【同步讲义】北师大版数学九年级上册：第07讲 一元二次方程根与系数的关系 讲义

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第7讲 一元二次方程根与系数的关系
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课程标准
1.了解一元二次方程的根与系数的关系能运用根与系数的关系，能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值；
2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程.
知识精讲

知识点01 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
注意：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定的值；
③计算的值；
④根据的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根=0；
（3）方程没有实数根﹤0.
注意：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.
知识点02 一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
注意：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．
能力拓展

考法01 一元二次方程根的判别式的应用
【典例1】关于x的一元二次方程的根的个数是(     )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】C
【解析】解：方程x2+mx-1=0，
∵Δ=m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【即学即练】下列方程没有实数根的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、Δ=（-7）2-4×1×(-18)=121>0，则此方程有实数根，所以A选项不符合题意；
B、变形为，Δ=（-4）2-4×1×1=12＞0，则此方程有两个不等的实数根，所以B选项不符合题意；
C. Δ=（-2）2-4×1×3=-8<0，则此方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D.变形为，Δ=（-2）2-4×1×（-12）=52＞0，则此方程有两个不等的实数根，所以D选项不符合题意；
故选C．
【典例2】已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（       ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
【答案】D
【解析】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0，<0，所以a与c符号相反，<0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【即学即练】将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（       ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】解：∵方程，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，
∴方程两个不相等的实数根，
故选：C．
考法02 一元二次方程的根与系数的关系的应用
【典例3】已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（       ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【解析】∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴，代入得，
变形得①，
由得，
移项得②，
将等式②减去等式①得：，
化简得，
∴=4+2022=2026，
故选 A．
【即学即练】已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（       ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【解析】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=10，
故选：A．
【典例4】若、是一元二次方程的两根，则的值是（       ）
A．3 B．-3 C．5 D．-5
【答案】D
【解析】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，
故选：D．
【即学即练】若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（       ）．
A．2 B． C．2022 D．
【答案】D
【解析】解：根据一元二次方程根与系数的关系可以得到：，
故选D．
分层提分

题组A 基础过关练
1．已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【答案】B
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，
∴x1+x22，
故选：B．
2．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（       ）
A．2022 B．-2022 C．2020 D．-2020
【答案】A
【解析】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴＝1－（﹣2021）＝2022．
故选：A．
3．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】解： 由韦达定理：，可得
，
故选：A ．
4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2022的值为（       ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，
∴1+n=-m，
解得：m+n=-1，
故（m+n）2022=1．
故选：A．
5．关于x的一元二次方程x2＋x－a＝0的一个根是2，则另一个根是（　　　）
A．－1 B．－2 C．－3 D．2
【答案】C
【解析】解：设关于的一元二次方程的另一个根为，
则，
解得．
故选：C．
6．如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(     )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴3＋1＝−p，3×1＝q，
∴p＝−4，q＝3，
所以这个一元二次方程是，
故选：A．
7．已知，是方程的两个根，则_________．
【答案】11
【解析】解：是方程的两个根，
，
，
故答案为：11．
8．已知方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1、x2，则的值为________．
【答案】-1
【解析】解：∵方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1•x2＝1，2022x1+1＝0，
∴2022x1＝﹣1，
∴
=
=
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
9．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根满足，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【解析】(1)证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．
∵无论m为任何实数，（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0．
∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：由可得，
∵，x1x2＝2m﹣1，
∴，
即m2﹣4m+8＝4，
解得m1＝m2＝2，
∴当x1﹣x2＝2时，m的值是2．
10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
【答案】(1)m≤
(2)1
【解析】(1)解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
∴m≤．
(2)当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵方程的根为x1，x2，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）
＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（x2+1）
＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1
＝﹣x2﹣x1﹣2
＝3﹣2
＝1
题组B 能力提升练
1．关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
，
故选：D
2．设方程两个根为、，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由韦达定理可知，，，
则，
故选A．
3．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（       ）
A．-5 B．-4 C．1 D．0
【答案】B
【解析】解：把x=a代入方程得：a2+3a-2=0，即a2+3a=2，
由根与系数的关系得：a+b=-3，
则原式=（a2+3a）+2（a+b）
=2-6
=-4．
故选：B．
4．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（       ）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】解：a-b+c=0，则b=a+c，=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2，
∴，则，

∴，所以②正确；
∵方程有一个根是，
∴

∴
∴
所以③正确．
故选：A．
5．若是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝________，该方程的另一个根x2＝________．
【答案】     4    
【解析】解：设方程的另一个根为x2，
∵x1是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，
∴x1•x2＝1，即（）x2＝1，
∴x2，
∴x1+x2＝﹣a，即a，解得a＝4，
故答案为4，．
6．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
【答案】1
【解析】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
7．已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2-15，求k的值．
【答案】(1)
(2)k＝4
【解析】(1)∵关于x的方程有两个实数根，
∴，解得；
(2)∵方程的两实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝k＋1，，
∵x12＋x22＝6x1x2-15，
∴（x1＋x2）2-8x1x2+15＝0，
∴k2-2k-8＝0，解得：k1＝4，k2＝-2，
又∵，
∴k＝4．
8．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【解析】(1)证明：∵，
无论m取何实数，的值都大于零．
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
又∵，
∴．
∴，代入原方程得：
，
化简得：．
解得：，．
题组C 培优拔尖练
1．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（       ）
A．4或-4 B．2或-2 C．2 D．-2
【答案】D
【解析】解：∵方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，
∴k2-4=0，∴k=±2；
当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选：D．
2．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（       ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【解析】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,

解得,
故选A
3．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的为（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴当a＞-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确；
当a＞0时，两根之积，故方程的两根异号，故②说法错误；
由一元二次方程的求根公式得，
∵a＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确；
由③知，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
∴正确的结论有：①③④
故选：C
4．下列给出的四个命题，真命题的有（       ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】①若方程两根为-1和2，
则，则，即；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝＞1或a＝＞1，
∴1﹣a＜0，
∴；此选项符合题意；
③∵，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
5．设，是方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】10
【解析】解：根据题意，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴；
故答案为：10．
6．将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______．
【答案】     4；     -3
【解析】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为，
∴，
展开，，
可得，，
∴；
∵，，
∴，
∵方程（）有两个根为、，
∴，且，
∴，
设（），得，
∵方程有正数解，
∴，
解得，即，
∴．
故答案为：4，-3．
7．设关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β．
(1)证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)−≤m≤．
【解析】(1)证明：∵Δ=（-5）2-4(−m2+1)=4m2+21＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β，
∴α+β=5，αβ=1-m2，
∵|α|+|β|≤6，
∴α2+β2+2|αβ|≤36，
即（α+β）2-2αβ+2|αβ|≤36．
∴25-2（1-m2）+2|1-m2|≤36，
当1-m2≥0时，25≤36成立，
∴-1≤m≤1．①
当1-m2＜0时，
得25-4（1-m2）≤36，
∴−≤m≤．②
由①、②得−≤m≤．
8．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=?
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，
【解析】（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴===43，
故答案是：43；
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab=   ，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4•≥0，c2﹣≥0，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，c3≥43   ， c≥4，
∴正数c的最小值是4．
（3）存在，当k=﹣2时， ．
由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k，
由x﹣y=1变形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由题意思可知，x1   ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：

即：
解得：k=﹣2．