【同步讲义】北师大版数学七年级下册：4.1.2 A字型、8字模型、飞镖模型 讲义

4.1.2 A字型、8字模型、飞镖模型

A字型模型： ∠1+∠2=∠A+180° （结论）

证明

8字模型（基础）：∠A+∠B=∠C+∠（结论）

证明：

8字模型（变形）：已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则

∠P= (∠B+∠D)

证明：

飞镖模型（基础）：∠C=∠A+∠B+∠D   （结论）

证明：

飞镖模型（变形）：已知线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O= (∠A+∠C)

证明：

【题型一】A字型模型

【典题】（2023春·七年级单元测试）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）．

A． B． C． D．

 巩固练习

1．（）（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（  ）

A．360º B．250º C．180º D．140º

2．（）（2020春·广西玉林·七年级统考期末）如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到 一个四边形，那么的度数为（ ）

A．120O B．180O. C．240O D．3000

【题型二】8字模型

【典题】（2023春·七年级课时练习）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ）

A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D

 巩固练习

1．（）（2023春·七年级课时练习）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　）

A．240° B．280° C．360° D．540°

2．（）（2023春·七年级单元测试）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．

3．（）（2022春·福建泉州·七年级晋江市第一中学校联考期中）如图，，，则的度数是（    ）

A．55° B．35° C．45° D．25°

4．（）（2022春·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（　　）

A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°

C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°

5．（）（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（　　）

A．180° B．240° C．300° D．360°

6．（）（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图， （　　）

A．180° B．360° C．270° D．300°

7．（）（2022秋·八年级课时练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ）

A．90° B．360° C．180° D．无法确定

8．（）（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；

(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．

①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：

②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；

③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

9．（）（2023春·七年级课时练习）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的度数．

10．（）（2023春·七年级单元测试）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．

（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．

（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；

（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．

【题型三】飞镖模型

【典题】如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（　　）

A．115° B．120° C．125° D．130°

巩固练习

1．（）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）．

A． B． C． D．

2．（）（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）

A．24° B．25° C．30° D．36°

3．（）（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

4．（）（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（    ）

A．118° B．119° C．120° D．121°

5．（）（2023春·江苏·七年级专题练习）已知：如图，O是△ABC内一点，且BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．

(1)若∠A＝48°，求∠BOC；

(2)若∠A＝n°，求∠BOC；

(3)若∠BOC＝130°，利用第（2）题的结论求∠A．

6．（）（2021·全国·七年级专题练习）问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？

（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；

（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；

（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．

7．（2022春·河南濮阳·七年级统考期中）如图所示，有一个三角尺（足够大），其中，把直角三角尺放置在锐角上，三角尺的两边恰好分别经过点．

(1)若，则_________°，__________°，___________°；

(2)若，求的度数；

(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．