【同步讲义】北师大版数学九年级上册：第04讲 特殊平行四边形的折叠、最值、动态问题 讲义

第4讲  特殊平行四边形的折叠、最值、动态问题

知识点01  特殊平行四边形的折叠问题

1．解题思路

解决本题的关键是利用折叠的性质，即根据折叠前后两图形能够完全重合，知对应图形全等，对应线段、对应角相等。

2．方法技巧

（1）利用折叠的性质：折叠前后的图形全等，寻找折叠部分与原图形之间线段和角之间的关系。

（2）通常设出未知数，尽量将数量关系转化到同一个直角三角形中、利用勾股定理列方程求解。

考法01  矩形的折叠问题

【典例1】如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长.

【即学即练】某同学对矩形纸片ABCD进行了如下的操作：如图，先沿直线AG折叠，使点B落在对角线AC上的点P处，再沿直线CH折叠，使点D落在AC上的点Q处.若 ， ，求四边形 的面积.

知识点02  特殊平行四边形的最值问题

常用知识：

（1）特殊平行四边形的轴对称性。

（2）两点之间，线段最短。

（3）点到直线的距离，垂线段最短。

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

有时将确定两线段和的最小值问题转化为求某一线段长度问题。

考法02  利用轴对称及两点之间线段最短求最值

【典例2】如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是 　     　．

考法03  利用垂线段最短求最值

【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为　     　. 

考法04  利用三角形三边之间的关系求最值

【典例4】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点.动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为　     　，线段DH长度的最小值为　        　.

知识点03  特殊平行四边形的动态问题

动态问题是近年来中考的一个热点问题，动态问题经常作为压轴题目出现。解这类题目的常见思路是“以静制动”，即把动态问题转化为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

考法05  定值问题

【典例5】如图， 中， ， ， 是 上一动点（与 、 不重合），将 绕 点逆时针方向旋转 至 ，连接 ． 

（1）求证： ； 

（2） 点在移动的过程中，四边形 是否能成为特殊四边形？若能，请指出 点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由． 

考法06  分类问题

【典例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边AC，BC所在的直线于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）.

（1）写出图中与△ABC相似的三角形；

（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？

（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度.求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？

考法07  存在性问题

【典例7】如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且，连接BE．

（1）当DP=2时，求BE的长．

（2）四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．

（3）如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距离．