【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第一章 整式的乘除（题型过关）

第一章 整式的乘除 

【题型一】同底数幂的乘法

典例1．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用表示．计算中一般用（千字节）、（兆字节）或（吉字节）作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为，，．一种新款电脑的硬盘存储容量为，它相当于多少千字节？（结果用千字节表示，其中，为正整数）

变式1-1．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）规定．求：

(1)；

(2)如果，求的值．

变式1-2．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！

(1)如果2×8x×16x＝222，求x的值；

(2)已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．

变式1-3（2022秋·浙江·七年级期中）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， ，b的形式，试求a2n-1a2n（n≥1）的值．

【题型二】幂的乘方

典例2．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）（1）已知，求的值；

（2）已知，求n的值．

变式2-1．（2022春·福建三明·七年级统考期中）已知，是整数，解决以下问题：

(1)若，且，，求的值.

(2)若，且，求的值.

变式2-2．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）已知，，、b都是正整数，用含m、n或p的式子表示下列各式：

（1）；

（2）．

变式2-3．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）设，，为了比较与的大小，小明想到了如下方法：，即25个16相乘的积；，即25个27相乘的积，显然，现在设，，请你用小明的方法比较与的大小．

【题型三】积的乘方

典例3．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）化简：

变式3-1．（2022秋·北京通州·七年级校考期中）（1）计算：

①与；

②与；

③与；

（2）根据以上计算结果猜想：，分别等于什么？（直接写出结果）

（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由；

（4）利用上述结论，求的值．

变式3-2．（2022春·江西九江·七年级统考期中）按要求完成下列各小题．

（1）计算：；

（2）已知，求的值．

变式3-3．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）已知，求x的值；

【题型四】幂的除法

典例4．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）已知，，，求的值．

变式4-1．（2022春·辽宁铁岭·七年级统考期中）已知，，求和的值．

变式4-2．（2022春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）解答下列各题：

(1)若，则x的值是多少？

(2)已知，求的值．

变式4-3．（2022春·江苏南京·七年级南师附中新城初中校考期中）如果，那么我们规定（a，b）＝c，如：因为，所以（2，8）＝3．

(1)根据上述规定，填空：（3，27）＝        ，（4，1）＝        ，（2，0.25）＝        ；

(2)记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：c－b＝a．

【题型五】幂的混合运算

典例5．（2022春·广东茂名·七年级校联考期中）计算：

(1)；

(2)．

变式5-1．（2022春·山东济南·七年级校考期末）计算：

(1)b2·(b3)2÷b5；　　　　　　(2)－3＋20－()－1.

变式5-2．（2022春·山东济南·七年级统考期末）计算：

(1)

(2)a3•a4•a+（a2）4+（2a4）2

【题型六】计算单项式乘单项式

典例6．（2022春·江苏盐城·七年级统考期末）计算：

变式6-1．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算：

(1)

(2)

变式6-2．（2022春·江西吉安·七年级统考期中）计算：．

【题型七】计算单项式乘多项式

典例7．（2022春·山东聊城·七年级统考期中）化简下列整式：

(1)

(2)

变式7-1．（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）计算：变式7-2．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值．

变式7-3．（2022秋·全国·七年级期中）如图，大正方形边长为，小正方形边长为．

(1)若，求阴影部分面积的和；

(2)定义：单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加：例如．试用含、的式子表示阴影部分面积之和．

【题型八】计算多项式乘多项式

典例8．（2022春·浙江杭州·七年级校联考期中）计算：

(1)x2•x4＋（﹣x2）3

(2)（m﹣1）（m2＋m＋1）．

变式8-1．（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）计算：

变式8-2．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系：

；

；

．

你发现有什么规律?按你发现的规律填空：

（_____＋______）_____×______

你能很快说出与相等的多项式吗?先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证．

变式8-3．（2022秋·江苏苏州·七年级校联考期中）若的展开式中不含和项，求：

(1) 的值．

(2)求的值．

变式8-4．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）先化简，再求值：，其中

变式8-5．（2022秋·江苏·七年级期末）小明计划用三种拼图将长为米，宽为米的客厅铺上一层漂亮的图案．其中A和B两种拼图为正方形，C为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助小明计算一下：

(1)分别需要A，B和C三种拼图多少块？

(2)若A，B和C三种拼图的单价分别为5元，3元，2元，且购买任意一种拼图的数量超过100块时，这种拼图的价格按照八折优惠，求小明的总花费．

【题型九】运用平方差公式进行计算

典例9．（2022春·广东肇庆·七年级德庆县德城中学校考期中）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x），其中x=．

变式9-1．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）

(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：

①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；

②计算：；

(3)【拓展】计算：．

变式9-2．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）用乘法公式简便计算：

变式9-3．（2022春·广西北海·七年级统考期中）计算：（用乘法公式进行计算）

(1)；

(2)．

【题型十】运用完全平方公式进行计算

典例10．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

变式10-1．（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）计算：

变式10-2．（2022春·四川达州·七年级统考期末）阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理：

因为，所以，当时，取得最小值．

（1）求多项式的最小值，并写出对应的的取值．

（2）求多项式的最小值．

变式10-3．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

(1)图中阴影部分的正方形的边长是______．

(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：

方法：______；方法：______．

(3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．

(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．

【题型十一】计算单项式除单项式

典例11．（2022秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）计算：32（x3y2z）3÷（-8x5y4z2）．

变式11-1．（2022秋·江苏宿迁·七年级沭阳县怀文中学校考期中）某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据如图所示．已知广场内A区为长方形的成年人活动场所，B区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带．

(1)求绿化带的面积；

(2)求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍．

变式11-2．（2022春·辽宁丹东·七年级统考期末）计算：

【题型十二】计算多项式除单项式

典例12．（2022春·安徽安庆·七年级统考期中）已知，求的值．

变式12-1．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）先化简，在求值，其中，．

变式12-2．（2022春·山东聊城·七年级统考期末）观察下列式子：

（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x＋1；

（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2＋x＋1；

（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3＋x2＋x＋1；

（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4＋x3＋x2＋x＋1；

(1)根据以上式子，请直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；

(2)计算：1＋2＋22＋23＋24＋…＋22021．

【题型十三】整式的混合运算

典例13（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）求值：先化简再求值，其中，．

变式13-1．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）计算：

(1)

(2)

变式13-2．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中）先化简，再求值：，其中．

变式13-3．（2022秋·四川泸州·七年级统考期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．

(1)尝试应用：把看成一个整体，合并=        ；

(2)已知，求的值；

(3)拓广探索：已知，求的值．

变式13-4．（2022春·山西晋中·七年级统考期中）（1）化简：

（2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务

先化简，再求值：，其中，．

解：原式第一步

第二步

．第三步

当，时，原式．第四步

任务：

①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）；

②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______；

③请写出正确的解答过程．