【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第二册：8.1.2&8.1.3全概率公式与贝叶斯公式 讲义

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知识精讲
知识点01 乘法公式：条件概率公式的变形公式
公式P(B|A)＝揭示了P(A)，P(B|A)与P(AB)的关系，常常用于知二求一中，即可熟练应用它的变形式公．如：若P(A)≠0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)，该式称为概率的乘法公式．
【即学即练1】（2021·全国·高二专题练习）某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面，第一次未摔裂的概率为0.4，当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3，则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是___________.
【答案】0.12
【分析】根据题意利用概率公式即可求出.
【详解】设Ai表示第i次扔向地面椰子没有摔裂，i=1，2，则PA1=0.4，PA2A1=0.3，
因此，PA2A1=PA1PA2A1=0.4×0.3=0.12.
故这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率为0.12.
故答案为：0.12.
【即学即练2】（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知随机事件A，B有概率PA=0.7，PB=0.6，条件概率PBA=0.6，则PA∪B=______.
【答案】0.82
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】∵PB=0.6，∴PB=1−PB=0.4，PBA=1−PBA=0.4.
由乘法公式得PA∩B=PAPBA=0.7×0.4=0.28.
∴PA∪B=PA+PB−PA∩B=0.7+0.4−0.28=0.82.
故答案为：0.82.
知识点02 全概率公式
1.
2.一般地,设A1,A2,…,An是一组① 两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=② P(Ai)P(B|Ai). 我们称此公式为全概率公式.
【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）已知PB=0.3，PB|A=0.9，PB|A=0.2，则PA=（ ）
A．17B．37C．0.33D．0.1
【答案】A
【分析】根据已知利用全概率公式得PB=PA⋅PB|A+PA⋅PB|A，即可求解PA.
【详解】解：由全概率公式可得：PB=PA⋅PB|A+PA⋅PB|A
可得0.3=PA×0.9+1−PA×0.2，解得：PA=17.
故选：A.
【即学即练4】（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）
A．0.46B．0.046C．0.68D．0.068
【答案】D
【分析】根据全概率公式可得结果.
【详解】由题意得：P=5%×(1−2%)+(1−5%)×2%=0.068，故选：D．
知识点03 贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)= = ,i=1,2,…,n.
全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B
发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B
发生的可能性的乘积之和.
全概率公式的主要作用是“由原因推测结果”.
【即学即练5】（多选）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12
B．第二次抽到3号球的概率为1148
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
【答案】AB
【分析】计算条件概率判断A；利用全概率公式计算判断B；利用贝叶斯公式求解判断C；求出不同元素的分组分配种数判断D作答.
【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为Ai(i=1,2,3)，则有P(A1)=12,P(A2)=P(A3)=14，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为P=24=12，A正确；
对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为Bi(i=1,2,3)，而A1,A2,A3两两互斥，和为Ω，
P(B1|A1)=14,P(B2|A2)=14,P(B3|A3)=16，记第二次抽到3号球的事件为B，
P(B)=i=13P(AiBi)=i=13[P(Ai)⋅P(Bi|Ai)]=12×14+14×14+14×16=1148，B正确；
对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为Ci(i=1,2,3)，而A1,A2,A3两两互斥，和为Ω，
P(C1|A1)=12,P(C2|A2)=12,P(C3|A3)=12，记第二次抽到1号球的事件为C，
P(C)=i=13P(AiCi)=i=13[P(Ai)⋅P(Ci|Ai)]=12×12+14×12+14×12=12，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
P(A1|C)=P(A1)⋅P(C1|A1)P(C)=12×1212=12，P(A2|C)=P(A2)⋅P(C2|A2)P(C)=14×1212=14，
P(A3|C)=P(A3)⋅P(C3|A3)P(C)=14×1212=14，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是(C53+C52C32A22)种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有A33种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是(C53+C52C32A22)⋅A33=150种，D不正确.
故选：AB
【即学即练6】（2022·浙江舟山·期末）（多选）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是35
B．第二次取到1号球的概率1930
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
【答案】CD
【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解
【详解】对于A选项，记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i号球, i=1,2,3,则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率PB1|A3=36=12，故A错误
对于B选项，记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i号球, i=1,2,3, 依题意 A1,A2,A3 两两互斥, 其和为Ω, 并且PA1=24,PA2= PA3=14PB1∣A1=24,PB1∣A2=24,PB1∣A3=36PB2∣A1=14,PB2∣A2=14,PB2∣A3=26，PB3∣A1=14,PB3∣A2=14,PB3∣A3=16
应用全概率公式, 有PB1=i=13PAiPB1|Ai=24×24+14×24+14×36=12，故B错误
对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同, 则PA1∣B1=PA1PB1∣A1PB1=24×24×2=12，PA2∣B1=PA2PB1∣A2PB1=14×24×2=14，PA3∣B1=PA3PB1∣A3PB1=14×36×2=14故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为 1 的口袋的概率最大.故C正确对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有C51C41C33A22+C52C32C11A22⋅A33=150，故D正确
故选：CD
能力拓展
◆考点01 乘法公式及其应用
【典例1】（2022·湖南·高二课时练习）对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率为12；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是710；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是910．试求手机屏落地三次未打破的概率．
【答案】3200
【分析】设Aii=1,2,3表示事件“手机玻璃屏第i次落地打破”，以B表示事件“手机玻璃屏落下三次未打破”，PA1=12，PA2A1=710，PA3A1A2=910，根据乘法公式可求得答案.
【详解】解：设Aii=1,2,3表示事件“手机玻璃屏第i次落地打破”，以B表示事件“手机玻璃屏落下三次未打破”，PA1=12，PA2A1=710，PA3A1A2=910，所以PB=PA1A2A3=PA3A1A2PA2A1PA1=1−9101−7101−12=3200，
所以手机屏落地三次未打破的概率为3200．
【典例2】（2022·湖南·高二课时练习）某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
【答案】310，35
【分析】根据概率的加法和乘法公式进行求解即可.
【详解】[解] 设Ai ＝“第i次接通电话”，i ＝ 1，2，3，B＝“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为B=A1∪A1A2∪A1A2A3．利用概率的加法公式和乘法公式P(B)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=P(A1)+P(A1)P(A2A1)+P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)=110+910×19+910×89×18=310若已知最后一位数字是奇数，则P(B)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=P(A1)+P(A1)P(A2A1)+P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)=15+45×14+45×34×13=35.
【典例3】（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
【答案】(1)7375(2)0.25
【分析】（1）设Ai表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可；
（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.
（1）设Ai表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．PC=PA1∩C∪A2∩C=PA1∩C+PA2∩C=PA1PC|A1+PA2PC|A2 =23×1−0.03+13×1−0.02=7375．
（2）PA2|B=PA2∩BPB=PA2PB|A2PA1PB|A1+PA2PB|A2=13×0.0223×0.03+13×0.02=0.25．
◆考点02 全概率公式及其应用
【典例4】（2022·天津·高二期末）某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（ ）
A．0.785B．0.845C．0.765D．0.215
【答案】A
【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解．
【详解】解：记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知P(W)=0.9，P(W)=0.1，P(A|W)=1−0.8=0.2，P(A|W)=1−0.15=0.85，
因此PA=P(A|W)P(W)+P(A|W)P(W)=0.85×0.9+0.2×0.1=0.785．
故选：A．
【典例5】（2022·全国·高三专题练习）某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（ ）
A．0.999B．0.9C．0.5D．0.1
【答案】C
【分析】记事件A:某人患肝癌，事件B:化验结果呈阳性，利用全概率公式求出PB的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件A:某人患肝癌，事件B:化验结果呈阳性，由题意可知PA=11000，PBA=9991000，PBA=11000，所以，PB=PA⋅PBA+PA⋅PBA=999106×2=9995×105，
现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是PAB=PABPB=PA⋅PBAPB=9991069995×105=12.
故选：C.
◆考点03 贝叶斯公式及其应用
【典例6】（2022·江西省丰城中学高二期中）（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A､B存在如下关系：PAB=PAPBAPB.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为59
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为49
【答案】AC
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】设A1:第一天去甲餐厅，A2:第二天去甲餐厅，
B1:第一天去乙餐厅，B2:第二天去乙餐厅，
所以PA1=0.4，PB1=0.6，P(A2A1)=0.6,P(A2B1)=0.5，
因为P(A2A1)=P(A2)P(A1A2)P(A1)=0.6,P(A2B1)=P(A2)P(B1A2)P(B1)=0.5，
所以P(A2)P(A1A2)=0.24,P(A2)P(B1A2)=0.3，
所以有P(A2)=P(A1)P(A2A1)+P(B1)P(A2B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,
因此选项A正确, PB2=1−PA2=0.46，因此选项B不正确；
因为P(B1A2)=0.3PA2=59，所以选项C正确；
P(A1B2)=P(A1)P(B2A1)P(B2)=P(A1)[1−P(A2A1)]P(B2)=0.4×(1−0.6)0.46=823，所以选项D不正确，
故选：AC
【典例7】（2022·全国·单元测试）（多选）甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球，从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．下列结论正确的是（ ）
A．从乙箱中取出两球是白球的概率为0.18
B．从乙箱中取出两球是黑球的概率为0.27
C．若从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是黑球的概率29
D．若从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是白球的概率49
【答案】BC
【分析】从甲箱中取出两白球、取出一白一黑和取出两黑球，分别为事件A1,A2,A3表示，从乙箱中取出的两球时白球和取出两球时黑球分别为事件B1,B2，结合条件概率的计算公式和全概率公式，即可求解.
【详解】由题意，从甲箱中任取两球放入乙箱仅有3中可能，取出两白球、取出一白一黑和取出两黑球，分别用A1,A2,A3表示，则A1,A2,A3为样本空间的一个完备事件组，
设“从乙箱中取出的两球时白球”、“取出两球时黑球”分别为事件B1,B2，
可得P(A1)=C32C52=310,P(A2)=C31C21C52=35,P(A3)=C22C52=110，
对于A中，其中P(B1|A1)=C32C52=310,P(B1|A2)=C22C52=110,P(B|A3)=0，
所以从乙箱中取出两球是白球的概率为P=i=13P(Ai)P(B1|Ai)=320，所以A错误；
对于B中，其中P(B2|A1)=C22C52=110,P(B2|A2)=C32C52=310,P(B|A3)=C42C52=610
所以从乙箱中取出两球是黑球的概率P=i=13P(Ai)P(B2|Ai)=27100，所以B正确；
对于C中，从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是黑球的概率，
由贝叶斯公式得P(A3|B2)=P(A3)P(B2|A3)P(B2)=110×3527100=29，所以C正确；
对于D中，从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是白球的概率，
由贝叶斯公式，可得P(A1|B2)=P(A1)P(B2|A1)P(B2)=310×11027100=19，所以D错误.
故选：BC.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1,A2表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则P(B)=（ ）
A．512B．55144C．2572D．12
【答案】B
【分析】由题意可求出PA1,PA2,PBA1,PBA2，根据全概率公式直接求解即可.
【详解】由题意知，PA1=34,PA2=14,PBA1=C62C92=512,PBA2=C52C92=518，
所以PB=PA1B+PA2B=PA1PBA1+PA2PBA2
=34×512+14×518=55144.
故选:B.
2．甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（ ）
A．12B．1124C．712D．13
【答案】B
【分析】判断摸出的球是红球的事件为全概率事件，则只需讨论摸出的红球是甲袋还是乙袋两种情况，再分别求出其概率，即可得出结论.
【详解】设事件A为 “取出甲袋”,事件B为 “取出红球”, 分两种情况进行讨论.
若取出的是甲袋, 则P1=P(A)⋅P(BA), 依题意可得 P(A)=12,P(BA)=712,
所以 P1=P(A)⋅P(BA)=12×712=724，
若取出的是乙袋, 则P2=P(A)⋅P(BA), 依题意可得 P(A)=12, P(BA)=13，
所以P2=P(A)⋅P(BA)=12×13=16，
综上所述, 摸出的球是红球的概率为P=P1+P2=1124.
故选：B.
3．阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有30%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有20%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占70%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ）
A．0.25B．0.2C．0.15D．0.1
【答案】B
【分析】利用全概率公式可构造方程求得所求概率.
【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过1小时为事件B，
则PA=30%=0.3，PB=20%=0.2，PAB=70%=0.7；
∵PA=PAB+PAB=PABPB+PABPB，
∴PAB=PA−PABPBPB=0.3−0.7×0.21−0.2=，
即从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为0.2.
故选：B.
4．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为120， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为0．08， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A．15B．110C．115D．120
【答案】B
【分析】首先设A1,A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p，得到则PA1=35，PA2=25，PB∣A1=p，PB∣A2=120，再利用全概率公式求解即可.
【详解】设A1,A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为p，
则PA1=1220=35，PA2=25，PB∣A1=p，PB∣A2=120，
则由全概率公式得：PB=PA1PB∣A1+PA2PB∣A2=35×p+25×120=0.08，解得p=110，
故选：B．
5．某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.58B．0.60C．0.62D．0.64
【答案】C
【分析】由全概率公式计算可得．
【详解】记事件B为“选出的运动员能晋级”，A1为“选出的运动员是一级运动员”，A2为“选出的运动员是二级运动员”，A3为“选出的运动员是三级运动员”．由题意知，PA1=420，PA2=820，PA3=820，PB|A1=0.9，PB|A2=0.7，PB|A3=0.4，由全概率公式得，P(B)=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=420×0.9+820×0.7+820×0.4=0.62．即任选一名运动员能够晋级的概率为0.62．
故选：C．
6．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32B．0.68C．0.58D．0.64
【答案】C
【分析】设事件A1表示“乙球员担当前锋”，事件A2表示“乙球员担当中锋”，事件A3表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”，利用全概率公式计算出PB，然后可得答案.
【详解】设事件A1表示“乙球员担当前锋”，事件A2表示“乙球员担当中锋”，事件A3表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3 =0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.8=0.42，
所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为1−0.42=0.58．
故选：C．
二、多选题
7．甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k次传球后球在甲手中的概率为pk，k∈N*，则下列结论正确的有（ ）
A．p1=0
B．p2=13
C．pk+2pk+1=1
D．p2023>13
【答案】AC
【分析】结合全概率公式和递推数列等知识求得正确答案.
【详解】p1表示第1次传球后球在甲手中的概率，所以p1=0，A选项正确.
p2表示第2次传球后球在甲手中的概率，则p2=12，B选项错误.
pk+1=pk×0+1−pk×12，即pk+2pk+1=1，C选项正确.
pk+1=−12pk+12，pk+1−13=−12pk+12−13=−12pk−13，
所以数列pk−13是首项为−13，公比为−12的等比数列，
所以所以pk−13=−13×−12k−1,pk=13−13×−12k−1，
p2023=13−13×−122022=13−13×122022