；函数的极值并不唯一.

【即学即练3】求下列函数的最值．

（1）f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；      （2）f(x)＝sin 2x－x，x∈.

【即学即练4】已知函数f(x)＝＋ln x，求f(x)在上的最大值和最小值．

◆考点01 求函数的极值

【典例1】求函数f(x)＝x2e－x的极值．

【典例2】（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数，则（    ）

A． B．的定义域为

C．有极大值 D．的值域为

◆考点02 由函数图像分析函数极值

【典例3】已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(    )

A．在(－∞，0)上为减函数        B．在x＝0处取极小值

C．在(4，＋∞)上为减函数        D．在x＝2处取极大值

【典例4】（2022·北京市十一学校高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．在区间内有3个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率小于0

◆考点03 利用函数极值求参数

【典例5】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.

【典例6】（2022·广西贵港·高三阶段练习）若函数有两个极值点且这两个极值点互为倒数，则（    ）

A． B． C． D．

【典例7】已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是(    )

A．(－1,2)       B．(－3,6)        C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)        D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

【典例8】设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为(    )

A．(－∞，－1)        B．(－1，＋∞)        C．        D．

【典例9】（2022·湖北·高三阶段练习）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.

◆考点04 求含参函数的最值

【典例10】已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1.求f(x)在区间(0，e]上的最小值．

【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；

(2)当时．求函数f（x）的最大值．

◆考点05 函数最值与参数问题

【典例12】已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于(    )

A.  B.  C.  D．1

【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小值是4．则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【典例14】 若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(    )

A．[－5,0)          B．(－5,0)        C．[－3,0)          D．(－3,0)

【典例15】 （2022·辽宁丹东·一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的表述，不正确的是（    ）

A．在上为减函数 B．在上为增函数

C．在处取极小值 D．在处取极小值

2．已知函数在处取得极大值，则（    ）.

A．3 B． C．3或 D．1

3．已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数的图象过点，且在内有且只有两个极值点，则（    ）

A．1 B．5 C．9 D．13

5．若在区间内有定义，且x0∈，则“”是“x0是函数的极值点”的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分条件也非必要条件

6．函数在上的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

8．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（    ）

A．在上是增函数

B．当时，取得极小值

C．在上是增函数，在上是减函数

D．当时，取得极小值

9．设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．函数在上单调递增

B．函数在上单调递减

C．若，则函数的图象在点处的切线方程为

D．若，则函数的图象与直线只有一个公共点

10．已知，若在区间上有且只有一个极值点，则的取值可以为（    ）

A．1 B． C．e D．0

11．下列判断正确的有（    ）

A．当时，方程存在唯一实数解

B．当时，

C．

D．

三、填空题

12．已知在区间上．在下面所示的图象中，可能表示函数的图象的有___________ (填写所有可能的选项）．

13．已知函数满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______．

14．若函数的极小值为5，那么的值为______.

15．已知函数在处取得极值，则实数_____.

四、解答题

16．已知函数，（为常数，）.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.

17．已知a为实数，函数，若是函数的一个极值点．

(1)求实数a的值；

(2)求的单调区间．

18．已知函数．

(1)若直线与曲线相切，求实数的值；

(2)若函数有两个极值点与，且，求的取值范围．

19．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，求在上的最大值与最小值．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．当时，函数取得最大值0，则（    ）

A． B． C．2 D．3

2．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

3．若是函数的极值点．则的极小值为（    ）

A．-3 B． C． D．0

4．设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数,则在上的值域为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知两函数，，若当时，函数的图像总是在的图像上方，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

8．已知，则下列说法中正确的有（    ）

A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3

C．轴为曲线的切线 D．若则

9．已知不等式恒成立，则（    ）

A． B． C． D．

10．设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（    ）

A．在（0，2π）必有有2个极大值点 B．在（0，2π）有且仅有2个极小值点

C．在上单调递增 D．的取值范围是

11．己知在上有且只有三个零点，则下列选项正确的有（    ）

A．在上存在使得

B．的取值范围为

C．在上单调递增

D．在上有且只有一个极大值点

三、填空题

12．已知是函数的极小值点，则_____．

13．若函数的极小值小于0，则实数a的取值范围为___________．

14．已知函数，其中．若恒成立，则a的取值范围是_________．

15．已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是___________.

四、解答题

16．已知函数（且）．

(1)若，求在上的最小值；

(2)若函数不存在零点，求实数a的取值范围．

17．已知函数，其中a为常数．

(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；

(2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值.

18．已知函数，．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的极小值．

题组C  培优拔尖练

1．已知函数，若满足，，，且对任意，，则（    ）

A．0 B．6 C．-6 D．8

2．已知函数，，其中是自然对数的底数.

(1)证明：与具有相同的单调性；

(2)令，讨论的极值点个数.

3．设向量，，，（）.

(1)当时，求的极值；

(2)当时，求函数零点的个数.