选择性必修第二册8.1条件概率精品当堂检测题

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知识精讲
知识点01 条件概率的理解
1.定义：对于任意两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，用符号表示为P(B|A)．把由事件A和B同时发生所构成的事件，称为A与B的交(或积)，记作A∩B(或AB)．一般地，我们有条件概率公式P(B|A)＝.
2.条件概率的计算
1．计算在事件A发生的条件下B发生的概率，常有以下两种方式：
(1)利用定义计算
先分别计算概率P(A∩B)及P(A)，然后借助于条件概率公式P(B|A)＝求解．
(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)相当于把A看做新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即P(B|A)＝n(AB)n(A).此法常应用于古典概型中的条件概率求法．
注意：
对定义的进一步理解
（1）每一个随机试验，都是在一定条件下进行的，条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道，即在原随机试验的条件上又加上一定的条件的概率；
（2）事件A在“事件B发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率一般是不同的；
（3）当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，"|"之后的部分表示条件.
3.条件概率的性质
设P(A)>0,则
(1)P(B|A)∈[0,1],P(A|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=④P(B|A)+P(C|A);
(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=⑤ 1-P(B|A)
【即学即练1】（2022·河南郑州·高二期末）已知随机事件A，B的概率分别为P(A),P(B)，且P(A)P(B)≠0，则下列说法中正确的是（ ）
A．P(A|B)P(AB)，故A不正确；
P(B|A)=PABPA,P(A|B)=PABPB，PA与PB不一定相等，所以P(B|A)=P(A|B)不一定成立，故B不正确；
P(B|A)=PABPA,P(A|B)=PABPB，所以P(B|A)=PABPA=P(A|B)P(B)P(A)，故C正确；
P(B|B)=PBPB≠0，故D不正确.
故选：C.
【即学即练2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学高三开学考试）已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是（ ）
A．PBA+PBA=P(A)
B．若PA+PB=1，则 A，B对立
C．若A，B独立，则PAB=P(A)
D．若A，B互斥，则PAB+PBA=1
【答案】C
【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；
【详解】对A，PBA+PBA=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A错误；
对B，若A，B对立，则PA+PB=1，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则PAB+PBA=0，故D错误；
故选：C
能力拓展
◆考点01 条件概率的应用
◆类型1 定义法的应用
【典例1】（2021·全国·高二课时练习）抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（ ）
A．18B．78C．17D．67
【答案】C
【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.
【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，记事件A为“有一枚正面朝上”，则PA=78，记事件B为“另外两枚也正面朝上”，
则AB为“三枚都正面朝上”，故PAB=18，故PBA=PABPA=1878=17.
即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是17.故选：C.
【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力．
【典例2】（2022·福建泉州·）目前，国际上常用身体质量指数BMI=体重单位：kg身高2单位：m2来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为3100；女员工中，肥胖者的占比为2100，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A．3100B．9200C．35D．34
【答案】D
【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.
【详解】设公司男、女员工的人数分别为2n和n，则男员工中，肥胖者有2n×3100=3n50人，
女员工中，肥胖者有n×2100=n50人，设任选一名员工为肥胖者为事件A，肥胖者为男性为事件B，
则P(AB)=3n503n=150，P(A)=3n50+n503n=275，则P(BA)=P(AB)P(A)=150275=34.
故选：D.
【典例3】（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A．35B．25C．12D．23
【答案】B
【分析】设男生甲被选中为事件A，女生乙被选中为事件B，分别求得P(A)，P(AB)，再结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件A，其概率为P(A)=C52C63=12，设女生乙被选中为事件B，
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为P(AB)=C41C63=15，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为PB|A=P(AB)P(A)=1512=25.
故选：B.
◆类型2 基本事件总数法
【典例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校模拟预测（理））假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.
【答案】13
【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.
【详解】观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω=bb,bg,gb,gg ，且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则A=bg,gb,gg,B=gg.
“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为PB|A.此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知，PB|A=nABnA=13.
故答案为：13
【典例5】（2023·甘肃·模拟预测）在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为（ ）
A．12B．13C．25D．35
【答案】D
【分析】可以利用古典概型的概率公式求解或者利用条件概率的计算公式求解
【详解】法一：第1次抽到理综题的条件下，依次抽取2道题，共有C31C51=15种抽法，其中第2次抽取文综题的情况共有C31C31=9种，因此，所求概率P=915=35.
故选：D.
法二：第一次抽到理综题的概率PA=A31A51A62=12，第一次抽到理综题和第二次抽到文综题的概率PAB=A31A31A62=310,∴PB∣A=PABPA=31012=35.
故选：D.
◆类型3 与几何概型的结合
【典例6】任意向x轴上(0,1)这一区间内投掷一个点，问：
(1)该点落在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内的概率是多少？
(2)在(1)的条件下，求该点落在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))内的概率．
【解析】由题意可知，任意向(0,1)这一区间内投掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，
令A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|0