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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.2排列优秀当堂检测题
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.2排列优秀当堂检测题，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第二册72排列原卷版docx、同步讲义苏教版2019高中数学选修第二册72排列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 排列与全排列的定义
1.排列：一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m=n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列.
【注意】排列中元素所满足的两个特性
(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．
而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
2.相同排列：如果组成排列的对象是相同的，并且对象的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的.
【注意】相同排列的两个条件
(1)元素相同．(2)排列顺序相同．
【即学即练1】（2022·全国·高三专题练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合a1,a2,a3,⋅⋅⋅,an的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D
【即学即练2】（2022·全国·高二课时练习）从集合3,5,7,9,11中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x2a2+y2b2=1a>0,b>0中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是（ ）
A．①②③④B．②④C．②③D．①④
【答案】B
【分析】根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序．
【详解】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；
若方程x2a2+y2b2=1a>0,b>0表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，故③不是排列问题；
在双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0中不管a>b还是a知识点02 排列数及其公式
1.排列数定义：从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Amn表示.
2.排列数公式：Amn=n（n-1）..[n-（m- 1）]，m个数 =n（n- 1）..（n- m+1），这个公式称为排列数公式. 特别地，当m=n时，Amn=n×（n- 1）×...×2×1=n!
【注意】
排列的定义中包含两个基本内容，一是"取出元素"，二是"按照一定的顺序排列".
一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法.
3.在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别.
4.“ 排列”与“排列数”是两个不同的概念，“ 排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，" 排列数"是指"从n个不同元素中取出m（m，n都是正整数，m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.
【即学即练3】（2022·北京顺义·高二期末）A52的值为（ ）
A．20B．10C．5D．2
【答案】A
【分析】由排列数定义计算．
【详解】A52=5×4=20故选：A．
【即学即练4】（2022·山东枣庄·高二期末）7×8×9×⋅⋅⋅×15可表示为（ ）
A．A159B．A158C．C159D．C158
【答案】A
【分析】由排列数公式判断即可
【详解】因为是7×8×9×⋅⋅⋅×15连续9个数和相乘，所以7×8×9×⋅⋅⋅×15=A159，故选：A
知识点03 排列数及排列数公式
【即学即练5】（2022·全国·高三专题练习）A1010−89A88−8A77=_________．
【答案】0
【分析】根据排列数的计算公式，化简得到A1010−89A88−8A77=A1010−90A88=10A99−10A99，即可求解.
【详解】根据排列数的计算公式，可得A1010−89A88−8A77=A1010−89A88−A88=A1010−90A88
=10A99−10A99=0.故答案为：0.
【即学即练6】（2022·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）A2nn+3−A4n+1n∈N∗的值为________．
【答案】696
【分析】根据排列数的性质可求得n=3，即可计算.
【详解】由已知可得n+3≤2nn+1≤4，解得n=3，所以A2nn+3−A4n+1=A66−A44=720−24=696.
故答案为：696.
能力拓展
◆考点01与排列数有关的方程不等式问题
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）若A2n3=10An3，则n=（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据排列数的计算公式即可求解.
【详解】由题意，得2n2n−12n−2=10nn−1n−2，化简可得4n−2=5n−10，解得n=8．
故选:B
【典例2】（2021·北京市十一学校高二期末）若4A2n3=10An3，则n=（ ）
A．1B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据排列数的运算求解即可.
【详解】由A2n3=10An3得，2n(2n−1)(2n−2)=10n(n−1)(n−2)，又n≥3,n∈N∗，
所以2(2n−1)=5(n−2)，解得n=8，所以正整数n为8．故选：B.
【典例3】（2022·江苏南通·高二期末）若A63=m!A52，则m=（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可
【详解】由A63=m!A52，则m!=6，故m=3．故选：D
◆考点02 元素相邻问题
【典例4】（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ）
A．72种B．60种C．48种D．36种
【答案】C
【分析】利用捆绑法，将甲乙捆绑在一起.再由分步计数原理即可计算出结果.
【详解】甲、乙相邻共有A22=2种.将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有A44=4×3×2×1=24种.则共有2×24=48种.故选：C.
【典例5】（2022·全国·高三专题练习）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（ ）
A．48种B．36种C．20种D．24种
【答案】B
【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.
【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有A33A33=36排法，
故选:B.
◆考点03 元素不相邻问题
【典例6】（2022·全国·高三专题练习）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（ ）
A．30B．54C．63D．72
【答案】D
【分析】按照插空法列式，求解.
【详解】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有A33A42=72.
故选：D
【典例7】（2022·河北张家口·高二期末）中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（ ）
A．72种B．36种C．48种D．24种
【答案】A
【分析】先排商､角､徵进行全排列，再利用插空法，即可求解.
【详解】根据题意，先排商､角､徵有A33=6种排法，再将这三个音阶有四个空位可排宫､羽两音阶，有A42=12种排法，
所以其中宫､羽两音阶不相邻的音序共有A33⋅A42=72（种）排法.
故选：A.
◆考点04 定位定远问题
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
(1)男甲必排在首位；
(2)男甲、男乙必排在正中间；
(3)男甲不在首位，男乙不在末位；
(4)男甲、男乙必排在一起；
(5)4名女生排在一起；
(6)任何两个女生都不得相邻；
(7)男生甲、乙、丙顺序一定．
【答案】(1)A99(2)A22A77(3)A1010−2A99+A88(4)A22A88(5)A44A77(6)A66A74(7)A1010A33=A107，
【分析】（1）分步：先排甲，再排其他人根据乘法计数原理计算即可
（2）分步：先排甲乙，再排其他人根据乘法计数原理计算即可
（3）根据间接法计算可得
（4）根据捆绑法计算可得
（5）根据捆绑法计算可得
（6）根据插空法计算可得
（7）根据定序法计算可得
（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010−2A99+A88种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A1010A33=A107种.
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
【分析】（1）根据排列即可求解，
（2）根据不相邻问题运用插空法即可求解，
（3）根据特殊元素或者特殊位置优先安排即可求解,
（4）根据分类加法计数原理即可分两类情况分别求解：一类甲在最后最右端，另一类甲在出来左右两端之外的中间5个位置中选一个，
（5）根据定序问题利用除法即可求解，
（6）先安排好甲，剩余人员全排列即可，
（7）甲乙相邻问题，然后甲乙整体与丙属于不相邻问题，分别利用捆绑法和插空法即可分步求解，
（8）根据圆桌问题，利用定序问题的除法公式即可求解.
（1）从7人中选5人排列，排法有A75=2520（种）．
（2）先排男生，有A33种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有A44种排法．故排法共有A33A44=144（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有A66种排法，故排法共有5×A66=3600（种）．
方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，其他位置有A55种排法，故排法共有A62A55=3600（种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有A66种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有A55种排法．故排法共有A66+5×5×A55=3720（种）．
方法二 7名学生全排列，有A77种排法，其中甲在最左边时，有A66种排法，乙在最右边时，有A66种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种排法，故排法共有A77−2A66+A55=3720（种）．
（5）7名学生站成一排，有A77种排法，其中3名男生的排法有A33种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有A77A33=840（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有A66=720（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有A44种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有A52种排法．
故排法共有A44A22A52=960（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有16A66种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有16A66A22=240（种）．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．48种
【答案】B
【分析】先分析小明的分配方法，再将另外3名志愿者全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【详解】志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方法，
将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有A33种分配方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有3A33=18种．
故选：B．
2．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72B．36C．24D．12
【答案】A
【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可.
【详解】先排三个唱歌节目这有：A33=6种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有：A42=12种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：6×12=72情况.
故选：A.
3．（2022秋·甘肃庆阳·高二统考期末）A53A42=（ ）
A．10B．5C．20D．4
【答案】B
【分析】用排列数公式Anm=n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−m+1)展开即可求得.
【详解】A53A42=5×4×34×3=5．
故选：B
4．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）2022中国（南昌）国际大健康产业大会暨博览会将于11月25日-27日正式举办，此次博览会将围绕医疗器械、生物医药、中医中药、国际医养、医疗美容、健康生活六大板块，搭建政、商、学、医、研，产的高端对话与合作平台，推动健康产业资源要素相互赋能．博览会某日将举办六大板块为主旨的六场报告会，其中上午四场，下午两场，要求中医中药排在上午前两场中任意一场，医疗美容和健康生活排在下午，则不同安排种数是（ ）
A．24B．96C．144D．192
【答案】A
【分析】根据排列的知识求得正确答案.
【详解】依题意可知，不同安排种数是2×A33×A22=24种.
故选：A
5．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）A,B,C,D,E五人站一排拍照，B,C不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
【答案】C
【分析】运用插空法排列即可.
【详解】先排A,D,E三人有A33=6排法，确定四个空，用插空法有A42=12种排法，
所以不同的排列方式共有A33A42=6·12=72种排法，
故选：C
6．（2022秋·四川成都·高一四川省成都市第八中学校校考开学考试）若 “!” 是一种运算符号，并定义：1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,⋯⋯，则100!98!的值为（ ）
A．5049B．99!C．9900D．2!
【答案】C
【分析】根据题意，结合“!” 是一种运算，即可求解.
【详解】根据题意，可得100!98!=100×99×98×97×⋯×2×198×97×⋯×2×1=100×99=9900.
故选：C.
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
【答案】AB
【分析】利用分步计数原理及排列知识逐项分析即得.
【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有53=125种，A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有53种，A 医院没有专家去的方法有43种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有53−43=61种，B正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有52=25种，C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有A53=60种，D错误．
故选：AB.
8．（2023·全国·高三专题练习）身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与C同学不相邻，共有A44⋅A52种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有A66−2A55+A44种站法
【答案】ABD
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
【详解】A：6个人全排列有A66种方法，A、C、D全排列有A33种方法，
所以A、C、D从左到右按高到矮的排列有A66A33=120种方法，故A正确；
B：先排列除A与C外的4个人，有A44种方法，
4个人排列共有5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有A52种方法，
所以共有A44 A52种方法，故B正确；
C：A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有A44种方法，
所以共有2A44=48种方法，故C错误；
D：6个人全排列有A66种方法，
当A在排头时，有A55种方法，当C在排尾时，有A55种方法，
当A在排头且C在排尾时，有A44种方法，
所以A在排头，C在排尾的情况共有A66 −2A55+− A44种，故D正确.
故选：ABD
9．（2022春·江苏镇江·高二校考期末）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】BCD
【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.
【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻，可将甲乙捆绑看成一个元素则有A22=2种，则不同的排法共有A44A22=48种，故A项错误，
对于B，最左端排甲时，有A44=24种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有A31A33=18种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故B项正确，
对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有A33A42=72种，故C项正确，
对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有A55A33=20种，故D项正确．
故选：BCD．
10．（2022·高二课时练习）A155−15A144+14A133=（ ）．
A．A144B．14A133C．A133D．14!10!
【答案】ABD
【分析】利用排列数公式化简，再逐一分析各个选项，计算判断作答.
【详解】A155−15A144+14A133=15A144−15A144+14A133=14A133，B正确，C不正确；
而14A133=A144=14!10!，即A155−15A144+14A133=A144=14!10!，A正确，D正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期期初考试数学试题）某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是a,b,c,则概率P(a【答案】325##0.12
【分析】分a的不同取值分类讨论即可求解概率.
【详解】用随机机器选三次，共有103=1000种选法，
从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中选3个数，a先固定a,b分别为0,1，则c有8种选择，固定a,b分别为0,2，则c有7种选择，
固定a,b分别为0,3，则c有6种选择，
依此类推，当a=0时，共有8+7+6+⋯+2+1=8(8+1)2=36种，
所以当a=1时，共有7+6+⋯+2+1=7(7+1)2=28种，
当a=2时，共有6+5+⋯+2+1=6(6+1)2=21种，
当a=3时，共有5+4+⋯+2+1=5(5+1)2=15种，
当a=4时，共有4+3+2+1=4(4+1)2=10种，
当a=5时，共有3+2+1=6种，
当a=6时，共有2+1=3种，
当a=7时，共有1种，
综上，共有36+28+21+15+10+6+3+1=120种，
故P(a故答案为: 325.
12．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）A,B,C,D,E,F共6人站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.
【答案】120
【分析】利用捆绑法并且内部不排序，直接全排列解答即可.
【详解】A,B必须相邻且B在A的右边,可将A,B捆绑在一起并且不用排序，
则6人的排列方法种数共有A55=120种.
故答案为：120.
13．（2023·广东广州·统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答）
【答案】144
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，
有A22A33=12种情况，
②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，
有A42=12种情况，
则有12×12=144种排法，
故答案为：144．
四、解答题
14．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．
(1)能被25整除的数；
(2)十位数字比个位数字大的数．
【答案】(1)21个
(2)150个
【分析】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，分类排前两位数即可；
（2）所组成的无重复数字的四位数，十位数字比个位数字大的数占一半.
【详解】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有P42个，末尾为25的有P31P31个，所以一共有P42+P31P31=21（个）．
（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有P51P53=300（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有12P51P53=150（个）．
15．（2022春·山西吕梁·高二校考阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．
(1)六位奇数；
(2)能被5整除的四位数.
【答案】(1)288
(2)108
【分析】先排个位，再排首位，最后排中间四位.
【详解】（1）先排个位，个位数字只能从1，3，5中选，有3种方法；
再排首位，首位不能为0，故还有4个数字可选，有4种方法；
最后排中间四位，没有其他附加条件，排列数为4!.
由分步乘法计数原理，知共有不同的排法种数为3×4×4!=288.
（2）能被5整除，个位只能是0或5，个位是0时，没有其他附加条件，其他三个数位的排法有A53种；
个位是5时，首位排法有4种，再排十位与百位，有A42种，所以个位是5的排法有4A42种.
由分类加法计数原理知共有A53+4A42=108种排法.
16．（2004·浙江·高考真题）某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）．假定工厂之间的选择互不影响．
(1)求5个工厂均选择星期日停电的概率；
(2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．
【答案】(1)116807；
(2)20412401.
【分析】（1）求得5个工厂所有选择的可能情况，以及目标事件的可能情况，用古典概型的概率计算公式求解即可；
（2）利用古典概型的概率计算公式求得5个工厂停电时间各不相同的概率，再求至少有两个工厂选择同一天停电的概率即可.
【详解】（1）设5个工厂均选择星期日停电的事件为A，
则PA=175=116807.
（2）设5个工厂停电时间各不相同的事件为B，
则PB=A7575=3602401
至少有两个工厂选择同一天停电的事件为B，
则PB=1−PB=20412401.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（ ）
A．13B．19C．118D．136
【答案】D
【分析】根据计数原理，排列的应用，古典概型求解即可.
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子3次，共有6×6×6=63种不同结果，
其中向上的点数为3个互不相同的偶数的情况为点数为2,4,6的排列，故有A33=6种，
所以，向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为P=A3363=136.
故选：D
2．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．34种B．56种C．96种D．144种
【答案】C
【分析】先求出讲座A只能安排在第一或最后一场的方法总数，再求出讲座B和C必须相邻方法总数，最后由分步乘法计算原理即可得出答案.
【详解】∵由题意知讲座A只能安排在第一或最后一场，∴有A21=2种结果，
∵讲座B和C必须相邻，∴共有A44A22=48种结果，
根据分步计数原理知共有2×48=96种结果.
故选:C．
3．设x1,x2,x3,x4,x5是1，2，3，4，5的一个排列，若xi−xi+1xi+1−xi+2<0对一切i∈1,2,3恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（ ）
A．16B．25C．32D．41
【答案】C
【分析】由已知可知当x1x2时，x2=1或x4=1时“交替”的排列数目，相加即可得出结果.
【详解】由已知可得x1−x2x2−x3<0，x2−x3x3−x4<0，x3−x4x4−x5<0.
（ⅰ）当x1−x2<0时，x1x3，x3x5，
此时有x2=5或x4=5.
①当x2=5时，由已知可得x4=3或x4=4
当x2=5，x4=3时，此时必有x1=4，排列可以是4,5,1,3,2或4,5,2,3,1两种；
当x2=5时，x4=4时，此时x1,x3,x5可选择1，2，3中的任意排列，共A33=6中排列.
综上所述，共有8种方法；
②同理可得当x4=5，可得x2=3或x2=4，也有8种方法.
综上所述，当x1（ⅱ）当x1−x2>0时，x1>x2，可推出x2x4，x4此时有x2=1或x4=1.
①当x2=1时，由已知可得x4=2或x4=3
当x2=1，x4=3时，此时必有x1=2，排列可以是2,1,4,3,5或2,1,5,3,4两种；
当x2=1时，x4=2时，此时x1,x3,x5可选择3，4，5中的任意排列，共A33=6中排列.
综上所述，共有8种方法；
②同理可得当x4=1，可得x2=2或x2=3，此时也有8种方法.
综上所述，当x1所以，“交替”的排列的数目是32.
故选：C.
4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书3本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A．110B．15C．310D．25
【答案】A
【分析】利用插空法以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】若同一科目的书都不相邻，则先将3本书排序，然后将2本语文书插入中间2个空，
所以，同一科目的书都不相邻的概率是P=A33A22A55=110.
故选：A.
5．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ）
A．12B．14C．124D．1144
【答案】B
【分析】随机逐个面试共有A66种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类，求出相应的顺序，即可求得概率．
【详解】解：随机逐个面试共有A66种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：
①男男男女女女，此时有A33×A33=36种；
②男男女男女女，此时有A32×A31×A22=36种；
③男男女女男女，此时有A32×A32=36种；
④男女男男女女，此时有A31A31A22A22=36种；
⑤男女男女男女，此时有A33×A33=36种；
故共有36×5=180种，所以概率为180A66=14
故选：B．
二、多选题
6．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（ ）
A．共有A66种不同的排法B．男生不在两端共有A22A44种排法
C．男生甲、乙相邻共有A22A55种排法D．三位女生不相邻共有A33A33种排法
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答.
【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有A66种不同的排法，A正确；
男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有A32A44种排法，B不正确；
男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有A22A55种排法，C正确；
三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有A33A43种排法，D不正确.
故选：AC
7．从5名候选人中选派出3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则（ ）
A．有36种不同的选派方案
B．有48种不同的选派方案
C．若甲参加活动，则有24种不同的选派方案
D．若甲不参加活动，则有24种不同的选派方案
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用排列问题及分类加法计数原理计算，再判断各选项作答.
【详解】若甲参加活动，则选B，C之一给甲，余下两项活动选派给另4人中两人，有A21A42=24种，C正确；
若甲不参加活动，则除甲外的4人中选派3人参加活动，有A43=24种，D正确；
由分类加法计数原理知，不同的选派方案有A21A42+A43=48种，B正确；A不正确.
故选：BCD
8．甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若n=2时，则共有3种不同走法B．若n=2时，则共有5种不同走法
C．若n=3时，则共有25种不同走法D．若n=3时，则共有27种不同走法
【答案】BD
【分析】当n=2时，骰子的点数之和是8，列举出点数中两个数字能够使得和为8的情况，即可判断A、B，若n=3时，三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的情况，再按照分类分步计数原理计算可得.
【详解】解：由题意知正方形ABCD（边长为2个单位）的周长是8．
当n=2时，骰子的点数之和是8，列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有2,6，3,5，4,4共3种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果，故A错误，B正确；
若n=3时，三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的有1,2,5，1,3,4，1,1,6，2,2,4，2,3,3，4,6,6，5,5,6共有7种组合，
前2种组合1,2,5，1,3,4，每种情况可以排列出A33=6种结果，共有2A33=2×6=12种结果，
其中1,1,6，2,2,4，2,3,3，4,6,6，5,5,6各有3种结果，共有5×3=15种结果，根据分类计数原理知共有12+15=27种结果．
故选：BD．
9．4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（ ）
A．男生必须接在一起的坐法有576种B．女生互不相邻的坐法有1440种
C．男生相邻､女生也相邻的坐法有144种D．男女生相间的坐法有288种
【答案】AB
【分析】不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，一一计算可得.
【详解】解：对于A：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素排列，
再排4个男生的内部顺序，共有A44A44=576种结果，故A正确；
对于B：由题意，可以先排列男生，有A44种结果，
再用插空法排女生，共有A44A53=1440种结果，故B正确．
对于C：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有A22种
再排他们内部的顺序，有A44A33种结果，
根据分步计数原理，共有A44A33A22=288种结果，故C错误．
对于D：首先把4名男同学全排列，共有A44种结果，
再将3名女生插空A33种，所以一共有A44A33=144种结果，故D错误．
故选：AB
三、填空题
10．袋中装有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中一次性随机取出两个球，设两球标号为x1和y1，并记u1=x1+y1，v1=x1−y1．将球放回袋中，重复上述操作，得到u2和v2．设平面向量n1=u1,v1，n2=u2,v2，则n1与n2能构成基底n1,n2的概率为______．
【答案】89
【分析】首先列举向量n1和n2的所有情况，并结合排列数公式，得到不能构成基底的情况，最后利用对立事件求概率.
【详解】由条件可知，向量n1和n2为3,1,4,2,5,3,6,4,7,5,5,1,6,2，7,3,8,4,7,1,8,2,9,3,9,1,10,2,11,1，共15种情况，
当n1=n2，共15种情况；
当n1≠n2时，满足n1//n2，有3,1,6,2,9,3，共A32=6种情况；4,2,8,4，共A22=2种情况；以及5,1,10,2，共A22=2种情况；
综上可知，n1//n2时，n1与n2不能构成基底，共有15+6+2+2=25种情况，
所以n1与n2能构成基底n1,n2的概率P=1−2515×15=89.
故答案为：89
11．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______.
【答案】35##0.6
【分析】先计算出男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.
【详解】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，且男生甲不站两端共有4A55种不同排法，
其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有A32(A33A42−6A22A22)种不同排法，
因此所求概率为A32(A33A42−6A22A22)4A55=35.
故答案为：35.
12．定义acbd=ad−bc，现从集合x∈N*∣x<10中随机取两个不同的元素m,n，则满足2m3n=0的概率为__________.
【答案】124
【分析】根据新定义得到2n=3m，再根据(m,n)的所有取值可能，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】因为{x∈N*|x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，从集合中随机取两个不同的元素m,n，所组成的点(m,n)共有A92=72个，
又因为定义acbd=ad−bc，所以由2m3n=0可得：2n=3m，
在所有的点(m,n)中，满足2n=3m的有(2,3),(4,6),(6,9)共3个，
由古典概型的概率计算公式可得：P=372=124，
所以满足2m3n=0的概率为124，
故答案为：124.
四、解答题
13．（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？
（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
（5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？
【答案】（1）100 （2）180 （3）180 （4）48 （5）120
【分析】（1）根据分步乘法原理求解即可；
（2）根据分步乘法原理求解即可；
（3）根据分步乘法原理求解即可；
（4）根据分步乘法原理求解即可；
（5）根据排列原理求解即可；
【详解】解：（1）先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有5×5×4=100种不同的方案，
所以，可以组成100个无重复数字的三位数；
（2）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有5×6×6=180种不同的方案，
所以，可以组成180个三位数；
（3）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有5×6×6=180种不同的方案，
所以，可以组成180个数字允许重复的三位数；
（4）先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有3×4×4=48种不同的方案，
所以，可以组成48个数字允许重复的三位数；
（5）根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有A63=6×5×4=120种，
所以，可以组成120个六位数.
14．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．
(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；
(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．
【答案】(1)144
(2)504
【分析】（1）利用捆绑法和插空法，将“射”和“乐”两门课程捆绑，看作一个元素将之与“数”分别插入另外3个元素隔开的空档中，由此计算即可得出答案；
（2）根据题意，分两种情况讨论：“射”排在第四节；“射”不排在第四节，由加法原理计算可得答案．
【详解】（1）将“射”和“乐”两门课程捆绑，内部先全排，有A22种，然后“礼”“御”“书”全排排，有A33种，此时有四个空挡，最后将捆绑的课程与“数”插入空挡中，有A42种，
则不同的排课顺序有A22A33A42=144种．
（2）若“射”排在第四节，则有A55=120种不同的排课顺序；
若“射”不排在第四节，则有A41A41A44=384种不同的排课顺序．
由加法原理得，共有120+384=504种不同的排课顺序．
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．将六个数0、1、2、9、19、20将任意次序排成一行，拼成一个8位数，则产生的不同的8位数的个数是（ ）
A．498B．516
C．534D．546
【答案】A
【分析】先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案.
【详解】将六个数0、1、2、9、19、20将任意次序排成一行，拼成一个8位数，由于首位不能为0，则有5×A55=600个，
其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有A55A22=60种，
“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有4A44A22=48种，
“20”和“19”都出现2次的排法有A44A22A22=6种，
因此满足条件的8位数的个数为：600−60−48+6=498.
故选：A.
二、多选题
2．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面说法正确的是（ ）
A．进入第二个格子走法有2种
B．进入第二个格子走法有1种
C．进入第三个格子走法有2种
D．进入第八个格子走法有21种
【答案】BCD
【分析】设跳到第n格的方法有an，由题可得an=an−1+an−2，即得.
【详解】设跳到第n格的方法有an，则达到第n格的方法有两类，
第一种方法是从第n−1个格子向右跳一格到达第n格，方法数为an−1，
第二种方法是从第n−2向右跳两格到达第n格，方法数是an−2，则an=an−1+an−2，
结合条件及数列的递推关系可得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21,
∴A错误，BCD正确.
故选：BCD.
三、填空题
3．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.
【答案】96
【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即AF同色，BD同色，CE同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即AF，BD，CE三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有C43=4种取法，三种颜色染三个区域有A33=6种染法，共4×6=24种染法；
第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案(AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有A42=12种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有3×12×2=72种染法．
∴由分类加法原理得总的染色种数为24+72=96种．
故答案为：96．
【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题．课程标准
重难点
1.掌握几种有限制条件的排列.
2.能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题.
重点：几种有限制条件的排列的掌握；
难点：用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题.
排列数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
Aeq \\al(m,n)
排列数
公式
乘积式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式
Anm=n!n−m!
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！
备注
n，m∈N*，m≤n
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知识精讲
知识点01 排列与全排列的定义
1.排列：一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m=n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列.
【注意】排列中元素所满足的两个特性
(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．
而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
2.相同排列：如果组成排列的对象是相同的，并且对象的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的.
【注意】相同排列的两个条件
(1)元素相同．(2)排列顺序相同．
【即学即练1】（2022·全国·高三专题练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合a1,a2,a3,⋅⋅⋅,an的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D
【即学即练2】（2022·全国·高二课时练习）从集合3,5,7,9,11中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x2a2+y2b2=1a>0,b>0中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是（ ）
A．①②③④B．②④C．②③D．①④
【答案】B
【分析】根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序．
【详解】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；
若方程x2a2+y2b2=1a>0,b>0表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，故③不是排列问题；
在双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0中不管a>b还是a
1.排列数定义：从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Amn表示.
2.排列数公式：Amn=n（n-1）..[n-（m- 1）]，m个数 =n（n- 1）..（n- m+1），这个公式称为排列数公式. 特别地，当m=n时，Amn=n×（n- 1）×...×2×1=n!
【注意】
排列的定义中包含两个基本内容，一是"取出元素"，二是"按照一定的顺序排列".
一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法.
3.在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别.
4.“ 排列”与“排列数”是两个不同的概念，“ 排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，" 排列数"是指"从n个不同元素中取出m（m，n都是正整数，m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.
【即学即练3】（2022·北京顺义·高二期末）A52的值为（ ）
A．20B．10C．5D．2
【答案】A
【分析】由排列数定义计算．
【详解】A52=5×4=20故选：A．
【即学即练4】（2022·山东枣庄·高二期末）7×8×9×⋅⋅⋅×15可表示为（ ）
A．A159B．A158C．C159D．C158
【答案】A
【分析】由排列数公式判断即可
【详解】因为是7×8×9×⋅⋅⋅×15连续9个数和相乘，所以7×8×9×⋅⋅⋅×15=A159，故选：A
知识点03 排列数及排列数公式
【即学即练5】（2022·全国·高三专题练习）A1010−89A88−8A77=_________．
【答案】0
【分析】根据排列数的计算公式，化简得到A1010−89A88−8A77=A1010−90A88=10A99−10A99，即可求解.
【详解】根据排列数的计算公式，可得A1010−89A88−8A77=A1010−89A88−A88=A1010−90A88
=10A99−10A99=0.故答案为：0.
【即学即练6】（2022·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）A2nn+3−A4n+1n∈N∗的值为________．
【答案】696
【分析】根据排列数的性质可求得n=3，即可计算.
【详解】由已知可得n+3≤2nn+1≤4，解得n=3，所以A2nn+3−A4n+1=A66−A44=720−24=696.
故答案为：696.
能力拓展
◆考点01与排列数有关的方程不等式问题
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）若A2n3=10An3，则n=（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据排列数的计算公式即可求解.
【详解】由题意，得2n2n−12n−2=10nn−1n−2，化简可得4n−2=5n−10，解得n=8．
故选:B
【典例2】（2021·北京市十一学校高二期末）若4A2n3=10An3，则n=（ ）
A．1B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据排列数的运算求解即可.
【详解】由A2n3=10An3得，2n(2n−1)(2n−2)=10n(n−1)(n−2)，又n≥3,n∈N∗，
所以2(2n−1)=5(n−2)，解得n=8，所以正整数n为8．故选：B.
【典例3】（2022·江苏南通·高二期末）若A63=m!A52，则m=（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可
【详解】由A63=m!A52，则m!=6，故m=3．故选：D
◆考点02 元素相邻问题
【典例4】（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ）
A．72种B．60种C．48种D．36种
【答案】C
【分析】利用捆绑法，将甲乙捆绑在一起.再由分步计数原理即可计算出结果.
【详解】甲、乙相邻共有A22=2种.将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有A44=4×3×2×1=24种.则共有2×24=48种.故选：C.
【典例5】（2022·全国·高三专题练习）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（ ）
A．48种B．36种C．20种D．24种
【答案】B
【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.
【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有A33A33=36排法，
故选:B.
◆考点03 元素不相邻问题
【典例6】（2022·全国·高三专题练习）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（ ）
A．30B．54C．63D．72
【答案】D
【分析】按照插空法列式，求解.
【详解】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有A33A42=72.
故选：D
【典例7】（2022·河北张家口·高二期末）中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（ ）
A．72种B．36种C．48种D．24种
【答案】A
【分析】先排商､角､徵进行全排列，再利用插空法，即可求解.
【详解】根据题意，先排商､角､徵有A33=6种排法，再将这三个音阶有四个空位可排宫､羽两音阶，有A42=12种排法，
所以其中宫､羽两音阶不相邻的音序共有A33⋅A42=72（种）排法.
故选：A.
◆考点04 定位定远问题
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
(1)男甲必排在首位；
(2)男甲、男乙必排在正中间；
(3)男甲不在首位，男乙不在末位；
(4)男甲、男乙必排在一起；
(5)4名女生排在一起；
(6)任何两个女生都不得相邻；
(7)男生甲、乙、丙顺序一定．
【答案】(1)A99(2)A22A77(3)A1010−2A99+A88(4)A22A88(5)A44A77(6)A66A74(7)A1010A33=A107，
【分析】（1）分步：先排甲，再排其他人根据乘法计数原理计算即可
（2）分步：先排甲乙，再排其他人根据乘法计数原理计算即可
（3）根据间接法计算可得
（4）根据捆绑法计算可得
（5）根据捆绑法计算可得
（6）根据插空法计算可得
（7）根据定序法计算可得
（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010−2A99+A88种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A1010A33=A107种.
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
【分析】（1）根据排列即可求解，
（2）根据不相邻问题运用插空法即可求解，
（3）根据特殊元素或者特殊位置优先安排即可求解,
（4）根据分类加法计数原理即可分两类情况分别求解：一类甲在最后最右端，另一类甲在出来左右两端之外的中间5个位置中选一个，
（5）根据定序问题利用除法即可求解，
（6）先安排好甲，剩余人员全排列即可，
（7）甲乙相邻问题，然后甲乙整体与丙属于不相邻问题，分别利用捆绑法和插空法即可分步求解，
（8）根据圆桌问题，利用定序问题的除法公式即可求解.
（1）从7人中选5人排列，排法有A75=2520（种）．
（2）先排男生，有A33种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有A44种排法．故排法共有A33A44=144（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有A66种排法，故排法共有5×A66=3600（种）．
方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，其他位置有A55种排法，故排法共有A62A55=3600（种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有A66种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有A55种排法．故排法共有A66+5×5×A55=3720（种）．
方法二 7名学生全排列，有A77种排法，其中甲在最左边时，有A66种排法，乙在最右边时，有A66种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种排法，故排法共有A77−2A66+A55=3720（种）．
（5）7名学生站成一排，有A77种排法，其中3名男生的排法有A33种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有A77A33=840（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有A66=720（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有A44种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有A52种排法．
故排法共有A44A22A52=960（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有16A66种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有16A66A22=240（种）．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．48种
【答案】B
【分析】先分析小明的分配方法，再将另外3名志愿者全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【详解】志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方法，
将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有A33种分配方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有3A33=18种．
故选：B．
2．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72B．36C．24D．12
【答案】A
【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可.
【详解】先排三个唱歌节目这有：A33=6种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有：A42=12种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：6×12=72情况.
故选：A.
3．（2022秋·甘肃庆阳·高二统考期末）A53A42=（ ）
A．10B．5C．20D．4
【答案】B
【分析】用排列数公式Anm=n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−m+1)展开即可求得.
【详解】A53A42=5×4×34×3=5．
故选：B
4．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）2022中国（南昌）国际大健康产业大会暨博览会将于11月25日-27日正式举办，此次博览会将围绕医疗器械、生物医药、中医中药、国际医养、医疗美容、健康生活六大板块，搭建政、商、学、医、研，产的高端对话与合作平台，推动健康产业资源要素相互赋能．博览会某日将举办六大板块为主旨的六场报告会，其中上午四场，下午两场，要求中医中药排在上午前两场中任意一场，医疗美容和健康生活排在下午，则不同安排种数是（ ）
A．24B．96C．144D．192
【答案】A
【分析】根据排列的知识求得正确答案.
【详解】依题意可知，不同安排种数是2×A33×A22=24种.
故选：A
5．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）A,B,C,D,E五人站一排拍照，B,C不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
【答案】C
【分析】运用插空法排列即可.
【详解】先排A,D,E三人有A33=6排法，确定四个空，用插空法有A42=12种排法，
所以不同的排列方式共有A33A42=6·12=72种排法，
故选：C
6．（2022秋·四川成都·高一四川省成都市第八中学校校考开学考试）若 “!” 是一种运算符号，并定义：1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,⋯⋯，则100!98!的值为（ ）
A．5049B．99!C．9900D．2!
【答案】C
【分析】根据题意，结合“!” 是一种运算，即可求解.
【详解】根据题意，可得100!98!=100×99×98×97×⋯×2×198×97×⋯×2×1=100×99=9900.
故选：C.
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
【答案】AB
【分析】利用分步计数原理及排列知识逐项分析即得.
【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有53=125种，A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有53种，A 医院没有专家去的方法有43种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有53−43=61种，B正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有52=25种，C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有A53=60种，D错误．
故选：AB.
8．（2023·全国·高三专题练习）身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与C同学不相邻，共有A44⋅A52种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有A66−2A55+A44种站法
【答案】ABD
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
【详解】A：6个人全排列有A66种方法，A、C、D全排列有A33种方法，
所以A、C、D从左到右按高到矮的排列有A66A33=120种方法，故A正确；
B：先排列除A与C外的4个人，有A44种方法，
4个人排列共有5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有A52种方法，
所以共有A44 A52种方法，故B正确；
C：A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有A44种方法，
所以共有2A44=48种方法，故C错误；
D：6个人全排列有A66种方法，
当A在排头时，有A55种方法，当C在排尾时，有A55种方法，
当A在排头且C在排尾时，有A44种方法，
所以A在排头，C在排尾的情况共有A66 −2A55+− A44种，故D正确.
故选：ABD
9．（2022春·江苏镇江·高二校考期末）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】BCD
【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.
【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻，可将甲乙捆绑看成一个元素则有A22=2种，则不同的排法共有A44A22=48种，故A项错误，
对于B，最左端排甲时，有A44=24种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有A31A33=18种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故B项正确，
对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有A33A42=72种，故C项正确，
对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有A55A33=20种，故D项正确．
故选：BCD．
10．（2022·高二课时练习）A155−15A144+14A133=（ ）．
A．A144B．14A133C．A133D．14!10!
【答案】ABD
【分析】利用排列数公式化简，再逐一分析各个选项，计算判断作答.
【详解】A155−15A144+14A133=15A144−15A144+14A133=14A133，B正确，C不正确；
而14A133=A144=14!10!，即A155−15A144+14A133=A144=14!10!，A正确，D正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期期初考试数学试题）某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是a,b,c,则概率P(a
【分析】分a的不同取值分类讨论即可求解概率.
【详解】用随机机器选三次，共有103=1000种选法，
从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中选3个数，a
固定a,b分别为0,3，则c有6种选择，
依此类推，当a=0时，共有8+7+6+⋯+2+1=8(8+1)2=36种，
所以当a=1时，共有7+6+⋯+2+1=7(7+1)2=28种，
当a=2时，共有6+5+⋯+2+1=6(6+1)2=21种，
当a=3时，共有5+4+⋯+2+1=5(5+1)2=15种，
当a=4时，共有4+3+2+1=4(4+1)2=10种，
当a=5时，共有3+2+1=6种，
当a=6时，共有2+1=3种，
当a=7时，共有1种，
综上，共有36+28+21+15+10+6+3+1=120种，
故P(a
12．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）A,B,C,D,E,F共6人站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.
【答案】120
【分析】利用捆绑法并且内部不排序，直接全排列解答即可.
【详解】A,B必须相邻且B在A的右边,可将A,B捆绑在一起并且不用排序，
则6人的排列方法种数共有A55=120种.
故答案为：120.
13．（2023·广东广州·统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答）
【答案】144
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，
有A22A33=12种情况，
②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，
有A42=12种情况，
则有12×12=144种排法，
故答案为：144．
四、解答题
14．（2023·高二课时练习）用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．
(1)能被25整除的数；
(2)十位数字比个位数字大的数．
【答案】(1)21个
(2)150个
【分析】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，分类排前两位数即可；
（2）所组成的无重复数字的四位数，十位数字比个位数字大的数占一半.
【详解】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有P42个，末尾为25的有P31P31个，所以一共有P42+P31P31=21（个）．
（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有P51P53=300（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有12P51P53=150（个）．
15．（2022春·山西吕梁·高二校考阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．
(1)六位奇数；
(2)能被5整除的四位数.
【答案】(1)288
(2)108
【分析】先排个位，再排首位，最后排中间四位.
【详解】（1）先排个位，个位数字只能从1，3，5中选，有3种方法；
再排首位，首位不能为0，故还有4个数字可选，有4种方法；
最后排中间四位，没有其他附加条件，排列数为4!.
由分步乘法计数原理，知共有不同的排法种数为3×4×4!=288.
（2）能被5整除，个位只能是0或5，个位是0时，没有其他附加条件，其他三个数位的排法有A53种；
个位是5时，首位排法有4种，再排十位与百位，有A42种，所以个位是5的排法有4A42种.
由分类加法计数原理知共有A53+4A42=108种排法.
16．（2004·浙江·高考真题）某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）．假定工厂之间的选择互不影响．
(1)求5个工厂均选择星期日停电的概率；
(2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．
【答案】(1)116807；
(2)20412401.
【分析】（1）求得5个工厂所有选择的可能情况，以及目标事件的可能情况，用古典概型的概率计算公式求解即可；
（2）利用古典概型的概率计算公式求得5个工厂停电时间各不相同的概率，再求至少有两个工厂选择同一天停电的概率即可.
【详解】（1）设5个工厂均选择星期日停电的事件为A，
则PA=175=116807.
（2）设5个工厂停电时间各不相同的事件为B，
则PB=A7575=3602401
至少有两个工厂选择同一天停电的事件为B，
则PB=1−PB=20412401.
题组B 能力提升练
一、单选题
1．抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（ ）
A．13B．19C．118D．136
【答案】D
【分析】根据计数原理，排列的应用，古典概型求解即可.
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子3次，共有6×6×6=63种不同结果，
其中向上的点数为3个互不相同的偶数的情况为点数为2,4,6的排列，故有A33=6种，
所以，向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为P=A3363=136.
故选：D
2．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，问不同的安排方法共有（ ）
A．34种B．56种C．96种D．144种
【答案】C
【分析】先求出讲座A只能安排在第一或最后一场的方法总数，再求出讲座B和C必须相邻方法总数，最后由分步乘法计算原理即可得出答案.
【详解】∵由题意知讲座A只能安排在第一或最后一场，∴有A21=2种结果，
∵讲座B和C必须相邻，∴共有A44A22=48种结果，
根据分步计数原理知共有2×48=96种结果.
故选:C．
3．设x1,x2,x3,x4,x5是1，2，3，4，5的一个排列，若xi−xi+1xi+1−xi+2<0对一切i∈1,2,3恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（ ）
A．16B．25C．32D．41
【答案】C
【分析】由已知可知当x1
【详解】由已知可得x1−x2x2−x3<0，x2−x3x3−x4<0，x3−x4x4−x5<0.
（ⅰ）当x1−x2<0时，x1
此时有x2=5或x4=5.
①当x2=5时，由已知可得x4=3或x4=4
当x2=5，x4=3时，此时必有x1=4，排列可以是4,5,1,3,2或4,5,2,3,1两种；
当x2=5时，x4=4时，此时x1,x3,x5可选择1，2，3中的任意排列，共A33=6中排列.
综上所述，共有8种方法；
②同理可得当x4=5，可得x2=3或x2=4，也有8种方法.
综上所述，当x1
①当x2=1时，由已知可得x4=2或x4=3
当x2=1，x4=3时，此时必有x1=2，排列可以是2,1,4,3,5或2,1,5,3,4两种；
当x2=1时，x4=2时，此时x1,x3,x5可选择3，4，5中的任意排列，共A33=6中排列.
综上所述，共有8种方法；
②同理可得当x4=1，可得x2=2或x2=3，此时也有8种方法.
综上所述，当x1
故选：C.
4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书3本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A．110B．15C．310D．25
【答案】A
【分析】利用插空法以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】若同一科目的书都不相邻，则先将3本书排序，然后将2本语文书插入中间2个空，
所以，同一科目的书都不相邻的概率是P=A33A22A55=110.
故选：A.
5．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ）
A．12B．14C．124D．1144
【答案】B
【分析】随机逐个面试共有A66种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类，求出相应的顺序，即可求得概率．
【详解】解：随机逐个面试共有A66种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：
①男男男女女女，此时有A33×A33=36种；
②男男女男女女，此时有A32×A31×A22=36种；
③男男女女男女，此时有A32×A32=36种；
④男女男男女女，此时有A31A31A22A22=36种；
⑤男女男女男女，此时有A33×A33=36种；
故共有36×5=180种，所以概率为180A66=14
故选：B．
二、多选题
6．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（ ）
A．共有A66种不同的排法B．男生不在两端共有A22A44种排法
C．男生甲、乙相邻共有A22A55种排法D．三位女生不相邻共有A33A33种排法
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答.
【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有A66种不同的排法，A正确；
男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有A32A44种排法，B不正确；
男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有A22A55种排法，C正确；
三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有A33A43种排法，D不正确.
故选：AC
7．从5名候选人中选派出3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则（ ）
A．有36种不同的选派方案
B．有48种不同的选派方案
C．若甲参加活动，则有24种不同的选派方案
D．若甲不参加活动，则有24种不同的选派方案
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用排列问题及分类加法计数原理计算，再判断各选项作答.
【详解】若甲参加活动，则选B，C之一给甲，余下两项活动选派给另4人中两人，有A21A42=24种，C正确；
若甲不参加活动，则除甲外的4人中选派3人参加活动，有A43=24种，D正确；
由分类加法计数原理知，不同的选派方案有A21A42+A43=48种，B正确；A不正确.
故选：BCD
8．甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若n=2时，则共有3种不同走法B．若n=2时，则共有5种不同走法
C．若n=3时，则共有25种不同走法D．若n=3时，则共有27种不同走法
【答案】BD
【分析】当n=2时，骰子的点数之和是8，列举出点数中两个数字能够使得和为8的情况，即可判断A、B，若n=3时，三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的情况，再按照分类分步计数原理计算可得.
【详解】解：由题意知正方形ABCD（边长为2个单位）的周长是8．
当n=2时，骰子的点数之和是8，列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有2,6，3,5，4,4共3种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果，故A错误，B正确；
若n=3时，三次骰子的点数之和是8，16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的有1,2,5，1,3,4，1,1,6，2,2,4，2,3,3，4,6,6，5,5,6共有7种组合，
前2种组合1,2,5，1,3,4，每种情况可以排列出A33=6种结果，共有2A33=2×6=12种结果，
其中1,1,6，2,2,4，2,3,3，4,6,6，5,5,6各有3种结果，共有5×3=15种结果，根据分类计数原理知共有12+15=27种结果．
故选：BD．
9．4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（ ）
A．男生必须接在一起的坐法有576种B．女生互不相邻的坐法有1440种
C．男生相邻､女生也相邻的坐法有144种D．男女生相间的坐法有288种
【答案】AB
【分析】不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，一一计算可得.
【详解】解：对于A：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素排列，
再排4个男生的内部顺序，共有A44A44=576种结果，故A正确；
对于B：由题意，可以先排列男生，有A44种结果，
再用插空法排女生，共有A44A53=1440种结果，故B正确．
对于C：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有A22种
再排他们内部的顺序，有A44A33种结果，
根据分步计数原理，共有A44A33A22=288种结果，故C错误．
对于D：首先把4名男同学全排列，共有A44种结果，
再将3名女生插空A33种，所以一共有A44A33=144种结果，故D错误．
故选：AB
三、填空题
10．袋中装有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中一次性随机取出两个球，设两球标号为x1和y1，并记u1=x1+y1，v1=x1−y1．将球放回袋中，重复上述操作，得到u2和v2．设平面向量n1=u1,v1，n2=u2,v2，则n1与n2能构成基底n1,n2的概率为______．
【答案】89
【分析】首先列举向量n1和n2的所有情况，并结合排列数公式，得到不能构成基底的情况，最后利用对立事件求概率.
【详解】由条件可知，向量n1和n2为3,1,4,2,5,3,6,4,7,5,5,1,6,2，7,3,8,4,7,1,8,2,9,3,9,1,10,2,11,1，共15种情况，
当n1=n2，共15种情况；
当n1≠n2时，满足n1//n2，有3,1,6,2,9,3，共A32=6种情况；4,2,8,4，共A22=2种情况；以及5,1,10,2，共A22=2种情况；
综上可知，n1//n2时，n1与n2不能构成基底，共有15+6+2+2=25种情况，
所以n1与n2能构成基底n1,n2的概率P=1−2515×15=89.
故答案为：89
11．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______.
【答案】35##0.6
【分析】先计算出男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.
【详解】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，且男生甲不站两端共有4A55种不同排法，
其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有A32(A33A42−6A22A22)种不同排法，
因此所求概率为A32(A33A42−6A22A22)4A55=35.
故答案为：35.
12．定义acbd=ad−bc，现从集合x∈N*∣x<10中随机取两个不同的元素m,n，则满足2m3n=0的概率为__________.
【答案】124
【分析】根据新定义得到2n=3m，再根据(m,n)的所有取值可能，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】因为{x∈N*|x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，从集合中随机取两个不同的元素m,n，所组成的点(m,n)共有A92=72个，
又因为定义acbd=ad−bc，所以由2m3n=0可得：2n=3m，
在所有的点(m,n)中，满足2n=3m的有(2,3),(4,6),(6,9)共3个，
由古典概型的概率计算公式可得：P=372=124，
所以满足2m3n=0的概率为124，
故答案为：124.
四、解答题
13．（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？
（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
（5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？
【答案】（1）100 （2）180 （3）180 （4）48 （5）120
【分析】（1）根据分步乘法原理求解即可；
（2）根据分步乘法原理求解即可；
（3）根据分步乘法原理求解即可；
（4）根据分步乘法原理求解即可；
（5）根据排列原理求解即可；
【详解】解：（1）先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有5×5×4=100种不同的方案，
所以，可以组成100个无重复数字的三位数；
（2）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有5×6×6=180种不同的方案，
所以，可以组成180个三位数；
（3）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有5×6×6=180种不同的方案，
所以，可以组成180个数字允许重复的三位数；
（4）先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有3×4×4=48种不同的方案，
所以，可以组成48个数字允许重复的三位数；
（5）根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有A63=6×5×4=120种，
所以，可以组成120个六位数.
14．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．
(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；
(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．
【答案】(1)144
(2)504
【分析】（1）利用捆绑法和插空法，将“射”和“乐”两门课程捆绑，看作一个元素将之与“数”分别插入另外3个元素隔开的空档中，由此计算即可得出答案；
（2）根据题意，分两种情况讨论：“射”排在第四节；“射”不排在第四节，由加法原理计算可得答案．
【详解】（1）将“射”和“乐”两门课程捆绑，内部先全排，有A22种，然后“礼”“御”“书”全排排，有A33种，此时有四个空挡，最后将捆绑的课程与“数”插入空挡中，有A42种，
则不同的排课顺序有A22A33A42=144种．
（2）若“射”排在第四节，则有A55=120种不同的排课顺序；
若“射”不排在第四节，则有A41A41A44=384种不同的排课顺序．
由加法原理得，共有120+384=504种不同的排课顺序．
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．将六个数0、1、2、9、19、20将任意次序排成一行，拼成一个8位数，则产生的不同的8位数的个数是（ ）
A．498B．516
C．534D．546
【答案】A
【分析】先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案.
【详解】将六个数0、1、2、9、19、20将任意次序排成一行，拼成一个8位数，由于首位不能为0，则有5×A55=600个，
其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有A55A22=60种，
“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有4A44A22=48种，
“20”和“19”都出现2次的排法有A44A22A22=6种，
因此满足条件的8位数的个数为：600−60−48+6=498.
故选：A.
二、多选题
2．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面说法正确的是（ ）
A．进入第二个格子走法有2种
B．进入第二个格子走法有1种
C．进入第三个格子走法有2种
D．进入第八个格子走法有21种
【答案】BCD
【分析】设跳到第n格的方法有an，由题可得an=an−1+an−2，即得.
【详解】设跳到第n格的方法有an，则达到第n格的方法有两类，
第一种方法是从第n−1个格子向右跳一格到达第n格，方法数为an−1，
第二种方法是从第n−2向右跳两格到达第n格，方法数是an−2，则an=an−1+an−2，
结合条件及数列的递推关系可得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21,
∴A错误，BCD正确.
故选：BCD.
三、填空题
3．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.
【答案】96
【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即AF同色，BD同色，CE同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即AF，BD，CE三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有C43=4种取法，三种颜色染三个区域有A33=6种染法，共4×6=24种染法；
第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案(AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有A42=12种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有3×12×2=72种染法．
∴由分类加法原理得总的染色种数为24+72=96种．
故答案为：96．
【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题．课程标准
重难点
1.掌握几种有限制条件的排列.
2.能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题.
重点：几种有限制条件的排列的掌握；
难点：用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题.
排列数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
Aeq \\al(m,n)
排列数
公式
乘积式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式
Anm=n!n−m!
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！
备注
n，m∈N*，m≤n
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