初中数学北师大版九年级下册3 确定二次函数的表达式精品测试题

第07讲 确定二次函数的表达式

知识点  用待定系数法求二次函数解析式

1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；

(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；

(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中a≠0；

第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

注意：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；

②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；

③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

考法01   用待定系数法求二次函数解析式

【典例1】若二次函数的图像经过原点，则m的值为（       ）

A．0 B．2 C．0或者2 D．无法确定

【即学即练】已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（       ）

A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2

C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1

【典例2】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（       ）

A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2

【即学即练】已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

考法02   用待定系数法解题

【典例3】“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(            )

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟

【即学即练】运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）近似满足函数关系．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻是（       ）

A．4 B．4.5 C．5 D．6

【典例4】你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为，距地面均为，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离、处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（ ）

A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m

【典例5】心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　）

A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31

C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+43

题组A  基础过关练

1．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（       ）

A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5

2．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下：

则代数式的值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．已知：抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，若点C（-3，b）在抛物线上，则△ABC的面积为（　　）

A．3

B．3.5

C．4

D．4.5

5．把y=-x2-4x+2化成y=a（x+m）2 +n的形式是（ ）

A．y=-（x-2）2-2 B．y=-（x-2）2+6

C．y=-（x+2）2-2 D．y=-（x+2）2+6

6．抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：

①抛物线对称轴是直线；

②；

③时，；

④若，则．其中正确的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则______．

8．二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为_____．

9．已知：二次函数的图象经过点．

(1)求b；

(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．

10．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．

（1）求b，c的值；

（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；

题组B  能力提升练

1．在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（     ）

A． B． C． D．

2．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（       ）．

A．6 B．1 C．-1 D．-6

3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c(c>0)与x轴交于A(x1，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，若BC=，则tan∠DAB的值为（       ）

A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，它们的交点坐标为（－1，a），若抛物线C1表达式为，则抛物线C2的顶点坐标为（       ）

A．（－4，n－9m） B．（－4，9m－n） C．（－5，n－9m） D．（－5，9m－n）

5．某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示：

接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（       ）

A． B． C． D．

6．将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（       ）

A． B．

C． D．

7．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．

（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______．

（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．

8．若抛物线y=x2+4x+n2经过点（m，-4）和（-m，k），则k的值是_____．

9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)当0＜x＜3时，则y的取值范围．

10．（1）已知二次函数

①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向

②列表，在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象

（2）物线过，两点，与轴的交点为，求抛物线的解析式．

题组C  培优拔尖练

1．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

那么关于它的图象，下列判断正确的是（       ）

A．开口向上 B．与x轴的另一个交点是(3，0)

C．与y轴交于负半轴 D．在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小

3．二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（     ）

A． B．

C． D．

4．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（   ）

A．5 B．7 C．12 D．﹣7

5．若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为（       ）

A．9 B．6 C．3 D．0

6．如图，抛物线与交于点，且抛物线经过原点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则下列结论中，正确的是（       ）

A． B． C．当时， D．

7．（1）抛物线必过__________点．

（2）若二次函数经过原点，则__________，则它的解析式是__________．

（3）若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是__________．

（4）若二次函数的最大值是3，则__________．

8．如图，正方形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线的图象上，则的值为______．

9．已知抛物线（m为常数）与y轴的交点为C点．

(1)若抛物线经过原点，求m的值；

(2)若点和点在抛物线上，求C点的坐标；

(3)当，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．

10．已知二次函数 ，其中．

(1)当该函数的图像经过原点O（0，0），求此时函数图像的顶点的坐标；

(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；

(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．