【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第二章 相交线与平行线（题型过关）

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第二章 相交线与平行线 
【题型一】与余角、补角有关的计算
典例1．（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期中）点在直线上，为射线，．

（1）如图（1），求的度数；
（2）如图（2），点在直线上方，与互余，平分，求的度数．
【答案】（1）144°；（2）99°
【分析】（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，根据已知条件列方程即可得到结论；
（2）由余角的定义得到∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，根据角平分线的定义得到∠DOE，从而算出∠AOE．
【详解】解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE平分∠COD，
∴∠DOE=∠COD=×90°=45°，
∴∠AOE=∠DOE+∠AOD=45°+54°=99°．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
变式1-1．（2022秋·江西南昌·七年级校考期末）探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分．

(1)如图1，若，则______，______；
(2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若将绕点旋转至图3的位置，射线仍然平分，求的度数．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用角的加减，角平分线定义计算；
（2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到和之间的数量系；
（3）由图③和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到的度数．
【详解】（1）解：






故答案为：,
（2）解：，理由如下：

（3）解：

故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
变式1-2．（2022秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．

（1）将三角板放置到如图所示位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（2）若仍将三角板按照如图所示的方式放置，仅满足OC平分∠MOB，试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠AOM＝45°；（2）∠AOM＝2∠NOC．理由见解析．
【分析】（1）根据互余、互补、角平分线的意义，得出各个角之间的关系，从而求出答案；
（2）设未知数，表示图中的各个角，再利用互补得出结论．
【详解】解：（1），平分，
，
，
，
，
，
；
（2）．
令为，为，，
，
，
，即，
．
【点睛】考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键．
变式1-3．（2022秋·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考期末）已知∠AOB=120°，∠COD=60°．

(1)如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD=95°，求∠BOC的度数；
(2)如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠AOE =∠AOC，∠DOF=∠BOD，求∠EOF的度数．
【答案】(1)85°
(2)与互补，理由见解析
(3)当或时，；当时，；当或时，或
【分析】（1）先求出，然后再根据，即可求出；
（2）根据和，即可作出判断；
（3）设，分情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）与互补；理由如下：
∵，，
∴，
∴与互补．
（3）解：设，
①当时，如图3，

，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，点在的延长线上，

  则，，，
  ∴，，
此时与或重合，
当与重合时，，
当与重合时，，
③当时，如图，

，，
∵，
，
，
∴；
④当时，如图，点在的延长线上，

则，，
∴，此时与或重合，
当与重合时，，
当与重合时，；
⑤当时，如图，
，，

∵，
，
，
∴，
综上：当或时，；
当时，；
当或时，或．
【点睛】本题考查角的运算，解题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解题．
【题型二】利用对顶角的性质进行计算
典例2（2022秋·河南周口·七年级统考期末）如图，直线AB、CD、MN相交于点O，FO⊥BO，OM平分∠DOF
（1）请直接写出图中所有与∠AON互余的角：．
（2）若∠AOC=∠FOM，求∠MOD与∠AON的度数．

【答案】（1）∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）20°，70°
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠BOF=∠AOF=90°，由角平分线的定义和对顶角相等可得与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）设∠MOD的度数为x°，用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度数，然后由∠AOC=∠BOD，得出∠FOD+∠AOC=90°，据此列方程求解，再由（1）中∠MOD与∠AON互余可得出∠AON的度数．
【详解】解：（1）∵FO⊥BO，∴∠BOF=∠AOF=90°，
∴∠BOM+∠FOM=90°，
又∠BOM=∠AON，∴∠AON+∠FOM=90°．
∵OM平分∠DOF，∴∠DOM=∠FOM，
又∵∠DOM=∠CON，
∴与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）设∠MOD的度数为x°，
∵OM平分∠FOD，
∴∠MOD=∠FOM=x°，
∴∠FOD=2x°，∠AOC=∠FOM=°，
又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，
∴∠FOD+∠AOC=90°，
即2x+=90，
解得：x=20．
即∠MOD=20°，
由（1）可知∠MOD与∠AON互余，
∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．
故∠MOD的度数为20°，∠AON的度数为70°．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角的平分线的定义，余角的定义与性质以及对顶角相等，正确理解相关概念是关键．
变式2-1．（2022春·重庆江津·七年级校考期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．

(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
【答案】(1)∠BOF=33°
(2)∠AOC=72°
【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．
（2）利用角平分的定义得出，进而表示出各角求出答案．
【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=76°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=38°
∴∠COE=142°，
∵OF平分∠COE．
∴∠EOF=∠COE=71°，
又∠BOE+∠BOF=∠EOF，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴，
∴设，则，
故，，
则，
解得，
故∠AOC=72°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是掌握对顶角的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）．
变式2-2（2022秋·广西河池·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，，是的平分线，是的反向延长线．

(1)求、的度数；
(2)说明平分的理由．
【答案】(1)，；
(2)见解析．
【分析】（1）和互为补角，利用补角的性质即可求出；再利用和是对顶角即可求出；
（2）根据对顶角相等的性质得到，，再利用是的平分线，即可证明平分．
(1)
解（1）∵和互为补角，且
∴
∵是的平分线
∴
∵是的反向延长线
∴
(2)
解：∵是的平分线，
∴
∵是的反向延长线，
∴，
∴
∴平分
【点睛】本题考查了相交线中补角，对顶角，重点要掌握这两者的定义和性质，能够运用性质作简单推理说明．
变式2-3．（2022秋·辽宁大连·七年级校考期末）直线，相交于点，于点，作射线，且在的内部．

(1)当点，在直线的同侧；
①如图1，若，，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①；②平分，理由见解析
(2)或
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得，再根据，可得的度数；
②先根据角平分线定义，再结合余角定义和对顶角相等可得结论；
（2）需要分类讨论，当点，在直线的同侧，当点，在直线的异侧；设，再分别表示、，再消去即可．
【详解】（1）解：①∵于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为；
②平分．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
（2）如图，当点，在直线的同侧，设，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
①×3＋②×2得，；
如图，当点，在直线的异侧；设，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
①＋②×2得，．
综上所述，与之间的数量关系：或．
【点睛】本题考查了角平分线定义，对顶角相等，垂直的定义，平角的定义，等式的恒等变形等知识，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．分类讨论是解题的关键．
【题型三】根据平行线的性质探究角的关系
典例3．（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

【答案】（1）证明见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2，证明见详解；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，即可得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
【详解】解：（1）如图（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，
∴∠EPF＝∠1+∠2．

（2）∠3＝∠2﹣∠1；
证明：如图2，过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，
∴∠EPF＝∠2﹣∠1．

（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
证明：如图（3），过P作PQ∥l1∥l2；
∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；
∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，
即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；

（4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．
证明：如图（4），过P作PQ∥l1∥l2；
∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；
∴∠3＝∠1﹣∠2．

【点睛】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．
变式3-1．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．

(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
变式3-2．（2022春·重庆綦江·七年级校联考期中）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？

【答案】（1）116°；58°；（2）不变，∠APB=2∠ADB，理由见解析；（3）29°
【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出∠ABN；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；
（2）证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；
（3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．
【详解】（1）∵AM//BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
故答案为：116°；58°；
（2）不变，∠APB=2∠ADB，
∵AM//BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB；
（3）∵AM//BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．
变式3-3．（2022春·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．

(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)；证明见详解
(3)
【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
【详解】（1）解：如图过点作，

∵，
∴．
∴，
．
∵，，
∴
∴．
∵，
∴∠P=80°．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图过点作，

∵，
∴．
∴，
．
∴
∵，
．
（3）如图分别过点、点作、

∵，
∴．
∴，
，
．
∴
∵，
，
，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
【题型四】利用平行线的性质进行求解
典例4．（2022春·云南·七年级云大附中校考期中）如图，AD//BC，，，．

(1)求证：EF//AD；
(2)连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)先根据平行线的性质，得到∠ACB的度数，进而得出∠FCB的度数，再根据∠EFC=140°，即可得到∠EFC=142°，即可得到EF∥BC，进而得出EF∥AD；
(2)先根据CE平分∠BCF，可得∠BCE=19°，再根据EF∥BC，即可得到∠FEC=19°．
（1）
证明：∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
（2）
解：∵CF平分∠BCF
∴
∵
∴
答：∠FEC的度数19°．
【点睛】本题考查平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角性质，邻补角定义，能综合运用定理运行推理是解此题的关键，难度适中．
变式4-1．（2022秋·黑龙江绥化·七年级期末）如图，ABCD，点E在直线CD上，BG平分∠ABE交CD于点G．

(1)求证：∠BGE＝∠GBE；
(2)若∠DEF＝70°，求∠FBG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)145°
【分析】（1）根据ABCD，可得∠ABG＝∠BGE，根据BG平分∠ABE，可得∠ABG＝∠GBE，进而可得∠BGE＝∠GBE；
（2）根据ABCD，可得∠ABE＝∠DEF＝70°，根据平角定义可得∠ABF＝180°−∠ABE＝110°，根据BG平分∠ABE，可得∠ABG＝∠ABE＝35°，进而可得∠FBG的度数．
（1）
证明：∵ABCD，
∴∠ABG＝∠BGE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝∠GBE，
∴∠BGE＝∠GBE；
（2）
∵ABCD，
∴∠ABE＝∠DEF＝70°，
∴∠ABF＝180°−∠ABE＝110°，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝ ∠ABE＝35°，
∴∠FBG＝∠ABF＋∠ABG＝110°＋35°＝145°．
答：∠FBG的度数为145°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
变式4-2．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，AB//CD，∠ACD=2∠BAE．

(1)若∠CAE=38°，求∠BAE的度数：
(2)若点P在线段BA的延长线上，AF是∠PAC的角平分线，试说明：AF⊥AE．
【答案】(1)38°
(2)见解析
【分析】（1）根据，得出，再根据条件，利用等量代换的思想求解；
（2）根据是的角平分线，得出，再根据条件及等量代换计算出，得出，得出即可证明出．
(1)
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴．
(2)
解：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、解题的关键是掌握相应的性质，利用等量代换的思想进行求解．
变式4-3（2022春·河南濮阳·七年级期末）“村村通”是国家的一个系统工程，其中包涵公路、电力、生活和饮用水、电话网、有线电视网、互联网等等，现计划在周边修公路，公路从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，那么要想从村修路沿什么方向修，可以保证与平行？

【答案】应沿北偏东方向修．
【分析】根据平行线的性质定理得，，过点C作MN∥BF，可得∠MCE=65°，进而即可得到结论．
【详解】使沿北偏东方向，即可保证与平行．理由如下：
如图，由题意得，，
，
，
要使，则，
过点C作MN∥BF，
∴∠BCN=∠CBF=25°，
∴∠MCE=180°-90°-25°=65°，
∴应沿北偏东方向修．

【点睛】本题主要考查方位角，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
变式4-4．（2022春·广西柳州·七年级统考期中）如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？

【答案】向左拐30°
【分析】过点B作，延长BC到点P．可得．从而得到∠ABM＝∠A＝105°．再由∠ABC＝135°，可得∠MBC＝30°即可求解．
【详解】解：过点B作，延长BC到点P．
∵，，
∴．
∵第一次向右拐75°，即∠A＝105°，
∴∠ABM＝∠A＝105°．
∵∠ABC＝135°，
∴∠MBC＝30°
又∵，
∴∠NCP＝∠MBC＝30°．
答：第三次应向左拐30°．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【题型五】用尺规作角
典例5．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）已知：，∠AOB（如图）．

(1)求作：以OB为一边，作∠BOC=．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，则∠AOC的度数为 ．
【答案】(1)见解析；
(2)或
【分析】（1）利尺规根据要求作出图形即可；
（2）分两种情形求解可得结论．
（1）
解：如图，∠BOC，∠BOC′即为所求；

（2）
解：∵∠AOB=60，∠BOC=∠BOC′=20，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=40或∠AOC′=∠AOB+∠BOC′=80．
故答案为：40°或80°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
变式5-1．（2022春·福建漳州·七年级福建省诏安县第二实验中学校考期中）已知：如图，点P为的边上一点，

(1)求作：过点P作，使得；（要求保留作图痕迹）
(2)直线CP和OA的位置关系是 ．
【答案】(1)见详解
(2)平行
【分析】（1）先以O点为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于E、F，再以P点为圆心，OE为半径画弧交PB于M，然后分别以M、F为圆心，EF为半径画弧，两弧相交于点N，则直线PN满足条件；
（2）由同位角相等，两直线平行，即可得到结论成立．
（1）
解：如图所示：

（2）
证明：∵，
∴∥，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
变式5-2．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图：

(1)已知∠α，∠AOB，在图2中，求作：以OB为边，在∠AOB内部作∠BOC＝∠α（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)若∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据画一个角等于已知角的方法即可在∠AOB内部作∠BOC＝∠α；
（2）结合（1）根据角平分线定义即可解决问题．
(1)
解：如图，∠BOC即为所求；

(2)
解：∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝20°，
∵OD平分∠AOC．
∴∠COD＝＝10°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°．
【点睛】本题考查尺规作图和角的度数计算．根据图形得到角之间的和差倍分关系是解题的关键．
变式5-3．（2022春·河南信阳·七年级统考期中）作图并回答问题：已知，如图，点P在∠AOB的边OA上．

(1)过点P作OA边的垂线l；
(2)过点P作OB边的垂线段PD；
(3)过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得　 　，得此结论的依据是　 　．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)画图见解析，OE>OP> PD．
【分析】（1）过点P作OA的垂线l；
（2）过点P作OB边的垂线，连接点P与垂足D就是垂线段PD；
（3）过点O作一个角等于∠ODP，得到PD的平行线交l于点E，再根据垂线段最短原理解题．
(1)
解：如图，直线l就是所求作的垂线l；

(2)
如图，线段PD就是所求作的垂线段PD；

(3)
如图，点E就是所求作的点，根据垂线段最短原理得到OE>OP> PD；
故答案为：OE>OP> PD；垂线段最短．

【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，垂线段最短等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．