九年级上册21.2.1 配方法导学案

这是一份九年级上册21.2.1 配方法导学案，文件包含九年级数学上册第02讲配方法的应用原卷版-2022-2023学年九年级数学上册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升2docx、九年级数学上册第02讲配方法的应用解析版-2022-2023学年九年级数学上册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升1docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。

第02讲 配方法的应用（解析版）
专题诠释：把一个式子或一个式子的部分改写成一个完全平方式的和的形式，这种解题法叫配方法。配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变原有式子的结构，是变形求解的一种手段，运用配方法解题的关键在“配凑”，“拆项”和“添项”是配方法常用的技巧。
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 配方变形
典例1 （2022春•姜堰区期中）若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
针对训练1
1．（2021秋•三元区月考）用配方法将二次三项式x2﹣8x﹣9化为a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．（x﹣4）2﹣25 B．（x+4）2﹣25 C．（x+4）2+7 D．（x﹣4）2+7
2．（碑林区校级期末）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
根据阅读材料解决下面问题：
（1）m2+4m+4＝（　 　）2
（2）无论n取何值，9n2﹣6n+1　 　0（填“＜”，“＞”，“≤”，“≥”或“＝”）
（3）已知m，n是△ABC的两条边，且满足10m2+4n2+4＝12mn+4m，若该三角形的第三边k的长是奇数，求k的长．





类型二 用配方法比较大小
典例2 已知a＝3x2+36，b＝2x2+10x，试利用配方法比较a与b的大小．（提示：作差比较大小时，若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b）
针对训练2
3．（2016•扬州）已知M=29a﹣1，N＝a2−79a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　）
A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定
4．（2020春•仪征市期末）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N
类型三 用配方法判断符号
典例3（2019春•石景山区期末）若x为任意有理数，则多项式4x﹣4﹣x2的值（　　）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．不可能为正数 D．可能为任意有理数
针对训练3
5．请你试着证明关于x的方程（p2﹣8p+20）x2+5px﹣3＝0，不论p取何值，该方程都是一元二次方程．



类型四 用配方法求多项式的最值
典例4（2021秋•下城区期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于 　　．


针对训练4
6．（2021春•惠山区校级期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为10＝32+12，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有 　 　（填序号）．
①29；②48；③13；④28．
探究问题：
（2）若a2﹣4a+8可配方成（a﹣m）2+n2（m，n为常数），则mn的值为 　 　；
（3）已知S＝a2+4ab+5b2﹣8b+k（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展应用：
（4）已知实数a，b满足﹣a2+5a+b﹣3＝0，求a+b的最小值．

7．（2021秋•东城区校级期中）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝　 　+b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣　 ）2+　 　；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 　 　．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．



8．（2020春•彭州市期末）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2
＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣8a+15＝　 　；
（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．

类型五 配方法在多元二次方程中的应用
典例5（2019秋•峨眉山市期末）已知：a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b+c的值等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
针对训练5
9．已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
10．（2020•蜀山区校级模拟）已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是　 　．
11．（2022春•广陵区校级月考）若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是 　　．
类型六 配方法分解因式
典例6（2021春•无锡期末）阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．
请用“配方法”解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣6a+5．
（2）已知ab=34，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b2的值．
（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值．

针对训练6
12．（2019秋•黄浦区校级期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
请利用“配方法”进行因式分解：
（1）x2﹣8x+15
（2）a4+a2b2+b4

13．（2016秋•上杭县期末）阅读下列多项式因式分解的过程：
x2﹣2x﹣8＝x2﹣2•x•1+12﹣12﹣8＝（x﹣1）2﹣9＝（x﹣1）2﹣32＝（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）＝（x+2）（x﹣4）
这种把多项式分解因式的方法叫做“配方法”，请你根据上面的材料解答下列问题：
（1）利用完全平方公式填空：x2+8x+（　 　）2＝（x+　 　）2；
（2）用“配方法”把多项式x2﹣6x﹣16分解因式；
（3）如果关于x的二次三项式x2+10x+m在实数范围内不能因式分解，求实数m的取值范围．



14．（2021春•祁阳县期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+64
（2）x4+4y4；
（3）x2﹣2ax﹣b2+2ab．



类型七 配方法化简二次根式
典例7（珠海校级一模）配方法是一种常用的数学方法，用配方法将6﹣25写成平方形式的方法是：6﹣25=5+1﹣25=（5）2+（1）2﹣25=（5−1）2．利用这个方法解决：
（1）5+26=（　2+3　）2，5﹣26=（　2−3　）2；
（2）化简11−230+7−210；
（3）当1≤x≤2时，化简x+2x−1+x−2x−1．

针对训练7
15．（2021春•梁溪区期末）对于11−62这样的根式，我们可以利用“配方法”进行化简：11−62=9−218+2=(9−2)2=3−2．运用同样的方法化简23−610+43−22的结果是（　　）
A．3−3 B．3−2 C．5−3 D．5−2

类型八　配方法解方程
典例8（陕西校级月考）认真阅读以下材料，并解答问题：
材料：（1）配方：利用完全平方公式，把二次三项式写成（a﹣k）2+h的形式．
例：x2﹣2x＝x2﹣2•1•x+12﹣12＝（x﹣1）2﹣1
（2）利用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
问题：（1）把多项式直接写成（a﹣k）2+h的形式：x2﹣6x﹣3＝　 　
（2）用配方法解方程：x2+6x+8＝0．



针对训练8
16．（无锡期中）用配方法解方程y2﹣6y+7＝0，得（y+m）2＝n，则（　　）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝3，n＝9 D．m＝﹣3，n＝﹣7
类型九 利用配方法判断三角形形状
典例9（宿州校级月考）若a、b、c是△ABC的三边，且a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判断这个三角形的形状．


针对训练9
17．△ABC的三边满足等式2a2+b2＝3ab+bc﹣ac，试判断△ABC的形状．（2a﹣b+c≠0）


18．如果△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．[提示：x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2]．

第二部分 专题提优训练
1．（2021春•滨江区期末）下列配方正确的是（　　）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6
B．x2+3x＝（x+32）2−32
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2
D．x2−12x+34=(x−14)2+116
2．（2020秋•云南期末）将代数式3x2+6x+2配方成a（x+k）2+h形式为（　　）
A．(x+1)2−13 B．3（x+1）2+1 C．3（x+1）2﹣1 D．(x−1)2+23
3．（2021秋•建邺区期中）若x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b，则2a+b＝　　．
4．（2021•海陵区一模）已知y=13[（x﹣1）2+（x﹣3）2+（x﹣2）2]，当x＝　 　时，y的值最小．
5．（2021秋•丛台区校级期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，
（1）若把实数对（﹣5，2）放入其中，得到的实数是 　 　．
（2）若实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，求m的值．
（3）小明说，若把实数对（n，3n﹣1）放入其中，得到的实数可能小于﹣15，你认为小明的说法正确吗？为什么？

6．（2021秋•海淀区校级期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：
对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝　 　对称；
（2）若关于x的多项式x2+2ax+3关于x＝4对称，求a的值；
（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）关于x＝　　对称．


7．（2021秋•隆昌市）阅读材料：选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中两项，配成完全平方式的过程叫配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2.例如：x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，将二次三项式x2﹣4x+9配成完全平方式；
（2）将x4+x2y2+y4分解因式；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．


8．（2021春•平谷区期末）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32+22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2，所以a2+2ab+2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　；
（2）判断53 　 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2+4x+k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，m≠n，试说明mn也是“完美数”．
9．（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：
对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝　 　对称；
（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；
（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝　　对称．
10．（2020秋•宜宾期末）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：分解因式4a2﹣4a+1＝　 ；
（2）把x2﹣10x﹣1写成（x+h）2+k后，求出h+k的值；
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，试判断△ABC的形状，并说明理由．
11．（2021•桥西区模拟）比较x2+y2与2xy的大小．
尝试：（用“＜”“＝”或“＞”填空）
①当x＝2，y＝2时，x2+y2　　2xy；
②当x＝1，y＝3时，x2+y2　　2xy；
③当x＝﹣1，y＝﹣4时，x2+y2　　2xy．
验证：若x，y取任意实数，x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由；
应用：当xy＝1时，请直接写出x2+4y2的最小值．
12．（2021秋•台江区校级期中）阅读下列材料并解答后面的问题：
完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．
已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
问题：（1）已知a+1a=6．求a2+1a2的值；
（2）已知a﹣b＝2，ab＝3，求a4+b4的值．
13．（2020秋•淅川县期末）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这种变形方法叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+11x+24＝x2+11x+（112）2﹣（112）2+24
＝（x+112）2−254=（x+112+52）（x+112−52）
＝（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将x2+4x﹣5化成（x+m）2+n的形式，则x2+4x﹣5＝　 ；
（2）用配方法和平方差公式把多项式x2﹣6x﹣7因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式x2+y2﹣2x﹣8y+19的值总为 　 　（填序号）．
①正数；②非负数；③0．
14．（2021秋•嵩县期中）已知代数式x2﹣5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
15．（2019秋•河南期末）对于二次三项式x2+2ax+a2，可以直接用公式法分解为（x+a）的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使x2+2ax﹣3a2中的前两项与a2构成完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进步分解．于是x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法．
请用配方法将下列各式分解因式：
（1）x2+4x﹣12；
（2）4x2﹣12xy+5y2
16．（2020•浙江自主招生）已知x，y，z均为非负实数，且满足x−y+2z=32x+y+z=3，求x2+y2+2z2的最大值和最小值．
17．（2019春•宣州区期中）阅读下列材料并解答后面的问题：
利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．
例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
问题解决：
（1）已知a+1a=6，则a2+1a2= 　；
（2）已知a﹣b＝2，ab＝3，分别求a2+b2，a4+b4的值．
18．（2018秋•江岸区期末）我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，观察下列式子：x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2；﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2，并完成下列问题
（1）﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+m）2+n≤n，则m＝　 　；n＝　 　；
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务：
①列式：用含x的式子表示花圃的面积：　 　；
②请说明当x取何值时，花圃的最大面积时多少平方米？

19．（2019春•禹会区期中）例读下列材料并解答后面的问题：
利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．
例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19通过对例题的理解解决下列问题：
（1）已知a﹣b＝2，ab＝3，分别求a2+b2＝　 　；
（2）若a+1a=6，求a2+1a2的值；
（3）若n满足（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，求式子（n﹣2019）（2018﹣n）的值．
20．（2019秋•榕城区期中）先阅读，再解决问题．
阅读：材料一 配方法可用来解一元二次方程．例如，对于方程x2+2x﹣1＝0可先配方（x+1）2＝2，然后再利用直接开平方法求解方程．其实，配方还可以用它来解决很多问题．
材料二 对于代数式3a2+1，因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即3a2+1有最小值1，且当a＝0时，3a2+1取得最小值为1．
类似地，对于代数式﹣3a2+1，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1≤1，即﹣3a2+1有最大值1，且当a＝0时，﹣3a2+1取得最大值为1．
解答下列问题：
（1）填空：①当x＝　0　时，代数式2x2﹣1有最小值为　 　；
②当x＝　 　时，代数式﹣2（x+1）2+1有最大值为　 　．
（2）试求代数式2x2﹣4x+1的最小值，并求出代数式取得最小值时的x的值．
（要求写出必要的运算推理过程）