【同步讲义】北师大版数学七年级下册：4.1.3 老鹰抓小鸡模型与双角平分线模型 讲义

4.1.3 老鹰抓小鸡模型与双角平分线模型

老鹰抓小鸡模型一: ∠A+∠O=∠1+∠2     （结论）

证明:

【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，∠C与∠1、∠2之间的关系为： 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2）  

证明：

老鹰抓小鸡模型二：∠A+∠O=∠2-∠1     （结论）

证明：

【变形】将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，∠C与∠1、∠2之间的关系为： 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1）  

双角平分线模型（三角形）

模型一：已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB，则∠D=90°+∠A

证明：

模型二：已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB，则∠D=90°- ∠A

证明：

模型三：已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD，则∠E=∠A

证明：

【题型一】老鹰抓小鸡模型

【典题】（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ）

A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 

C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）

 巩固练习

1．（）（2023春·七年级课时练习）如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

2．（）（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B的度数为（    ）

A．57° B．60° C．63° D．70°

3．（）（2023春·江苏·七年级阶段练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB．若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°

4．（）（2023春·江苏·七年级专题练习）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C=50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（    ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

5．（）（2022春·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．（）（2022春·四川成都·七年级校联考期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

7．（）（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°

8．（）（2021春·江苏徐州·七年级徐州市西苑中学校考阶段练习）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点，

研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由．

研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由．

研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由．

9．（）（2022春·山东聊城·七年级统考期末）如图①所示，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内的点处.

（1）若，________.

（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想，，之间的数量关系，直接写出结论.

②当点落在四边形外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，，，之间又存在什么关系？请说明．

（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的和是________.

10．（）（2023春·江苏徐州·七年级阶段练习）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处．

【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ；

【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，则∠A的大小为 ．

【题型二】双角平分线模型

【典题】（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）

A．36° B．30° C．20° D．18°

 巩固练习

1．（）（2023春·全国·七年级专题练习）在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，则∠BDC的度数是 （ ）

A．150° B．135° C．140° D．120°

2．（）（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（   ）

A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°

C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O

3．（）（2023春·江苏·七年级阶段练习）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④

4．（）（2023春·全国·七年级专题练习）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　)

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．（）（2023春·江苏·七年级期中）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　）

A． B． C． D．

6．（）（2021春·江苏苏州·七年级阶段练习）直线与直线垂直相交于点O，点A在直线上运动，点B在直线上运动．

（1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．

（2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的度数．

（3）如图3，延长至G，已知的角平分线与的角平分线及反向延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，则的度数为____（直接写答案）

7．（）（2018春·河南南阳·七年级校联考期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.

探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB

∴∠l+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A

∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A

(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．

(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）

(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）

8．（）（2021春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期中）（1）如图1，BO、CO分别是中和的平分线，则与的关系是______（直接写出结论）；

（2）如图2，BO、CO分别是两个外角和的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．

（3）如图3，BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．

（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．