【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第三章 变量之间的关系（题型过关）

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第三章 变量之间的关系 
【题型一】用表格表示变量之间的关系
典例1（2022春·江西吉安·七年级统考期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)：
x(人)
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y(元)
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
(1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；
(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
【答案】(1)x， y；(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到2000；(3)每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元．
【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案．
【详解】解：(1)在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量；
故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y；
(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
故答案为观察表中数据可知，每月乘客量达到2000；
(3)由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元．
【点睛】本题考查常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键．
变式1-1．（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
提出概念所用时间（x）
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力（y）
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55

（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱
【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；
（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；
（3）提供变化情况得出结论．
【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）根据表格中的数据，学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．
变式1-2．（2022春·山西晋中·七年级统考期中）据统计，某公交车每月的支出费用为3000元，每月利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）与每月的乘车人数（人）的变化关系如下表所示（公交车票价固定不变）．
每月的乘车人数/人
600
900
1200
1500
1800
…
每月利润/元
－1800
－1200
－600
0
600
…
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)观察表中数据可知，每月乘车人数达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)由表中数据可推断出该公交车的票价为 元；
(4)求每月乘车人数为5000人时的每月利润．
【答案】(1)每月乘车人数，每月利润
(2)1500
(3)2
(4)7000元
【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，当每月乘车人数为1500人时，每月利润为0元，则题中票款收入=支出费用，进而得出答案；
（4）每月的乘车人数每增加300人，每月的利润可增加600元，即可得出答案．
【详解】（1）解：在这个变化过程中，每月乘车人数是自变量，每月的利润是因变量，
故答案为：每月乘车人数，每月的利润；
（2）解：观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到1500人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：1500；
（3）解：由表中数据可知，当每月乘车人数为1500人时，每月利润为0元，则题中票款收入=支出费用，而每月固定支出费用为3000元，从而得到票价为元，
故答案为：2；
（4）解：由表中数据可知，每月的乘车人数每增加300人，每月的利润可增加600元，当每月的乘车人数为1500人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为5000人时，每月利润为元，
故答案为：7000元．
【点睛】本题主要考查了常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键．
变式1-3．（2022春·辽宁锦州·七年级统考期中）已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：
底面半径x（cm）
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
用铝量y（cm3）
6.9
6.0
5.6
5.5
5.7
6.0
6.5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？
（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．
（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．
【答案】答案见解析
【分析】（1）由自变量、因变量的概念不难得出易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量；
（2）通过表格可得，当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是5.6cm²；
（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝量较少，成本低；
（4）当易拉罐底面半径在1.6~2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐半径在2.8~4.0cm之间变化时，用铝量随半径的增大而增大．
【详解】解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量；
（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm²；
（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝量较少，成本低；
（4）当易拉罐底面半径在1.6~2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐半径在2.8~4.0cm之间变化时，用铝量随半径的增大而增大．
【题型二】用关系式表示变量之间的关系
典例2 （2022春·河南平顶山·七年级统考期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y(升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化．
(1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
(2)用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整：
行驶路程x（千米）
100
200
300
400
油箱内剩油量y（升）

40

24
(3)试写出y与x的关系式是 ．
(4)这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米?
【答案】(1)行驶路程，油箱内剩油量
(2)48，32
(3)
(4)28升，600千米
【分析】（1）因变量随自变量的变化而变化，根据题意，油箱内剩油量随行驶路程的变化而变化，即可求解；
（2）根据每行驶1千米，耗油0.08升，用油箱内原有油量减去耗油量，可以分别求出行驶100千米和300千米时的剩油量；
（3）由已知条件，油箱内原有油量为56升，行驶x千米耗油0.08x升，根据“剩余油量＝原有油量－耗油量”即可求出函数关系式；
（4）将和分别代入y与x的关系式即可求解．
【详解】（1）根据题意，油箱内剩油量随行驶路程的变化而变化，故自变量是行驶路程，因变量是油箱内剩油量，
故答案为：行驶路程，油箱内剩油量．
（2）汽车从出发地行驶100千米时的剩油量为：（升）；
汽车从出发地行驶300千米时的剩油量为：（升）；
故答案为：48，32．
（3）油箱内原有油量为56升，行驶x千米耗油0.08x升，
，
当时解得，
x的取值范围是，
y与x的关系式是，
故答案为：．
（4）当千米时，（升）；
当时，得，
解得，
故这辆汽车行驶350千米时，剩油量是28升；汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了600千米．
【点睛】本题考查自变量与因变量的概念，求函数解析式等知识，学会用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是解题的关键．
变式2-1．（2022春·四川广元·七年级统考期末）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．
（1）求每吨水的市场调节价是多少元；
（2）设每月用水量为x（x＞12）吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式；
（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？
【答案】（1）每吨水的市场调节价为2.5元；（2）y＝2.5x−18；（3）他家应交水费52元．
【分析】（1）设每吨水的市场调节价为a元，根据“每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费”列出方程求解即可；
（2）根据“每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费”即可得出y与x之间的函数关系式；
（3）根据用水量判断其在哪个范围内，代入相应的函数解析式求值即可．
【详解】解：（1）设每吨水的市场调节价为a元，根据题意得：
12×1＋（24−12）a＝42，
解得：a＝2.5，
答：每吨水的市场调节价为2.5元；
（2）当x＞12时，
y＝12×1＋（x−12）×2.5＝2.5x−18，
∴y与x之间的关系式是y＝2.5x−18；
（3）∵28＞12，
∴把x＝28代入y＝2.5x−18得：
y＝2.5×28−18＝52，
答：他家应交水费52元．
【点睛】本题考查了用解析式表示变量之间的关系和一元一次方程的应用，正确理解收费标准是解题的关键．
变式2-2．（2022秋·山东菏泽·七年级统考期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润=票款收入-支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
X（人）
．．．
200
250
300
350
400
．．．
y（元）
．．．
-200
-100
0
100
200
．．．
根据表格中的数据，回答下列问题：
(1)观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
(2)请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y= ；
(3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
【答案】(1)300；
(2)2x-600；
(3)当乘车人数为800人时，利润为1000元
【分析】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可；
（2）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答；
（3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答．
【详解】（1）解：观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：300；
（2）由题意得：
y＝0＋×100＝2x−600，
∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x−600，
故答案为：2x−600；
（3）把y＝1000代入y＝2x−600中可得：
2x−600＝1000，
解得：x＝800，
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点睛】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键．
变式2-3．（2022春·甘肃天水·七年级统考期中）为了更好地放松心情，上周六，小红妈妈开车带着小红一家去郊游，出发前汽车油箱内有一定量的汽油．行驶过程中油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的关系如下表，请根据表格回答下列问题：
时间（t）/小时
0
1
2
3
4
5
油箱剩余油量（y）/升
50
45
40
35
30
25
(1)汽车行驶前油箱里有______升汽油，汽车每小时耗油______升；
(2)请写出y与t的关系式；
(3)当汽车行驶6.5小时后，油箱中还剩余多少升汽油？
【答案】(1)50，5
(2)
(3)17.5升
【分析】（1）读表并找规律可得到结果；
（2）将找出的规律用包含t、y的式子表示出来即可；
（3）汽车行驶6.5小时代入（2）中即可得出结果．
(1)
解：0时时候，汽车有油50升，故行驶前油箱有50升汽油，
观察表发现，每行驶1小时，油箱中的油少5升，故汽车每小时耗油5升；
故答案为：50；5；
(2)
解：汽车每小时耗油5升，则t小时耗油5t升，
则：y=50-5t；
(3)
当t=6.5时，
y=50-5×6.5=17.5，
即当汽车行驶6.5小时后，油箱中剩余油量为17.5升．
【点睛】本题考查用表格表示函数关系，注意，在实际应用中，还需要考虑字母在实际生活中的意义．
变式2-4．（2022春·陕西西安·七年级校考期末）为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：
月用水量
水费
不超过5t
每吨2.4元
超过5t
超过的部分按每吨4元收费
(1)该市某户居民5月份用水x t（x＞5），应交水费y元，写出y与x之间的关系式．
(2)如果某户居民某月交了24元水费，你能算出这个月这户居民用了多少吨水吗？
【答案】(1)
(2)用了8吨水
【分析】（1）根据按每吨元收费，按每吨4元收费即可得；
（2）先判断出该户居民这个月用水量超过了5吨，再求出（1）关系式中，当时，的值即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
即．
（2）解：因为，
所以该户居民这个月用水量超过了5吨，
由（1）已得：，
当时，，解得，
答：这个月这户居民用了8吨水．
【点睛】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、求自变量的值，理解用水收费标准，正确求出关系式是解题关键．
变式2-5．（2022春·安徽·七年级校考期中）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．

(1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？
(2)当每增加1cm时，如何变化？
(3)当时，等于什么？此时表示的是什么？
【答案】(1)
(2)当每增加1cm时，增加
(3)等于240，此时表示的是三角形的面积
【分析】（1）根据梯形的面积（上底下底）高即可得；
（2）直接根据（1）的结论即可得；
（3）将代入（1）的结论即可得的值，再根据梯形的上底为0时，梯形就变成了三角形，由此即可得表示的是三角形的面积．
【详解】（1）解：梯形上底的长是，下底长，高，
梯形面积，
即．
（2）解：由（1）已得：，
则当每增加1cm时，增加．
（3）解：将代入得：，
当时，梯形的上底为0时，梯形就变成了三角形，
则此时表示的是三角形的面积．
【点睛】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系、求函数值，熟练掌握梯形的面积公式是解题关键．
变式2-6．（2022春·山东青岛·七年级统考期中）为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒（不少于6个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元．
(1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式；
(2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？
【答案】(1)，
(2)24个
【分析】（1）第一种方案购买所需费用等于6个书包的费用与个文具盒的费用之和；第二种方案购买所需费用等于6个书包的费用与个文具盒的费用之和的9折，由此即可得；
（2）求出时，的值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
，即．
（2）解：令，则，
解得，符合题意，
答：购买24个文具盒时，两种方案所需费用相同．
【点睛】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、一元一次方程的应用，找准等量关系是解题关键．
【题型三】用图象表示变量之间的关系
典例3．（2022春·河南焦作·七年级校考期末）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：

（1）开始时，汽车的油量______升；
（2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
【答案】（1）42；（2）5 ， 24  ，；（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升．
【分析】（1）直接由图象中的数据得出即可；
（2）由加油前汽车每小时的耗油量，即可得出关系式；
（3）先求出加油后3小时的耗油量即可求得剩余量．
【详解】解：（1）由图象可知，开始时，汽车的油量42升，
故答案为：42；
（2）由图象可知，在行驶了5小时汽车加油，加了36﹣12=24升，
∵加油前汽车每小时的耗油（42-12）÷5=6（升），
∴加油前汽车剩余油量Q=42﹣6t，
故答案为：5  ，24 ， ；
（3）由题意，加油后汽车每小时的耗油6升，
∴加油后剩余油量Q=（升），
故当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升．
【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系、有理数的混合运算，理解题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键．
变式3-1．（2022春·陕西西安·七年级统考期中）如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：

(1)自变量是________，因变量是________．
(2)这位病人的最高体温是________摄氏度，最低体温是________摄氏度．
(3)他在这天12时的体温是________摄氏度．
【答案】(1)时间，温度
(2)39.8，36.8
(3)38
【分析】（1）观察横轴和纵轴确定自变量和因变量；
（2）通过观察图象进行回答即可；
（3）根据题意，这天12时是指总时间段的12时，由图象可知他的体温是38摄氏度．
【详解】（1）解：观察横轴和纵轴，
自变量是时间，因变量是温度；
故答案为：时间，温度．
（2）解：观察图象可知：
这位病人的最高体温是摄氏度，最低体温是摄氏度；
故答案为：39.8,36.8．
（3）解：观察图象可知：
他在这天12时的体温是38摄氏度；
故答案为：38．
【点睛】本题考查函数的图象，正确分析并弄清横纵坐标代表的量是解题的关键．
变式3-2．（2022春·四川·七年级校考期中）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园． 如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是____，因变量是______；
（2）小明家到滨海公园的路程为____km，小明在中心书城逗留的时间为____ h；
（3）小明出发______小时后爸爸驾车出发；
（4）图中A点表示___________________________________；
（5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为______km/h，小明爸爸驾车的平均速度为______km/h；（补充；爸爸驾车经过______追上小明）；
（6）小明从家到中心书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为________．

【答案】（1）t，s； （2）30，1.7； （3）2.5；（4）2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；（5）12，30，；（6）s=15t（0≤t≤0.8）
【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
（2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
（3）根据图象即可得到爸爸驾车出发的时间；
（4）根据点A的坐标即可得到点A的实际意义；
（5）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；
（6）根据小明从家到中心书城时的速度，即可得到离家路程s与坐车时间t之间的关系式．
【详解】（1）由图可得，自变量是t，因变量是s，
故答案为t，s；
（2）由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km，小明在中心书城逗留的时间为2.5-0.8=1.7（h）；
故答案为30，1.7；
（3）由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发；
故答案为2.5；
（4）由图可得，A点表示2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
故答案为2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
（5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为=12km/h，
小明爸爸驾车的平均速度为=30km/h；
爸爸驾车经过h追上小明；
故答案为12，30，h；
（6）小明从家到中心书城时，他的速度为（km/h），
∴他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为s=15t（0≤t≤0.8），
故答案为s=15t（0≤t≤0.8）．
【点睛】本题主要考查了函数图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．
变式3-3．（2022春·河南郑州·七年级校考期中）姐姐帮小明荡秋千（如图①），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图②所示，结合图象：

（1）变量h，t中，自变量是 ，因变量是 ，h最大值和最小值相差 m．
（2）当t=5.4s时，h的值是 m，除此之外，还有 次与之高度相同；
（3）秋千摆动第一个来回 s．
【答案】（1）t，h，1；（2）1，7；（3）2.8．
【分析】（1）由图象的横轴和纵轴表示的量以及图象的最高的和最低点解答即可；
（2）根据图象中t=5.4对应的高度以及这个高度与图象的交点个数即可解答；
（3）根据图象中秋千摆动第一个来回的时间解答即可．
【详解】解：（1）由图象可知，变量h，t中，自变量是t，因变量是h，h最大值和最小值相差1.5﹣0.5=1m，
故答案为：t，h，1；
（2）由图象知，当t=5.4s时，h=1m，除此之外，还有7次与之高度相同，
故答案为：1，7；
（3）由于秋千从最高点开始摆动一个来回要经过两次最低点，根据图象可知，秋千摆动第一个来回需要2.8s，
故答案为：2.8．
【点睛】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键．