【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：6.2.1空间向量基本定理 讲义

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知识精讲
知识点01 空间向量的基本定理
【即学即练1】若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．a+c,a,a−cB．a,a+b,2a+b
C．a,a+b,cD．a+b,a+b+c,c
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理结合条件逐项分析即得．
【详解】由题可知a,b,c不共面，
对于A选项，因为a=12 a+c +12 a−c，所以a+c,a,a−c三个向量共面；
对于B选项，因为2a+b=a+a+b，所以a,a+b,2a+b三个向量共面；
对于C选项，假设存在实数x,y使得c=xa+ya+b=x+ya+yb，
则a,b,c共面，与a,b,c不共面矛盾，因此a,a+b,c不共面；
对于D选项，a+b+c=a+b+c，所以a+b,a+b+c,c共面.
故选：C．
【即学即练2】已知a,b,c是空间的一个基底，下面向量中与向量a+c，a−c一起能构成空间的另外一个基底的是（ ）
A．aB．b+cC．2a+cD．a−2c
【答案】B
【分析】根据空间向量基底概念依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，因为a=12a+c+12a−c，所以a与a+c和a−c共面，故A错误；
对选项B，若b+c与a+c和a−c共面，则b+c=ma+c+na−c，
此时m,n无解，所以b+c与a+c和a−c不共面，故B正确.
对选项C，因为2a+c=32a+c+12a−c，
所以2a+c与a+c和a−c共面，故C错误；
对选项D，因为a−2c=−12a+c+32a−c，
所以a−2c与a+c和a−c共面，故D错误；
故选：B
知识点02 正交基底和单位正交基底
推论:
设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得OP=xOA+yOB+zOC.
【即学即练3】设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=j+k,c=k+i，若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4)，则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是（ ）
A．(10,12,14)B．(14,12,10)
C．(12,14,10)D．(4,3,2)
【答案】C
【分析】根据向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4得到p=12i+14j+10k，即可得到向量p在基底i,j,k下的坐标.
【详解】因为向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4，所以p=8a+6b+4c=8i+j+6j+k+4k+i=12i+14j+10k，所以向量p在基底i,j,k下的坐标为12,14,10.
故选：C.
【即学即练4】已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3c,{a+b,a−b,c}是空间的另一个基底，用基底a+b,a−b,c表示向量p=___________.
【答案】32a+b−12a−b+3c
【分析】设p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a−b)+zc，然后整理解方程组即可.
【详解】设p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a−b)+zc，
即有a+2b+3c=(x+y)a+(x−y)b+zc，
因为a,b,c是空间的一个单位正交基底，
所以有x+y=1x−y=2z=3⇒x=32y=−12z=3，
所以p=32(a+b)−12(a−b)+3c.
故答案为：32a+b−12a−b+3c
能力拓展
◆考点01 空间向量基底概念及辨析
【典例1】（多选）设a→,b→,c→是空间的一个基底，若x→=a→+b→，y→=b→+c→，z→=c→+a→．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A．a→,b→,x→B．x→,y→,z→C．b→,c→,z→D．x→,y→,a→+b→+c→
【答案】BCD
【分析】根据空间向量共面基本定理，逐项判断每组向量是否共面，即可得出结论.
【详解】∵x→=a→+b→，∴ a→,b→,x→共面，故a→,b→,x→不能作空间基底，故A错误；
假设x→,y→,z→共面，则存在λ,μ∈R，使得z=λx+μy，
c+a=λ(a+b)+μ(b+c)=λa+(λ+μ)b+μc，
所以λ=1λ+μ=0μ=1，方程组无解，所以假设不成立，即x→,y→,z→不共面，
所以x→,y→,z→可以作为空间向量的一组基底，故B正确；
同理可得b→,c→,z→，x→,y→,a→+b→+c→均可作为空间向量的一组基底，故CD正确.
故选：BCD.
【典例2】（多选）以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若a,b,c为空间向量的一组基底，则a+b,b+c,c+a构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若OP=2OA−2OB+OC，则P、A、B、C四点共面
D．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
【答案】BC
【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A，B，D可判断这三个选项的正误，由共面向量定义来判断D的正误．
【详解】对于A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；
对于B，若a,b,c为空间向量的一组基底，则a,b,c不共面，且a+b,b+c,c+a均为非零向量，假设a+b,b+c,c+a共面，
则c+a=xa+b+yb+c=xa+x+yb+yc，
∴x=1x+y=0y=1，方程无解，即a+b,b+c,c+a不共面，
则a+b,b+c,c+a构成空间向量的另一组基底，B正确；
对于C，若OP=2OA−2OB+OC，
则OA+AP=2OA−2OA+AB+OA+AC
整理得AP=−2AB+AC，则向量AP,AB,AC共面，即P、A、B、C四点共面，C正确；
向量a，b，c共面，但是它们所在的直线不一定共面,故D错误.
故选：BC.
【典例3】已知e1,e2,e3是空间的一组基， 且OP=2e1−e2+3e3，OA=e1+2e2−e3，OB=−3e1+e2+2e3，OC=e1+e2−e3.
(1)OA,OB,OC能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示OP；若不能，请说明理由．
(2)判断P，A，B，C四点是否共面，并说明理由．
【答案】(1)能，OP=17OA−5OB−30OC
(2)P，A，B，C四点不共面，理由见解析
【分析】（1）若OA,OB,OC共面，由共面向量定理，设OA=mOB+nOC
得方程组1=−3m+n2=m+n−1=2m−n无解，故OA,OB,OC能构成空间的一组基底，
由方程组OA=e1+2e2−e3OB=−3e1+e2+2e3OC=e1+e2+e3
反解e1,e2,e3，代入OP=2e1−e2+3e3，即可用基底OA,OB,OC表示向量OP；
（2）根据共面向量定理，结合第（1）问验证系数和不等于1，不满足条件，得到四点不共面.
（1）假设向量OA，OB，OC共面，则存在实数m，n，使OA=mOB+nOC，
即e1+2e2−e3=m−3e1+e2+2e3+ne1+e2−e3，
所以1=−3m+n2=m+n−1=2m−n，方程组无解，
所以向量OA，OB，OC不共面，因此OA,OB,OC可以构成空间的一组基底，
令OA=a，OB=b，OC=c，所以e1+2e2−e3=a−3e1+e2+2e3=be1+e2−e3=c，得e1=3a−b−5ce2=a−ce3=4a−b−7c，
所以OP=2e1−e2+3e3=23a−b−5c−a−c+34a−b−7c=17a−5b−30c
=17OA−5OB−30OC；
（2）P，A，B，C四点不共面．理由如下：假设P，A，B，C四点共面，
则存在实数x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1．
由（1）知OP=17OA−5OB−30OC，但17−5−30=−18≠1，
故P，A，B，C四点不共面．
◆考点02用空间向量表示基底
【典例4】已知三棱锥O−ABC，M，N分别是对棱OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，设OA=a，OB=b，OC=c，则OG=__________．（用基底a,b,c表示）
【答案】16a+13b+13c
【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示结合条件即得．
【详解】∵MG=2GN，∴MG=23MN，
又M，N分别是对棱OA、BC的中点，OA=a，OB=b，OC=c，
∴OG=OM+MG=OM+23MN=OM+23ON−OM=13OM+23ON=13×12OA+23×12OB+OC=16OA+13OB+13OC=16a+13b+13c.
故答案为：16a+13b+13c.
【典例5】在空间四边形OABC中，E、F分别是OA、BC的中点，P为线段EF上一点，且PF=2EP，设基向量OA=a,OB=b,OC=c，用这个基向量表示以下向量：EF、OP．
【答案】EF=12b+12c−12a，OP=13a+16b+16c．
【分析】利用空间向量基本定理，结合向量运算求解即可.
【详解】解：∵E、F分别是OA、BC的中点，
∴OF=12(OB+OC)=12OB+12OC=12b+12c，
∴EF=OF−OE=12b+12c−12a，
∵PF=2EP,∴EP=13EF,FP=23EF，
∴EP=13EF=13(12b+12c−12a)=−16a+16b+16c，
∴OP=OE+EP=12a−16a+16b+16c=13a+16b+16c．
【典例6】．在三棱锥体P−SEF中，FM=3ME,MN=2NS，点H为PF的中点，设SP=i,SE=j,SF=k.
(1)记a=PN+SH，试用向量i,j,k表示向量a；
(2)若∠ESF=π2,∠ESP=∠PSF=π3,SE=SF=4,SP=6，求PN⋅SH的值.
【答案】(1)−12i+14j+712k；(2)−643.
【分析】（1）根据空间向量的运算的几何表示结合条件即得；
（2）根据空间向量的数量积的定义及运算律即得.
【详解】（1）由题可知FM=3ME，SP=i,SE=j,SF=k，
所以SM−SF=3SE−SM，即SM=34SE+14SF=34j+14k，又MN=2NS，
所以SN=13SM=14j+112k，所以PN=SN−SP=14j+112k−i，又点H为PF的中点，
所以SH=12SP+12SF=12i+12k，所以a=PN+SH=14j+112k−i+12i+12k= −12i+14j+712k；
（2）因为∠ESF=π2,∠ESP=∠PSF=π3,SE=SF=4,SP=6，
所以i⋅j=i⋅k=6×4×12=12,j⋅k=0，
所以PN⋅SH=14j+112k−i⋅12i+12k=14×12⋅i⋅j+112×12⋅i⋅k−12i2+14×12⋅k⋅j+112×12k2−12⋅k⋅i=14×12×12+112×12×12−12×36+112×12×16−12×12=−643.
◆考点03 空间向量正交分解
【典例7】已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3c，a+b,a−b,c是空间的另一个基底，向量p在基底a+b,a−b,c下的坐标为（ ）
A．32,−12,3B．−32,12,3C．12,−32,3D．−12,32,3
【答案】A
【分析】设p=xa+b+ya−b+zc，根据空间向量基本定理建立关于x,y,z的方程，解之即可得解.
【详解】解：设p=xa+b+ya−b+zc=x+ya+x−yb+zc=a+2b+3c，
所以x+y=1x−y=2z=3，解得x=32y=−12z=3，所以向量p在基底a+b,a−b,c下的坐标为32,−12,3.故选：A.
【典例8】已知向量a→，b→，c→是空间的一组单位正交基底，向量a→+b→，a→−b→，c→是空间的另一组基底，若向量p→在基底a→，b→，c→下的坐标为（2，1，3），p在基底a→+b→，a→−b→，c→下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____．
【答案】 1 3
【分析】化简得到p=x+ya+x−yb+zc，对比系数得到答案.
【详解】根据题意知：p=2a+b+3c，p=xa+b+ya−b+zc=x+ya+x−yb+zc.
故x−y=1,z=3；
故答案为：1；3.
【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．b，c，a+bB．b，a+c，a+b
C．a−b，c，a+bD．b，a−b，a+b
【答案】D
【分析】利用向量基底的定义和向量的线性运算的应用逐一判断即可求解.
【详解】对于A，若向量b，c，a+b共面，则a+b=λb+μc，λ,μ无解，所以向量b，c，a+b不共面，故A错误；
对于B，若向量b，a+c，a+b共面，则a+b=λb+μa+c，λ,μ无解，所以向量b，a+c，a+b不共面，故B错误；
对于C，若向量a−b，c，a+b共面，则a+b=λa−b+μc，λ,μ无解，所以向量a−b，c，a+b不共面，故C错误；
对于D，若向量b，a−b，a+b共面，则a+b=λa−b+μb，即λ=1−λ+μ=1，解得λ=1,μ=2，所以向量b，a−b，a+b共面，故D正确.
故选：D.
2．已知三棱锥O−ABC，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设OA=a，OB=b，OC=c，那么向量OG用基底{a,b,c}可表示为（ ）
A．12a+12b+13cB．13a+13b+13c
C．12a+12b+12cD．23a+23b+23c
【答案】B
【分析】利用空间向量的加减法计算法则和数乘计算法则，结合几何关系用OA，OB，OC表示OG即可．
【详解】∵OG=OA+AG=OA+23×12×AB+AC
=OA+13(OB−OA+OC−OA)=13OA+13OB+13OC
∴OG=13a+13b+13c.
故选：B．
3．若{a,b,c}为空间的一个基底，则下列各项中不能构成空间中基底的一组向量是（ ）
A．b+c,a+b,a−bB．a+b,b+c,a+c
C．a+b+c,a−b,b+cD．8a+2b+6c,a+2b+c,3a−b+2c
【答案】D
【分析】根据基底的定义和共面向量基本定理判断即可.
【详解】方法一：只需把a，b，c看作平行六面体从一个顶点出发的三条棱，再利用向量加减法的三角形法则或平行四边形法则，就可以判断出选项A，B，C中的三个向量都不共面，全可以作为空间中的一组基底；选项D，因为a+2b+c+3a−b+2c=4a+b+3c，且8a+2b+6c=2a+2b+c+23a−b+2c，所以三个向量共面，不能构成基底，D不符合．故选D．
方法二：选项A：假设b+c，a+b，a−b共面，则存在实数x，y使得b+c=xa+b+ya−b=x+ya+x−yb，无论x，y取何值，等式均不成立，因此b+c，a+b，a−b三个向量不共面，可作为空间中的一组基底；
同理可判断选项B，C中的三个向量不共面，可作为空间中的一组基底；
选项D，假设8a+2b+6c，a+2b+c，3a−b+2c共面，则存在实数x，y使得
8a+2b+6c=xa+2b+c+y3a−b+2c=x+3ya+2x−yb+x−2yc，
当x=2，y=2时，等式成立，因此8a+2b+6c，a+2b+c，3a−b+2c三个向量共面，不能构成空间中的一组基底．
故选：D．
4．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=a，AB=b，AD=c，点P在A1C上，且A1P:PC=2:3，则AP=（ ）
A．25a+35b+35cB．35a+25b+25c
C．25a+25b+35cD．35a−25b−25c
【答案】B
【分析】利用空间向量的基本定理可得出AP关于a,b,c的表达式.
【详解】由平面六面体法则可知A1C=A1B1+A1D1+A1A=b+c−a，
AP=AA1+A1P=AA1+25A1C=a+25b+c−a=35a+25b+25c.
故选：B.
5．已知a,b,c是空间向量的一个基底，则可以与向量p=a+b，q=a−b，构成基底的向量是（ ）
A．a+2cB．bC．a+2bD．a
【答案】A
【分析】由基底的定义求解即可.
【详解】因为a+2c，p=a+b，q=a−b，为不共面向量，所以能构成基底，故A正确；
因为b=12p−q，p=a+b，q=a−b，为共面向量，所以不能构成基底，故B错误；
因为a+2b=32p−12q，p=a+b，q=a−b，为共面向量，所以不能构成基底，故C错误；
因为a=12p+q，p=a+b，q=a−b，为共面向量，所以不能构成基底，故D错误.
故选：A.
二、多选题
6．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A．向量a，b，若a⋅b=0，则a⊥b
B．若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C．设a,b,c是空间中的一组基底，则a−b,b+c,a+c也是空间的一组基底
D．若空间四个点P，A，B，C，PC=14PA+34PB，则A，B，C三点共线
【答案】AC
【分析】根据向量垂直的性质可判断选项A；由共面向量定理可判断选项B；由向量的加法法则可判断选项C；由共线向量定理可判断选项D.
【详解】对于A，向量a，b，若a⋅b=0，若向量a，b均为非零向量，则由向量垂直的性质可得a⊥b；若向量a，b其中一个为零向量，则a与b不垂直，故A错误；
对于B，若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，
因为16+13+12=1，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，设a,b,c是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：a−b=−(b+c)+(a+c)，所以a−b,b+c,a+c不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点P，A，B，C，PC=14PA+34PB，由共线向量定理可知：A，B，C三点共线，故D正确，
故选：AC.
7．给出下列命题,其中正确的有（ ）
A．已知向量a⊥b,则a⋅b+c+c⋅b−a=b⋅c
B．若向量a,b共线,则向量a,b所在直线平行或重合
C．已知向量a⊥b,则向量a,b与任何向量都不构成空间的一个基底
D．A,B,M,N为空间四点,若BA,BM,BN构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面
【答案】AB
【分析】根据a⊥b,可得a⋅b=0,将a⋅b+c+c⋅b−a展开,把a⋅b=0代入即可判断选项A 的正误;
根据向量共线的定义可判断选项B 的正误;
根据空间向量基本定理可知,只要a,b,c不共面即可组成一组基底,由此可判断选项C 的正误;
根据空间向量基本定理可知,BA,BM,BN不共面,即A,B,M,N四点不共面,即可判断选项D 的正误.
【详解】对于选项A,若a⊥b,则a⋅b=0,故a⋅b+c+c⋅b−a=a⋅b+a⋅c+c⋅b−c⋅a
=b⋅c,故选项A正确;
对于选项B,根据向量共线的定义可得其成立,故选项B正确;
对于选项C,当a⊥b时,若c与a,b不共面,根据空间向量基本定理可知,a,b,c可构成空间的一个基底,
故选项C不正确;
对于选项D,若BA,BM,BN构成空间的一个基底,则BA,BM,BN不共面,故A,B,M,N不共面,
故选项D不正确.故选:AB
8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．不相等的两个空间向量的模可能相等
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．若a、b是两个不共线的向量，且c=λa+μb（λ、μ∈R且λ⋅μ≠0），则a,b,c构成空间的一个基底
【答案】AB
【分析】根据空间向量的概念、向量相等，向量的模，空间向量的基底逐项判断即可得解.
【详解】因为三个非零向量能构成空间一个基底，故三个向量不共面，故A正确；
向量既有大小又有方向，所以不相等的两个空间向量的模可能相等，故B正确；
因为向量既有大小又有方向，所以向量不能比较大小，故C错误；
由a、b是两个不共线的向量，且c=λa+μb（λ、μ∈R且λ⋅μ≠0）可知，
c→向量与a→,b→向量共面，所以a,b,c不能构成空间向量的一组基底，故D错误.
故选：AB
三、填空题
9．已知向量a,b,c可作为空间的一组基底{a,b,c}，若d=3a+4b+c，且d在基底{(a+2b),(b+3c),(c+a)}下满足d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a)，则x= __．
【答案】2
【分析】根据题意利用向量相等列出方程组求出x的值．
【详解】因为d=3a+4b+c，且d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a)
=(x+z)a+(2x+y)b+(3y+z)c，
所以{x+z=32x+y=43y+z=1，解得{x=2y=0z=1
故答案为：2．
10．设a,b,c是空间的一个单位正交基底，且向量p=a+2b+3c ， a+b,2a−b,c是空间的另一个基底，则用该基底表示向量p=____________.
【答案】53(a+b)−13(2a−b)+3c
【分析】设p=x(a+b)+y×(2a−b)+zc，由空间向量分解的唯一性，p=x(a+b)+y×(2a−b)+zc=a+2b+3c，列出方程组求解即可
【详解】由题意，不妨设p=x(a+b)+y×(2a−b)+zc
由空间向量分解的唯一性：p=x(a+b)+y×(2a−b)+zc=a+2b+3c
故x+2y=1x−y=2z=3，解得x=53,y=−13,z=3则p=53(a+b)−13(2a−b)+3c
故答案为：53(a+b)−13(2a−b)+3c
四、解答题
11．如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，点E，F分别是棱AA′和C′D′的中点，以AB，AD，AA′为基底表示EF．
【答案】12AA′+AD+12AB.
【分析】利用平行六面体的性质，空间向量的线性运算即得.
【详解】在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，
A′D′=AD,D′C′=AB，又点E，F分别是棱AA′和C′D′的中点，
∴EA′=12AA′,D′F=12D′C′=12AB，
∴EF=EA′+A′D′+D′F
=12AA′+AD+12AB.
12．已知空间的一组基i,j,k，a=i−2j+k，b=−i+3j+2k．
(1)写出一个与向量a平行的向量c1；
(2)写出一个与向量a，b共面的向量c2；
(3)向量a，b是否共线？是否共面？
(4)写出一个向量c3，使之与向量a，b构成空间的另一组基．
【答案】(1)c1=2i−4j+2k（答案不唯一）
(2)c1=j+3k（答案不唯一）.
(3)向量a与b不共线，向量a与b共面
(4)c3=i+4j+5k（答案不唯一）
【分析】（1）由与向量a平行的向量c1=λa，即可求解；
（2）由与向量a，b共面的向量c2=xa+yb，即可求解.
（3）由向量a，b共线，可得a=μb，列出方程组，可得此时方程组无解，根据空间中任意的两个向量都共面，即可求解；
（4）根据空间向量的基底的概念，即可求得写出一个向量c2.
(1)解：由空间的一组基i,j,k，a=i−2j+k，b=−i+3j+2k，
则与向量a平行的向量c1=λa，令λ=2，可得c1=2i−4j+2k（答案不唯一）.
(2)解：由空间的一组基i,j,k，a=i−2j+k，b=−i+3j+2k，
则与向量a，b共面的向量c2=xa+yb，令x=y=1，可得c1=j+3k（答案不唯一）.
(3)解：由空间的一组基i,j,k，a=i−2j+k，b=−i+3j+2k，
则向量a，b共线，可得a=μb，则1=−μ−2=3μ1=2μ，此时方程组无解，
所以向量a与b不共线.空间中任意的两个向量都共面，所以向量a与b共面.
(4)若向量c3=i+4j+5k，此时a，b，c不共面，所以可以构成空间一个基底.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基向量OA，OB，OC表示向量，设OG=xOA+yOB+zOC，则x、y、z的值分别是（ ）
A．x=13，y=13，z=13B．x=13，y=13，z=16
C．x=13，y=16，z=13D．x=16，y=13，z=13
【答案】D
【分析】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．
【详解】∵M、N分别是对边OA、BC的中点，
∴OM=12OA，ON=12(OB+OC)．∴OG=OM+MG=OM+23MN
=OM+23(ON−OM)=13OM+23ON =13×12OA+23×12(OB+OC) =16OA+13OB+13OC，
因此x=16，y=z=13．故选：D
2．如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD=mPA，PE=nPB，PF=tPC，则1m+1n+1t的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】以PA,PB,PC为空间一组基底，结合D,E,F,M四点共面，用两种方法表示出PM，由空间向量的基本定理求得1m+1n+1t的值.
【详解】连接AG并延长，交BC于点H，以PA,PB,PC为空间一组基底，
由于G是△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，
所以PM=34PG=34PA+AG=34PA+34×23AH=34PA+12×12AB+AC=34PA+14PB−PA+PC−PA
=14PA+14PB+14PC①.连接DM，因为D,E,F,M四点共面，
所以存在实数x,y，使得DM=xDE+yDF，即PM−PD=xPE−PD+yPF−PD，PM=1−x−yPD+xPE+yPF=1−x−ymPA+xnPB+ytPC②，由①②以及空间向量的基本定理可知：1−x−ym=14,xn=14,yt=14，41−x−y=1m,4x=1n,4y=1t，所以1m+1n+1t=41−x−y+4x+4y=4.
故选：C
3．若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． 2a−b，a+b−c，7a+5b+3c
B． 2a+b，a+b+c，7a+5b+3c
C． 2a+b，a+b+c，6a+2b+4c
D． 2a−b，a+b−c，6a+4b+2c
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理以及空间基底逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】解：对于A，设7a→+5b→+3c→=λ2a→−b→+μa→+b→−c→=2λ+μa→+μ−λb→−μc→，
所以2λ+μ=7μ−λ=5−μ=3，此方程组无解，所以2a−b，a+b−c，7a+5b+3c不共面；
对于B，因为22a+b+3a+b+c=7a+5b+3c，所以2a+b，a+b+c，7a+5b+3c共面；
对于C，设6a+2b+4c=λ2a+b+μa+b+c=2λ+μa+μ+λb+μc，
所以2λ+μ=6μ+λ=2μ=4，此方程组无解，所以2a+b，a+b+c，6a+2b+4c不共面；
对于D，设6a→+4b→+2c→=λ2a→−b→+μa→+b→−c→=2λ+μa→+μ−λb→−μc→，
所以2λ+μ=6μ−λ=4−μ=2，此方程组无解，所以2a−b，a+b−c，6a+4b+2c不共面；
故选：B
4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，MG=2GN，现用基向量OA,OB,OC表示向量OG，设OG=xOA+yOB+zOC，则x,y,z的值分别是（ ）
A．x=13，y=13，z=13B．x=13，y=13，z=16
C．x=13，y=16，z=13D．x=16，y=13，z=13
【答案】C
【分析】结合图形,由M、N是OM、BC的中点,用OA、OB、OC表示出OM、ON,从而得出MN、MG,即可得出OG.
【详解】连结ON.
因为M，N分别是对边OB，AC的中点，所以OM=12OB，ON=12OA+OC，
所以MN=ON−OM=12OA+OC−12OB.
又MG=2GN，所以MG=23MN=13OA−OB+OC.
OG=OM+MG=12OB+13OA−OB+OC=13OA+16OB+13OC.
故选：C
5．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为CC1的中点，E为C1D1的中点，F为B1C1的中点，O为EF的中点，直线PE交直线DD1于点Q，直线PF交直线BB1于点R，则（ ）
A．AO=57AP+17AQ+17ARB．AO=12AP+14AQ+14AR
C．AO=23AP+16AQ+16ARD．AO=59AP+29AQ+29AR
【答案】B
【分析】先以AA1，AB，AD为基底，表示出AP,AQ,AR，然后解向量方程组，用AP,AQ,AR表示出AA1，AB，AD，再由AA1，AB，AD与AO的关系可得.
【详解】记AA1=a，AB=b，AD=c，则12a+b+c=AP32a+b=AR32a+c=AQ，解得a=25(AR+AQ−AP)b=25AR−35AQ+35APc=−35AR+25AQ+35AP
又AO=a+A1O=a+34b+c所以AO=25(AR+AQ−AP)+3425AR−35AQ+35AP+−35AR+25AQ+35AP整理得AO=12AP+14AQ+14AR．
故选：B
二、多选题
6．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=12AA1=2，点P为空间一点，若AP=xAD+yAB+ (1−x−y)AA1，BQ=λBD+μBB1，则下列判断正确的是（ ）
A．线段AP长度的最小值为43
B．当μ=12时，三棱锥Q−BDA1的体积为定值
C．无论x,y,λ,μ取何值，点P与点Q不可能重合
D．当λ=μ=12时，四棱锥Q−ABCD的外接球的表面积为9π
【答案】BD
【分析】用向量共面的基本定理判断点P在平面BDA1内，然后利用等体积法即可判断选项A；根据线面平行性质即可判断选项B；根据向量共面的基本定理即可判断选项C；利用几何的方法求出四棱锥Q−ABCD外接球的半径即可判断选项D.
【详解】由AP=xAD+yAB+(1−x−y)AA1得点P在平面BDA1内，
故AP的最小值为点A到平面BDA1的距离，利用等积法VA−A1BD=VA1−ABD，
也即13×12×2×2×2=13×12×22×6ℎ，所以ℎ=23=233，
易求(AP)min=233，故A错误；
当μ=12时，点Q的轨迹为图中直线EF，
显然EF∥BD，易得EF∥平面BDA1，也即点Q的轨迹与平面BDA1平行，
故三棱锥Q−BDA1的体积为定值，故B正确；
由BQ=λBD+μBB1，则点Q在平面BDD1B1内，又点P在平面BDA1内，且平面BDA1∩平面BDD1B1=BD，故P，Q可能重合，故C错误；
当λ=μ=12时，点Q为DB1的中点，连接AC，其与BD的交点为O1，连接QO1，则QO1=2，设四棱锥Q−ABCD的外接球的球心为O，则O在QO1上，设球O的半径为R，则R2=AC22+(R−2)2，解得R=32.故球O的表面积为4π×322=9π，故D正确.
故选：BD.
7．若OA，OB，OC是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（ ）
A．θ的取值范围是0,π
B．OA,AB,BC能构成空间的一个基底
C．“OP=2OA−OB+OC”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．OA+OB+OC⋅BC=0
【答案】BD
【分析】根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】因OA，OB，OC是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则三棱锥O−ABC是侧棱长为1的正三棱锥，如图，
作OO′⊥平面ABC于点O′，连接O′A,O′B,O′C，则O′A=O′B=O′C=r∈(0,1)，
∠AO′B=∠BO′C=∠CO′A=2π3，BC=3r，△BOC中，由余弦定理得csθ=12+12−BC22×1×1=1−32r2∈(−12,1)，
于是得θ∈(0,2π3)，A不正确；
因OA，OB，OC是不共面的，由空间向量基底的意义知，B正确；
假定P，A，B，C四点共面，依题意，存在唯一实数对(x,y)使得BP=xBA+yBC，即OP=xOA+(1−x−y)OB+yOC，
而OP=2OA−OB+OC，由空间向量基本定理知x=21−x−y=−1y=1，此方程组无解，则有P，A，B，C四点不共面，
“OP=2OA−OB+OC”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，C不正确；
(OA+OB+OC)⋅BC=(OA+OB+OC)⋅(OC−OB)=OA⋅OC−OA⋅OB+OC2−OB2 =csθ−csθ+1−1=0，D正确.
故选：BD
8．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使MA→,MB→,MC→成为空间的一个基底的是（ ）
A．OM→=12OA→+13OB→+14OC→B．MA→=MB→+MC→
C．OM→=OA→+OB→+OC→D．6OM→=OA→+2OB→+3OC→
【答案】AC
【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】解：对于选项ACD，由OM→=xOA→+yOB→+zOC→x+y+z=1，可得M，A，B，C四点共面，即MA→,MB→,MC→共面，所以选项A中，MA→,MB→,MC→不共面，可以构成基底，选项C中，MA→,MB→,MC→不共面，可以构成基底；选项D中，因为6OM→=OA→+2OB→+3OC→，所以OM→=16OA→+13OB→+12OC→,可得M，A，B，C四点共面，即MA→,MB→,MC→共面，无法构成基底，故选项D错误；
对于选项B，根据平面向量基本定理，选项B中，因为MA→=MB→+MC→，得MA→,MB→,MC→共面，无法构成基底，故选项B错误.
故选:AC.
三、填空题
9．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，Ω=PAP=λAB+μAC+ηAA1,0≤λ≤1,0≤μ≤2,0≤η≤3，若Ω中所有的点构成的几何体的体积为3，则AB与AC夹角的大小为________．
【答案】π6或5π6
【分析】由条件确定区域Ω与三棱柱ABC−A1B1C1的体积关系，结合柱体体积公式列方程可求AB与AC夹角的正弦值，由此可得夹角大小.
【详解】因为Ω=PAP=λAB+μAC+ηAA1,0≤λ≤1,0≤μ≤2,0≤η≤3，
所以Ω中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱ABC−A1B1C1体积的2×3=6倍，
则6AB×ACsinAB,AC×AA1=3，又AB=AC=AA1=1，所以sinAB,AC=12，因为AB,AC∈0,π，所以AB,AC=π6或5π6，
所以AB与AC夹角的大小为π6或5π6．
故答案为：π6或5π6.
10．已知e1,e2,e3是空间单位向量，e1⋅e2=e2⋅e3=e3⋅e1=13，若空间向量a满足a=xe1+ye2x>0,y>0，a=4，则a⋅e3的最大值是_______.
【答案】263
【分析】由a=4列方程，利用已知条件化简a⋅e3，结合基本不等式求得a⋅e3的最大值.
【详解】依题意e1,e2,e3是空间单位向量，
且a=xe1+ye2x>0,y>0，
a=xe1+ye2=xe1+ye22=x2e12+2xye1⋅e2+y2e22
=x2+23xy+y2=4，x2+23xy+y2=16，
a⋅e3=xe1+ye2⋅e3=xe1⋅e3+ye2⋅e3=13x+y，
16=x2+y2+23xy=x+y2−43xy≥x+y2−43×x+y22=23x+y2，
当且仅当x=y=6时等号成立，
所以x+y2≤24,x+y≤26，
所以a⋅e3=13x+y≤13×26=263.
故答案为：263
四、解答题
11．平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求线段AC1的长；
(2)若AB=a,AD=b,AA1=c，判断{a+b,a−b,c}能否构成空间的一组基底，若能，用此基底表示向量A1B；若不能，说明理由．
【答案】(1)6
(2)能构成基底，A1B=12a+b+12a−b−c
【分析】（1）利用AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1，平方后开根号求出AC1即可；
（2）{a,b,c}显然是一组空间的基底，可利用反证法证明{a+b,a−b,c}是一组基底，然后利用向量的线性运算表示出A1B即可.
（1）
AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1，依题意，结合几何体可得：AB,AD,AA1两两夹角是60∘，故AC12=AB+AD+AA12=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD+AD⋅AA1+AA1⋅AB
=1+1+1+21×1×12+1×1×12+1×1×12=6，故AC1=6，即AC=AC1=6.
（2）
AB,AD,AA1是平行六面体同一点A引出的三条向量，结合图形可知它们不共面，故{a,b,c}可作为空间中的一组基底；假设{a+b,a−b,c}不是空间的一组基底，于是a+b,a−b,c三个向量共面，故∃x,y，使得c=x(a+b)+y(a−b)，此时整理可得：c=(x+y)a+(x−y)b，说明a,b,c共面，这与{a,b,c}是空间的基底矛盾，故假设不成立，于是{a+b,a−b,c}是空间的一组基底；
于是A1B=A1A+AB=−c+a=12a+b+12a−b−c
12．如图，在三棱锥P−ABC中，点D为棱BC上一点，且CD=2BD，点M为线段AD的中点．
(1)以AB,AC,AP为一组基底表示向量PM；
(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60∘，求PM⋅AC．
【答案】(1)PM=−AP+13AB+16AC；
(2)−3.
【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；
（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．
【详解】（1）∵M为线段AD的中点，∴AM=12AD，∵CD=2BD，∴BD=13BC，
∴PM=PA+AM=PA+12AD=PA+12(AB+BD)=PA+12(AB+13BC)=PA+12AB+13(BA+AC)=PA+12(AB−13AB+13AC)=−AP+13AB+16AC；
（2）PM⋅AC=(−AP+13AB+16AC)⋅AC=−AP⋅AC+13AB⋅AC+16AC2
=−APACcs∠PAC +13ABACcs∠BAC +16AC2=−4×3×12+13×3×3×12+16×32
=−6+32+32=−3．
13．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设OA=a，OB=b，OC=c．
(1)用a，b，c表示向量OP；
(2)若a=b=c=1，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①a,b=b,c=c,a=π3；②a,b=c,a=π3,b,c=π2；③a→,b→=c→,a→=π2,b→,c→=2π3，则可求出OP的值；并求出OP的大小．
【答案】(1)OP=13a+14b+14c
(2)①⇒|OP|=6712②⇒|OP|=5812③⇒|OP|=512
【分析】（1）连接ON由 OP=1223OA+12OC+OB可得答案；
（2）选①，对OP=13a+14b+14c两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对OP=13a+14b+14c两边平方代入已知再开方可得答案；
③对OP=13a+14b+14c两边平代入已知再开方可得答案.
（1）
连接ON，因为N是棱BC的中点，所以OP=12OM+ON，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以
OP=1223OA+12OC+OB=1223a+12c+b=13a+14b+14c.
（2）
选①a,b=b,c=c,a=π3，
因为a=b=c=1，OP=13a+14b+14c，所以OP2=13a+14b+14c2=19a2+14b2+14c2+16a⋅b+16a⋅c+18c⋅b
=19+18+16×12+16×12+18×12=67144，所以OP=6712；
选②a,b=c,a=π3,b,c=π2，
因为a=b=c=1，OP=13a+14b+14c，所以OP2=13a+14b+14c2=19a2+14b2+14c2+16a⋅b+16a⋅c+18c⋅b
=19+18+16×12+16×12=2972，所以OP=5812；
③a,b=c,a=π2,b,c=2π3，
因为a=b=c=1，OP=13a+14b+14c，所以OP2=13a+14b+14c2=19a2+14b2+14c2+16a⋅b+16a⋅c+18c⋅b
=19+18−18×12=25144，所以OP=512.
题组C 培优拔尖练
如图，在三棱锥D−ABC中，已知AB=2，AC⋅BD=−3，设AD=a ， BC=b ， CD=c，则c2ab+1的最小值为______.
【答案】2
【详解】试题分析：设AD=a，CB=b，DC=c，∵AB=2，∴|a+b+c|2=4⇒a2+b2+c2+
2(a⋅b+b⋅c+c⋅a)=4，又∵AC⋅BD=−3，∴(a+c)⋅(−b−c)=−3⇒a⋅b+b⋅c+c⋅a+c2=3，
∴a2+b2+c2+2(3−c2)=4⇒c2=a2+b2+2，∴a2+b2+2ab+1≥2ab+2ab+1=2，当且仅当a=b时，等号成立，即c2ab+1的最小值是2．
考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．
【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．课程标准
重难点
1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解.
重点：空间向量基本定理.
难点：选择恰当的基底表示向量.
空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
正交基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示