数学3 垂径定理优秀复习练习题

第13讲  垂径定理

知识点01  垂径定理

垂直于弦的直径    这条弦，并且平分弦所对的     .

注意：

①定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段。

②条件中的“弦”可以是直径，结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧.

知识点02  垂径定理的逆定理

1. 内容

平分弦（不是直径）的直径      ，并且平分弦所对的     。

注意：

①被平分的弦“不是直径”。任意两条直径都互相平分。

②结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧。

利用垂径定理的逆定理可以确定圆心的位置：在圆中找出两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是交点。

2. 垂径定理及其逆定理的拓展

在垂径定理及其推论中：                           ，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。

注意：

“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径。

考法01   应用垂径定理进行计算与证明

【典例1】如图，在中，弦的长为16cm，若圆心O到的距离为6cm，则的半径为（    ）cm．

A．4 B．6 C．8 D．10

【即学即练】如图，已知的半径为10，弦，则点到的距离是（    ）

A． B． C． D．

【典例2】如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=(     )

A．140° B．40° C．80° D．60°

【即学即练】已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（    ）

A．60°  B．120° C．60°或120°  D．90°

考法02   垂径定理的综合应用

【典例3】唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　）

A． B． C． D．

【即学即练】如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（    ）

A． B． C． D．

【典例4】如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（    ）

A． B． C． D．

【即学即练】如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（    ）

A． B． C． D．

题组A  基础过关练

1．下列说法中， 正确的是（   ）

A．任意三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等

C．三角形的外心到它的三顶点的距离相等 D．平分弦的直径垂直于弦

2．下列命题中，正确的是（　　）.

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径.

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦.

C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心.

D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.

3．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（      ）

A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

4．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ）

A．5 B．3 C．2 D．1.5

5．如图，已知的半径为10，弦，是上任意一点，则线段的长可能是（    ）

A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5

6．如图，在中，是弦，，半径为4，．则的长（　　）

A． B． C． D．

7．垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径__________，并且平分弦所对的_______．

8．铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度为，凹坑最大深度为，由此可算得铲车轮胎半径为________．

9．如图，大桥的圆拱的跨度是米，拱高是米，求这个圆拱所在的圆的半径．

10．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．

题组B  能力提升练

1．点是内一点，过点的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则的长为（    ）

A．8 B．2 C．5 D．4

2．的半径为10cm，弦，且，，则和的距离为（　　）

A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm

3．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的半径为（   ）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm

4．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则为(　　)  

A．10寸 B．3寸 C．20寸 D．26寸

5．如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标，半径为5，函数的图象被截得的弦的长为8，则的值为（    ）

A．6 B． C． D．

7．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______．

8．如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，则球的直径为__________cm（容器厚度忽略不计）．

9．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．

(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．

①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．

①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

10．已知：的半径为5，点在直径上，过点作的弦，过点作直线的垂线，垂足为点．

(1)如图1，当时，求线段的长；

(2)当点是线段的中点时，求的长；

(3)如果，求线段的长．

题组C  培优拔尖练

1．如图，的直径与弦交于点E，若B为弧的中点，则下列说法错误的是（    ）

A．弧弧 B． C． D．

2．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（    ）

A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm

3．如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦的中点，则线段的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（    ）分钟．

A．6 B．8 C．10 D．12

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（　　）

A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2

6．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折、折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆形纸片沿EF折叠使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得到了以下结论：①CDEF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④ ．以上结论正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是____________．

8．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为______．

9．“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．

(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？

(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？

10．如图，在平面直角坐标系中的上，有弦，取的中点P，将点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，称点Q为弦的“中点对应点”．设是以为圆心，半径为2的圆．

(1)已知弦长度为2，点Q为弦的“中点对应点”．

①当轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段的长度；

②当在圆上运动时，直接写出线段的取值范围．

(2)已知点，点N为上的一动点，设直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，若线段上存在弦的“中点对应点”点Q，求出b的取值范围．