高中苏教版 (2019)9.2独立性检验精品同步练习题

这是一份高中苏教版 (2019)9.2独立性检验精品同步练习题，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第二册92独立性检验原卷版docx、同步讲义苏教版2019高中数学选修第二册92独立性检验解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。

第九章 统计
9.2独立性检验

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课程标准
重难点
1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义. 2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.
重点：理解2×2列联表的统计意义；
难点：了解2×2列联表独立性检验及其应用.
知识精讲

知识点01 2×2列联表
1.定义∶如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式.
2×2列联表

A
A
总计
B
a
b
a＋b
B
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表.
2.x²计算公式∶χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3.列联表的统计意义∶
记n=a+b+c+d，则由上表可知∶
（1） 事件A发生的概率可估计为P（A）=a+cn；
（2） 事件B发生的概率可估计为P（B）=a+bn；
（3） 事件AB发生的概率可估计为P（AB）=an. 其他事件的概率类似可求.
注意：（1）2×2列联表主要用于研究两个事件之间是相互独立的还是存在某种关联性，它适用于分析两个事件之间的关系；
（2）因为P（A），P（B），P（AB）都是根据样本数据得到的估计值，而估计是有误差的，因此直接用P（AB）=P（A）P（B）是否成立来判断A与B是否独立是不合理的.
【即学即练1】（2021·西藏·日喀则市南木林高级中学）假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：

y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
8
25
33
总计
b
46
106
则表中a，b的值分别是（    ）
A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60
【答案】D
【分析】根据列联表直接计算.
【详解】根据列联表知，a=73−21=52，又a+8=b，所以b=60，
故选：D
【即学即练2】（2022·全国·高二单元测试）假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2，其2×2列联表为

则当整数m取______时，X与Y的关系最弱（    ）
A．8 B．9 C．14 D．19
【答案】C
【分析】根据列联表分析运算．
【详解】在两个分类变量的列联表中，当ad−bc的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．
令ad−bc=0，得10×26=18m，解得m≈14.4，
又m为整数，所以当m=14时，X与Y的关系最弱．
故选：C．
知识点02 独立性检验
1.定义∶在2×2列联表中，设χ2＝，任意给定α（称为显著性水平），可以找到满足条件P（χ2≥k）=α的数k（称为显著性水平α对应的分位数）.
如果根据样本数据算出χ2(读作卡方)的值后，发现χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立（也称为A与B有关）；或说有1-α的把握认为A与B有关.若χ2 2.统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示.:
α=p(x²≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

注意：（1）独立性检验的基本思想∶独立性检验的基本思想类似于反证法，要判断"两个分类变量有关系”，首先假设结论不成立，即“H0∶两个分类变量没有关系”成立.在该假设下所构造的随机变量χ2应该很小.如果由观测数据计算得到的χ2很大，则断言Ho不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果χ2很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝Ho.
（2）独立性检验与反证法的比较
反证法原理
在假设Ho下，如果推出一个矛盾，就证明了Ho不成立
独立性检验原理
在假设Ho下，如果出现一个与Ho相矛盾的小概率事件，就推断Ho不成立，且该推断犯错的概率不超过这个小概率
【即学即练3】（2023·全国·高二专题练习）某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和K2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得K2=6.748，经查阅临界值表知PK2>6.635=0.010，则下列判断正确的是（    ）
A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”
【答案】C
【分析】根据K2的值与临界值的大小关系进行判断.
【详解】每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也可能有多名女生，已知数据不能确定结论，A选项错误；
若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，B选项错误；
∵K2=6.748≥6.635，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，C选项正确，D选项错误.
故选：C
【即学即练4】（2022·高二课时练习）下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（    ）
A．回归分析和独立性检验没有什么区别
B．回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系
C．回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验
D．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
【答案】C
【分析】根据回归分析及独立性检验的概念即得.
【详解】回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，而相关关系是一种不确定关系，通过回归分析预测和估计两个变量之间具有的相关关系;
独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能100%肯定这种关系．
故ABD错误，C正确．
故选：C.
能力拓展

◆考点01 “有关”的检验
【典例1】（2022·高二课时练习）为了考察某种疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表．根据该表，在犯错的概率不超过5%的前提之下，________（填“可以”或“不可以”）确定“小动物是否感染与服用疫苗有关”．

感染
未感染
合计
服用
10
40
50
未服用
20
30
50
合计
30
70
100

附：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d),n=a+b+c+d
p(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】可以
【分析】根据表中数据，算出K2的值，再与参考值比较即可.
【详解】由表可知：K2=100(300−800)230×70×50×50≈4.762>3.841，
故在犯错的概率不超过5%的前提之下，可以确定“小动物是否感染与服用疫苗有关”．
故答案为：可以
【典例2】（2022·高二课时练习）“独立性检验”中，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，则算出的数据满足（　　）
A．χ2<6.63 B．χ2<3.84 C．χ2>3.84 D．χ2>6.63
【答案】C
【分析】通过χ2的观测值k，对照临界值表，得出统计结论.
【详解】由临界值表可知：当χ2>3.84时，满足在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，
Pχ2≥k
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.02
6.64
7.88
10.83

结合选项可知χ2>3.84，
故选：C.
◆考点02 “无关”的检验
【典例3】（2023·高二课时练习）在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：

y1
y2
总计
x1
200
800
1000
x2
180
m
180+m
总计
380
800+m
1180+m
最后发现，两个分类变量x和y没有任何关系，则m的可能值是______．
【答案】720
【分析】根据题意可推出200m−180×800=0，解出即可得到.
【详解】由题意知，两个分类变量x和y没有任何关系，则应有χ2=0，
即x1y2−x2y12=0，即200m−180×800=0，解得m=720.
故答案为：720.
【典例4】（2022秋·上海嘉定·高三统考阶段练习）一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：

注意力稳定
注意力不稳定
男生
29
7
女生
33
5
则χ2=_______（精确到小数点后三位），依据Pχ2≥3.841≈0.05，该实验_____该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持）.
【答案】     0.538     支持
【分析】根据卡方公式计算即可做出判断.
【详解】由表中数据可知：a=29,b=7,c=33,d=5，
根据χ2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d),n=a+b+c+d
计算可知：χ2=74(145−231)2(29+33)(7+5)(29+7)(33+5)≈0.538<3.841，
所以没有足够把握认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，
即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.
故答案为：0.538；支持.
◆考点03 用登高堆积条形图分析两个变量之前的关系
【典例5】（2023·高二单元测试）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ）

A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【答案】C
【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.
【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；
根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.
故选：C.
【典例6】（2022春·吉林·高二吉林省实验校考阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ）

A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
【答案】D
【分析】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.
【详解】对于A，城镇户籍中40%选择生育二胎，农村户籍中80%选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误；
对于B，男性和女性中均有60%选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误；
对于C，由于男性和女性中均有60%选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误；
对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有50×20%=10人，城镇户籍有50×60%=30人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确.
故选：D.
◆考点04 独立性检验的综合应用
【典例7】（多选）（2022·全国·高三专题练习）（多选）疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：

未发病
发病
总计
未注射疫苗
30


注射疫苗
40


总计
70
30
100
附表及公式：
PK2≥k0
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（    ）
A．注射疫苗发病的动物数为10
B．某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为23
C．能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率约为80%
【答案】ABD
【分析】完善列联表可直接判断A，计算比例后判断BD，计算K2判断C．
【详解】完善列联表如下：

未发病
发病
总计
未注射疫苗
30
20
50
注射疫苗
40
10
50
总计
70
30
100
由列联表知，A正确，
2030=23，B正确，
K2=100×(30×10−40×20)270×30×50×50≈4.762∈(3.841,6.635)，
不能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效，C错误；
疫苗的有效率约为4050=80%，D正确．
故选：ABD．
【典例8】2021年9月，教育部印发《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》中指出：中小学生各项身体素质有所改善，大学生整体下降．某高校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼，结合“微信运动”APP每日统计运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下：

运动达人
参与者
合计
男生

70

女生


80
合计
80

200

(1)完善2×2列联表并说明：是否有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关?
(2)从全校运动“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取4人参加特训，将男生人数记为X，求X的分布列．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
a
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
Px2≥a
0.15
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
【答案】(1)没有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关；
(2)
X
1
2
3
4
P
570
3070
3070
570
【分析】（1）先完善列联表，通过卡方检验中计算K2与6.635比较大小从而判断在犯错误概率不超过0.01的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性；
（2）判断X服从超几何分布概型，得到X的分布列．
【详解】（1）由题意完善2×2列联表：运动达人参与者合计男生为200−80=120人，易知列联表数据如下：

运动达人
参与者
合计
男生
50
70
120
女生
30
50
80
合计
80
120
200
此时：K2=200×70×30−50×502120×80×120×80=2572≈0.35<6.635．查表可知PK2≥2.706=0.1，
所以：没有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关
（2）由题意知：选取的8人运动参与者中男生5人，女生3人X的所有可能情况为： 1、2、3、4
且PX=1=C51C33C84=114，PX=2=C52⋅C32C84=37
PX=3=C53C31C84=37，PX=4=C54C30C84=114
X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
114
37
37
114

分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2022春·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查2×2列联表计算得χ2=4.964，那么认为X与Y有关系，这个结论错误的可能性不超过（    ）
Pχ2>k0
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05
【答案】D
【分析】根据χ2的观测值，与临界值表对照求解即可.
【详解】由3.841<4.964<6.635，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为X与Y有关系.
故选：D
2．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）为庆祝党的二十大的胜利召开，某高校党委从所有的学生党员中随机抽取100名，举行“二十大”相关知识的竞赛活动，根据竞赛成绩，得到如下2×2列联表.则下列说法正确的是（    ）

优秀
非优秀
合计
男
20
30
50
女
35
15
50
合计
55
45
100

参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

A．有99.5%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”
B．有99.5%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”
【答案】A
【分析】求得K2的观测值，再与临界值表对照下结论.
【详解】解：因为K2的观测值k=100×(20×15−35×30)255×45×50×50=10011≈9.091>7.879，
由临界值表知，有99.5%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”.
故选：A.
3．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）某学校调查学生对2022年卡塔尔世界杯的关注是否与性别有关，随机抽样调查了110名学生，进行独立性检验，列联表及临界值表如下：

男生
女生
合计
关注
50


不关注

20

合计

30
110

PK2≥k0
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
k0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635

附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
则下列说法中正确的是（    ）A．有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关
B．男生不关注卡塔尔世界杯的比例低于女生关注卡塔尔世界杯的比例
C．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关
D．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关
【答案】C
【分析】先根据已知完成列联表，再根据已知公式得出K2，查表即可得出答案.
【详解】列联表如下：

男生
女生
合计
关注
50
10
60
不关注
30
20
50
合计
80
30
110

则K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d=110×(50×20−30×10)280×30×60×50≈7.486
对于A：K2≈7.486>5.024，则有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别有关，故A错误；
对于B：男生不关注卡塔尔世界杯的比例为3080=38，女生关注卡塔尔世界杯的比例为1030=13，且38>13，
则男生不关注卡塔尔世界杯的比例高于女生关注卡塔尔世界杯的比例，故B错误；
对于C、D；K2≈7.486>6.635，则在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关.故C正确，D错误.
故选：C
4．（2023·全国·高二专题练习）通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的列联表：

男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110

附表：
P(K2≥k0)
0.05
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828

参照附表，能得到的正确结论是（    ）. A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【分析】根据条件中求出的观测值K2，同观测值表中的k0进行检验，即可得出结轮.
【详解】由题意知本题所给的观测值，
K2=110×40×30−20×2060×50×60×502≈7.8>6.635，
所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，
即在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.
故选：A.
5．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）给出以下四个命题：
①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；
②回归模型中离差是实际值yi与估计值y的差，离差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
③在一组样本数据x1,y1,x2,y2,⋅⋅⋅,xn,yn（n≥2，x1,x2,⋅⋅⋅,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,n都在直线y=−12x+1上，则这组样本数据的线性相关系数为−12；
④对分类变量x与y的统计量χ2来说，χ2值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大.
其中，真命题的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据相关指数、离差图、相关系数和独立性检验的知识依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，由相关指数的定义知：R2越大，模型的拟合效果越好，①正确；
对于②，离差点所在的带状区域宽度越窄，则离差平方和越小，模型拟合精度越高，②正确；
对于③，若所有样本点都在直线y=−12x+1上，则线性相关系数r=−1，③错误；
对于④，由独立性检验的思想知：χ2值越大，“x与y有关系”的把握程度越大，④错误.
故选：B.
6．（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，有99.5%的把握认为这两件事情有关，那么K2的一个可能取值为（    ）
PK2>k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83

A．6.785 B．5.802 C．9.697 D．3.961
【答案】C
【分析】由已知结合临界值表可得答案.
【详解】根据临界值表,当K2≥7.879时, 在犯错误的概率不超过0.005的前提下, 认为吸烟与否与患肺炎有关系,即有99.5%的把握认为吸烟与否与患肺炎有关,由此可得C正确.
故选: C.

二、多选题
7．（2023·山东济宁·统考一模）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：

经计算X2≈4.762，则可以推断出（    ）
A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为35
B．该学校男生比女生更经常锻炼
C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
【答案】BC
【分析】利用频率估计概率得到A错误B正确，确定6.635>X2>3.841，得到C正确D错误，得到答案.
【详解】对选项A：该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为4050=45，错误；
对选项B：经常体育锻炼的概率的估计值男生为4050=45，女生为3050=35，正确；
对选项C：X2≈4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，正确；
对选项D：X2≈4.762<6.635，故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，错误.
故选：BC
8．（2023·全国·高二专题练习）卡塔尔足球世界杯比赛于2022年11月揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的列联表：

喜欢足球
不喜欢足球
总计
男
35
15
50
女
25
25
50
总计
60
40
100

参考公式χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d（其中n=a+b+c+d）
常用小概率值和临界值表：
α
0.05
0.010
0.005
xα
3.841
6.635
7.879

参照临界值表，下列结论正确的是（    ）A．根据小概率值α=0.05的独立性检验，有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”
B．根据小概率值α=0.05的独立性检验，有95%的把握认为“喜欢足球与性别有关”
C．根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为“喜欢足球与性别有关”
D．根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为“喜欢足球与性别无关”
【答案】BD
【分析】根据条件求出χ2的值，与所给的临界值进行比较，判断选项的正误即可．
【详解】由题意可知χ2=100×(35×25−25×15)260×40×50×50≈4.17，
∵χ2≈4.17>3.841=x0.05，∴根据小概率值α=0.05的独立性检验，有95%的把握认为“喜欢足球与性别有关”，故A错误，B正确；
∵χ2≈4.17<6.635=x0.01，∴根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为“喜欢足球与性别无关”，故C错误，D正确，
故选：BD．

三、填空题
9．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）某中学统计了一个班40名学生中每一个学生的英语成绩与语文成绩，并制成了一个不完整的2×2列联表如下：

英语成绩及格
英语成绩不及格
总计
语文成绩及格
20


语文成绩不及格

11

总计
25

40

则____________（填“有”或“没有”）99%的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635


【答案】有
【分析】先将2×2列联表填写完整，再计算χ2进行判断.
【详解】由题意可得2×2列联表如下：

英语成绩及格
英语成绩不及格
总计
语文成绩及格
20
4
24
语文成绩不及格
5
11
16
总计
25
15
40

则χ2=40×(20×11−4×5)225×15×24×16≈11.111>6.635，
因此有99%的把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关．
故答案为：有.
10．（2023·高三课时练习）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的45，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的35，若有95%的把握但没有99%的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有______人.
附表：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
k0
3.841
6.635


【答案】45，50，55，60，65
【分析】设男生有x人，可得2×2列联表，计算K2，由3.841 【详解】设男生有x人，由题意可得2×2列联表如下，

喜欢
不喜欢
合计
男生
45x
15x
x
女生
35x
25x
x
合计
75x
35x
2x

若有95%的把握但没有99%的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则3.841 ∵K2=2x45x⋅25x−15x⋅35x275x⋅35x⋅x⋅x=221x，
∴3.841<221x<6.635，
解得40.3 所以被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65.
故答案为：45，50，55，60，65.

四、解答题
11．（2022春·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）随着节能减排意识深入人心，共享单车在各大城市大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车.为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50

(1)如果用户每周使用共享单车超过3次，那么认为其“喜欢骑行共享单车”.请完成下面的2×2列联表，并判断依据α=0.05的独立性检验，能否认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关；

不喜欢骑行共享单车
喜欢骑行共享单车
合计
男



女



合计




(2)每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，将频率视为概率，在我市所有的“骑行达人”中随机抽取4名，求抽取的这4名“骑车达人”中，既有男性又有女性的概率.
【答案】(1)表格见解析，不能认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关
(2)528625

【分析】（1）由题意，写出列联表，利用独立性检验，可得答案；
（2）根据概率的乘法公式以及概率的减法公式，可得答案.
【详解】（1）由题目表格中的数据可得如下2×2列联表：

不喜欢骑行共享单车
喜欢骑行共享单车
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100

将2×2列联表中的数据代入公式，得χ2=100×(45×15−30×10)225×75×55×45≈3.03<3.841，
所以依据α=0.05的独立性检验，不能认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关.
（2）将频率视为概率，在我市的“骑行达人”中随机抽取1名，则该“骑行达人”是男性的概率为35，
是女性的概率为25.故抽取的这4名“骑行达人”中，
既有男性又有女性的概率P=1−354−254=528625.
12．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）为了检测甲、乙两名工人生产的产品是否合格，一共抽取了40件产品进行测量，其中甲产品20件，乙产品20件，分别称量产品的重量（单位：克），记重量不低于66克的产品为“合格”，作出茎叶图如图：

(1)分别估计甲、乙两名工人生产的产品重量不低于80克的概率；
(2)根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关？

甲
乙
合计
合格



不合格



合计




附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
k0
2.072
2.706
3.841


【答案】(1)P甲=14，P乙=920
(2)表格见解析，有

【分析】（1）根据题意，直接由古典概型概率计算公式即可得到结果；
（2）由茎叶图完成表格，然后根据K2的计算公式，即可得到结果.
【详解】（1）设工人甲生产的产品重量不低于80克的概率为P甲，则P甲=520=14，
工人乙生产的产品重量不低于80克的概率为P乙，则P乙=920
（2）根据茎叶图得列联表如下：

甲
乙
合计
合格
12
17
29
不合格
8
3
11
合计
20
20
40

K2=40×12×3−17×8220×20×11×29≈3.135>2.706,，
故判断有90%的把握认为产品是否合格与生产的工人有关.

题组B 能力提升练
一、单选题
1．（2023·高二单元测试）某中学为调查高一年级学生的选科倾向，随机抽取了300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如表所示，则下列说法中正确的是（    ）．
选考类别
选择科目
思想政治
地理
化学
生物
物理类
80
100
145
115
历史类
50
45
30
35

参考数据：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
附表：
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A．选考物理类的学生中选择政治的比例比选考历史类的学生中选择政治的比例高
B．选考物理类的学生中选择地理的比例比选考历史类的学生中选择地理的比例高
C．参照附表，根据小概率值α=0.1的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别无关
D．参照附表，根据小概率值α=0.1的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别有关
【答案】C
【分析】分别求出各个比例，即可判断A、B项；列出2×2列联表，求出χ2的值，根据独立性检验的思想，即可判断C、D项.
【详解】对于A项，80220=411<12，5080=58>12，显然80220<12<5080，故A项错误；
对于B项，因为100220=511<12，4580=916>12，所以100220<12<4580，故B项错误；
对于C项，
根据已知，可列出2×2列联表

选择生物
不选择生物
合计
物理类
115
105
220
历史类
35
45
80
合计
150
150
300

χ2=300×115×45−105×352150×150×220×80=7544≈1.705<2.706，
所以根据小概率值α=0.1的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别无关，故C项正确；
对于D项，根据C项可知，D项错误.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的3+3模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）

选物理
不选物理
总计
男生
340
110
450
女生
140
210
350
总计
480
320
800
表一

选生物
不选生物
总计
男生
150
300
450
女生
150
200
350
总计
300
500
800
表二

试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（    ）
附:χ2=n（ad−bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），n=a+b+c+d.α=Pχ2≥xα
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
xa
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

A．选物理与性别有关，选生物与性别有关
B．选物理与性别无关，选生物与性别有关
C．选物理与性别有关，选生物与性别无关
D．选物理与性别无关，选生物与性别无关
【答案】C
【分析】结合题干数据，以及χ2公式，分别计算物理和生物学科的χ2值，与x0.005=7.879比较，分析即得解
【详解】由题意，先分析物理课是否与性别有关：
根据表格数据，n=800,a=340,b=110,c=140,d=210
∴χ2=800×(340×210−110×140)2(340+110)×(140+210)×(340+140)×(110+210)=103.7
结合题干表格数据，x0.005=7.879，∴χ2>x0.005
因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关
再分析生物课是否与性别有关：
根据表格数据，n=800,a=150,b=300,c=150,d=200
∴χ2=800×(150×200−300×150)2(150+150)×(200+300)×(300+150)×(150+200)=7.619
结合题干表格数据，x0.005=7.879，∴χ2 因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关
故选：C
3．（2023·高二单元测试）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的2×2列联表：
性别
锻炼情况
合计
不经常
经常
女生/人
14
7
21
男生/人
8
11
19
合计/人
22
18
40

注：χ2独立性检验中，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
常用的小概率值和相应的临界值如下表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

根据这些数据，给出下列四个结论：
①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；
②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；
③根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；
④根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．
其中，正确结论的序号是（    ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】分别求出男生和女生经常锻炼的频率即可依据频率稳定于概率的原理判断，求出卡方值，和3.841比较即可根据小概率值α=0.05的独立性检验判断.
【详解】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为721=13，
男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为1119，
因为1119>13，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；
χ2=40×14×11−7×8221×19×22×18≈2.431<3.841，所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误.
故选：B.
4．（2023·全国·高二专题练习）某机构为研究中老年人坚持锻炼与患糖尿病、高血压、冠心病、关节炎四种慢性疾病之间的关系，随机调查部分中老年人，统计数据如下表1至表4，则这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是（    ）    
表1
表2

患糖尿病
未患糖尿病
坚持锻炼
6
14
不坚持锻炼
7
25



患高血压
未患高血压
坚持锻炼
2
18
不坚持锻炼
11
21


表3
表4

患冠心病
未患冠心病
坚持锻炼
4
16
不坚持锻炼
9
23



患关节炎
未患关节炎
坚持锻炼
7
13
不坚持锻炼
6
26



A．糖尿病 B．高血压 C．冠心病 D．患关节炎
【答案】B
【分析】根据独立性检验计算k2，比较可得选项.
【详解】解：由表1得：k2=52×6×25−7×14220×32×13×39≈0.43，
由表2得：k2=52×2×21−11×18220×32×13×39≈3.9，
由表3得：k2=52×4×23−9×16220×32×13×39≈0.43，
由表4得：k2=52×7×26−6×13220×32×13×39≈1.73，
所以这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是高血压，
故选：B.
5．（2021·高二课时练习）新型冠状病毒（2019-NCoV）因2019年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：

患病

未患病

总计

服用药
10

45

55

未服药

20

30

50

总计

30

75

105


下列说法正确的是（    ）
参考数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d
P(K2>k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635

A．有95%的把握认为药物有效
B．有95%的把握认为药物无效
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效
【答案】A
【分析】根据2×2列联表计算K2，对照临界值即可得出结论．
【详解】根据2×2列联表，计算K2=105×(10×30−20×45)255×50×30×75=33655≈6.109>3.841，
由临界值表可知，
有95%的把握认为药物有效，A正确
故选：A
6．（2021·高二课时练习）某工科院校对A，B两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格：

专业A
专业B
合计
女生
12


男生

46
84
合计
50

100

若认为工科院校中“性别”与“专业”有关，则犯错误的概率不会超过（    ）A．0.005 B．0.01 C．0.025 D．0.05
【答案】D
【分析】由表格中数据间的关系填写列联表中的余下数据，计算χ2的值，比较其与临界值的大小关系确定若认为工科院校中“性别”与“专业”有关的犯错误的概率，由此确定正确选项.
【详解】根据题意，填写2×2列联表如下：

专业A
专业B
合计
女生
12
4
16
男生
38
46
84
合计
50
50
100

则χ2=100×12×46−4×38216×84×50×50=10021≈4.762．又4.762>3.841，所以认为工科院校中“性别”与“专业”有关，犯错误的概率不会超过0.05，
故选：D.

二、多选题
7．（2023·全国·高二专题练习）昆明市第三中学在课外活动中新增了攀岩项目，为了解学生对攀岩的喜好和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制如图所示的等高堆积图，则（       ）
                    
参考公式及数据
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
a
0.10
0.05
0.010
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
10.828

A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C．若参与调查的男、女生人数均为100，依据α=0.01的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关
D．无论参与调查的男、女生人数为多少，依据α=0.01的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关
【答案】AC
【分析】AB选项，列出2×2列联表判断；C选项，求得χ2的值，由m=100时判断；D选项，由χ2和m有关判断.
【详解】由题意，设参加调查的男、女生人数均为m人，则关于对攀岩的喜好和性别的抽样数据的2×2列联表如下：
单位：人
性别
攀岩
合计
喜欢
不喜欢
男生
0.8m
0.2m
m
女生
0.3m
0.7m
m
合计
1.1m
0.9m
2m

所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，A正确，B错误；
χ2=2m0.56m2−0.06m221.1m⋅0.9m⋅m⋅m=50m99，当m=100时，χ2=50m99=50×10099≈50.505>6.635=x0.01，
所以当参与调查的男、女生人数均为100时，根据α=0.01的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关，C正确，
χ2和m有关，当m=10时，χ2=50099≈5.051<6.635，所以D错误．
故选：AC
8．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）为了增强学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：

性别
合计
男性
女性
喜欢
280
p
280+p
不喜欢
q
120
120+q
合计
280+q
120+p
400+p+q

附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.00l
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

已知男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的35，则下列说法正确的是（    ）A．列联表中q的值为120，p的值为180
B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢该项运动
C．有99%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系
D．没有99.9%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系
【答案】ACD
【分析】根据题意求出q、p，补全2×2列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出K2，结合独立性检验的思想依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710，
女生喜欢该项运动的人数占女生人数的35，
则280=710(280+q)，p=35(120+p)，解得q=120,p=180，故A正确；
B：补全2×2列联表如下：

男性
女性
合计
喜欢
280
180
460
不喜欢
120
120
240
合计
400
300
700

所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为P=460700≈65.7%，故B错误；
C：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=700(280×120−180×120)2460×240×400×300≈7.609，
而6.635<7.609<10.828，
所以有99%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，故C正确；
D：由选项C知，没有99.9%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，
故D正确.
故选：ACD

三、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习）为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有________．

①被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
②被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
③若被调查的男女生均为100人，则可以认为喜欢登山和性别有关
④无论被调查的男女生人数为多少，都可以认为喜欢登山和性别有关
【答案】①③
【分析】由等高堆积条形统计图可判断A、B；利用独立性检验，计算出χ2=50n99，可判断C、D.
【详解】因为被调查的男女生人数相同，由等高堆积条形统计图可知，喜欢登山的男生占80%，喜欢登山的女生占30%，所以A正确，B错误;
设被调查的男女生人数均为n，则由等高堆积条形统计图可得列联表如下

男
女
合计
喜欢
0.8n
0.3n
1.1n
不喜欢
0.2n
0.7n
0.9n
合计
n
n
2n

由公式可得：χ2=2n×(0.8n×0.7n−0.3n×0.2n)21.ln×0.9n×n×n=50n99.
当n=100时，χ2=50n99=50×10099>50，可以判断喜欢登山和性别有关，故C正确；
而χ2=50n99，所以χ2的值与n的取值有关.故D错误.
故答案为：①③.
10．（2022·全国·高三专题练习）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀
非优秀
总计
甲班
10
b

乙班
c
30


已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是________．
①列联表中c的值为30，b的值为35；
②列联表中c的值为20，b的值为45；
③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．
【答案】②③##32
【分析】根据题意可计算出成绩优秀的学生数，从而求得c，继而求得b，判断①②；根据列联表数据计算K2的值并与临界值表中数据进行比较，即可判断③④.
【详解】由题意得在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，
则成绩优秀的学生有105×27=30人，甲班有10人，则乙班20人，即c=20,
成绩非优秀的学生有75人，乙班由30人，则甲班哟有45人，即b=45,
故①错误，②正确；
由列联表可得K2=105×(10×30−20×45)255×50×30×75≈6.109>3.841，
故按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”， ③正确，④错误；
故答案为：②③
11．（2023·高二单元测试）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
a
50-a
50
未服用
80-a
a-30
50
合计
80
20
100

若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为___________（其中a≥40且a∈N∗）（参考数据：6，635≈2.58，10.828≈3.29）
参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d(a+c)(b+d)
临界值表
p(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】46
【分析】根据题意求得K2≥6.635，即可求出a的最小值.
【详解】解：由题意可得K2=100[a(a−30)−(50−a)(80−a)]250×50×80×20≥6.635，
整理得：(100a−4000)2≥502×42×6.635，
所以100a−4000≥200×6.635≈200×2.58=516或100a−4000≤−200×6.635≈−200×2.58=−516,
解得：a≥45.16或a≤34.84，
又因为a≥40且a∈N∗，
所以a≥46，
所以a的最小值为46.
故答案为：46.

四、解答题
12．（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）网络购物已经渐渐成为人们购物的新方式．为了调查每周网络购物的次数和性别的关系，随机调查了100名市民的网络购物情况，有关数据的2×2列联表如下：

10次及10次以上
10次以下
男性
10
40
女性
40
10

(1)从这100位市民中随机抽取一位，试求出该市民为每周网络购物不满10次的男性的概率；
(2)请说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系？
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

[参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d（其中n=a+b+c+d）]
【答案】(1)25
(2)在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关

【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）根据表格将数据代入K2的计算公式即可求解.
【详解】（1）由表中数据可知，每周网络购物不满10次的男性为40人，所以概率P=40100=25；
（2）由题意可知，K2=100×102−402250×50×50×50=36>10.828，
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关．
13．（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如下表：
土地使用面积x（单位：亩）
1
2
3
4
5
管理时间y（单位：月）
8
11
14
24
23

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表：

愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
140
60
女性村民
40


(1)根据所给数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明；（r值精确到0.01）
(2)完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.

愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
140
60

女性村民
40


合计




参考公式：r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2;K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
参考数据：i=15xi−xyi−y=43,i=15yi−y2=206,515≈22.70.
临界值表：
PK2≥k0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828


【答案】(1)r≈0.95可以用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)列联表见解析，有99.9%的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关

【分析】(1)先计算土地使用面积x的平均值，再根据公式计算r；
(2)先填好列联表，再运用卡方计算.
【详解】（1）依题意：x=1+2+3+4+55=3，
∴i=15xi−x2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，
又i=15xi−xyi−y=43,i=15yi−y2=206，
∴r=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2i=15yi−y2=4310×206=432515≈4345.4≈0.95，
∵y与x的相关系数r近似为0.95，∴y与x的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；
（2）完成的列联表如下：

愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
140
60
200
女性村民
40
60
100
合计
180
120
300

计算K2=300(140×60−40×60)2180×120×200×100=25>10.828，
∴有99.9%的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
综上，r≈0.95可以用线性回归模型拟合y与x的关系；有99.9%的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
14．（2023·四川成都·川大附中校考二模）2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式.为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为20nn∈N∗，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关.

男生
女生
合计
了解

10n

不了解
5n


合计




(1)求n的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附表：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
【答案】(1)n=2
(2)分布列见解析，3.75

【分析】（1）根据被调查的男女生人数均为20n，完成列联表，代入K2公式进行计算，得出结果后解不等式5.024≤K2<6.635即可.
（1）由已知得X∼B5,34，根据二项分布得出X的分布列及数学期望即可.
【详解】（1）由已知，完成列联表，

男生
女生
合计
了解
15n
10n
25n
不了解
5n
10n
15n
合计
20n
20n
40n

将数值代入公式可得K2的观测值：K2=40n×150n2−50n2220n×20n×25n×15n=8n3，
根据条件，可得5.024≤8n3<6.635，解得1.884≤n<2.488，
因为n∈N∗，所以n=2.
（2）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为34，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为34，则X∼B5,34，
P(X=0)=C50340145=11024，P(X=1)=C51341144=151024，
P(X=2)=C52342143=901024=45512，P(X=3)=C53343142=2701024=135512，
P(X=4)=C54344141=4051024，P(X=5)=C55345140=2431024.
则X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
11024
151024
45512
135512
4051024
2431024

E(X)=5×34=154=3.75.

题组C 培优拔尖练
1．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．
下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：
淘汰赛
比赛结果
淘汰赛
比赛结果
1/8决赛
荷兰3:1美国
1/4决赛
克罗地亚（4）1:1（2）巴西
阿根廷2:1澳大利亚
荷兰（3）2:2（4）阿根廷
法国3:1波兰
摩洛哥1:0葡萄牙
英格兰3:0塞内加尔
英格兰1:2法国
日本（1）1:1（3）克罗地亚
半决赛
阿根廷3:0克罗地亚
巴西4:1韩国
法国2:0摩洛哥
摩洛哥（3）0:0（0）西班牙
季军赛
克罗地亚2:1摩洛哥
葡萄牙6:1瑞士
决赛
阿根廷（4）3:3（2）法国

注：“阿根廷（4）3:3（2）法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为3:3，在点球大战中阿根廷4:2战胜法国．
(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
(2)根据题意填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯人8强”与是否为欧洲球队有关．

欧洲球队
其他球队
合计
闯入8强



未闯入8强



合计




(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为23，求在点球大战中，两队前2轮比分为2:2的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
Pχ2≥α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)516
(2)分布列见解析，不能
(3)127p3+59p2+19p

【分析】(1)根据古典概型概率公式求解；
(2)由条件数据填写列联表，提出零假设，计算χ2，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；
(3)根据实际比赛进程，根据独立重复试验概率公式，独立事件概率公式和互斥事件概率公式求概率.
【详解】（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点球大战决出胜负，
所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率P=516；
（2）下面为2×2列联表：

欧洲球队
其他球队
合计
进入8强
5
3
8
未进入8强
8
16
24
合计
13
19
32

零假设H0:32支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=32×(5×16−3×8)28×24×13×19=2.116<6.635．
根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．
（3）根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为2:2的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分，1:0,2:0,2:1,3:1,3:2．
当后3轮比分为1:0时，甲乙两队均需踢满5轮，P1=C31p(1−p)2133=p(1−p)29．
当后3轮比分为2:0时，有如下3种情况：
2:0
3
4
5

2:0
3
4
5

2:0
3
4
5
甲
√
√

甲
√
×
√
甲
×
√
√
乙
×
×

乙
×
×

乙
×
×


则P2=p2132+C21p2(1−p)132=3p2−2p39．
当后3轮比分为2:1时，有如下6种情况：
2:1
3
4
5

2:1
3
4
5

2:1
3
4
5
甲
√
√
×
甲
√
√
×
甲
√
×
√
乙
√
×
×
乙
×
√
×
乙
√
×
×
2:1
3
4
5

2:1
3
4
5

2:1
3
4
5
甲
√
×
√
甲
×
√
√
甲
×
√
√
乙
×
√
×
乙
√
×
×
乙
×
√
×

则P3=3p2(1−p)C2123132=49p2(1−p)．
当后3轮比分为3:1时，有如下2种情况：
3:1
3
4
5

3:1
3
4
5
甲
√
√
√
甲
√
√
√
乙
√
×

乙
×
√


则P4=p3C2123×13=4p39
当后3轮比分为3:2时，有如下1种情况：
3:2
3
4
5
甲
√
√
√
乙
√
√
×

则P5=p3232×13=4p327．
综上，在点球大战中两队前2轮比分为2:2的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率P=P1+P2+P3+P4+P5=p(1−p)29+3p2−2p39+49p2(1−p)+4p39+4p327=127p3+59p2+19p.
【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
2．（2023·全国·高三专题练习）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80

(1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第n次传球后球在甲手中的概率.
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
α
0.010
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析
(2)47
(3)131−−12n−1

【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）利用事件，利用条件概率求出答案；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为pn，n=1,2,3⋯，得到pn+1=−12pn+12，利用构造法得到pn+1−13=−12pn−13，即数列pn−13是以−13为首项，−12为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.
【详解】（1）χ2=200×40×80−60×202100×100×60×140≈9.524>6.635，
故依据α=0.01的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则nAB=80，nA=140
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率PBA=nABnA=80140=47；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为pn，n=1,2,3⋯，
则有p1=0，pn+1=121−pn+0⋅pn=−12pn+12，
设pn+1+λ=−12pn+λ，则pn+1=−12pn−32λ，
所以−32λ=12，解得：λ=−13，
所以pn+1−13=−12pn−13，其中p1−13=−13，
故数列pn−13是以−13为首项，−12为公比的等比数列，
所以pn−13=−13×−12n−1，
故pn=13−13×−12n−1=131−−12n−1，
故第n次传球后球在甲手中的概率为131−−12n−1.